专题16 等边三角形的性质与判定（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“性质应用-判定证明-综合迁移”为主线，系统构建等边三角形解题方法体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求角度|1典例+3变式|三线合一倒角、60°角转化|性质（三角60°）→角度计算| |性质与平行线|1典例+3变式|平行线平移60°角构造等边|性质+平行性质→角传递| |性质与折叠|1典例+3变式|折叠全等+等边性质生成新等边|折叠不变性→边/角等量代换| |性质求线段长|1典例+3变式|垂直平分线+等边三边相等|性质+垂直平分线→线段计算| |性质求周长|1典例+3变式|折叠/平移边相等替换|周长=原等边周长| |性质求面积|1典例+3变式|整体减空白、分割法|面积公式+全等转化| |判定|1典例+3变式|等腰+60°/两角60°/三边相等|判定定理→等边证明| |性质与判定综合|1典例+3变式|判定→性质逻辑链|判定证等边→性质推边/角|

专题16 等边三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 等边三角形的性质求角度 题型02 等边三角形的性质与平行线 题型03 等边三角形的性质与折叠 题型04 等边三角形的性质求线段长 题型05 等边三角形的性质求周长 题型06 等边三角形的性质求面积 题型07 等边三角形的判定 题型08 等边三角形的性质与判定 ▌题型01 等边三角形的性质求角度 1. 三边全部相等； 2. 三个内角都相等，每个内角都是60°； 3. 等边是特殊的等腰三角形，所以等腰的所有性质（等边对等角、三线合一）等边全都能用； 4. 每条边上的高、中线、角平分线三线合一，同时这条线会把60°顶角平分出两个30°角。 【典例1】（2026春•灞桥区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝70°，则∠1的度数是（　　） A．85° B．80° C．75° D．70° 【变式1-1】（2025秋•嵩明县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【变式1-2】（2026春•温州期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　） A．130° B．240° C．300° D．330° 【变式1-3】（2026春•高碑店市月考）如图，AD是等边△ABC的一条中线，且AE＝AD，则∠AED的度数为（　　） A．65° B．70° C．72° D．75° ▌题型02 等边三角形的性质与平行线 平行线核心作用：构造同位角、内错角相等，把60°角平移传递。 1.平行线平移60°角，直接出新等边三角形，过等边三角形一边作另一边的平行线，截出来的小三角形一定是等边三角形。 2.平行线搭配等边外角（120°）倒角 【典例1】（2026•东方一模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式1-1】（2026春•南岸区期末）如图，直线l∥m∥n，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线m，l上，直线l与BC的夹角为35°，则∠1的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【变式1-2】（2026•东河区校级三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，△ABC是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线DE交AB于点E，光线FG交AC于点G．已知△ABC是等边三角形，∠DEA＝29°，则∠FGA的度数为（　　） A．39° B．31° C．29° D．41° 【变式1-3】（2026•厦门模拟）如图，在六角星ABCDEF中，△ABC和△DEF均为等边三角形，且AB∥DF，BC∥DE，AC∥EF．若△ABC和△DEF的边长分别为6和8，则六边形MNOPQR的周长为　　 ． ▌题型03 等边三角形的性质与折叠 1. 等边三角形固有性质 三边相等，三内角都是60°；三线合一。 2. 折叠通用不变性 折叠前后两个图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴。 3. 叠后最常出现的三类结论 ① 角度大量相等，快速凑出60°，生成新等边三角形，将等边三角形一角向内翻折，落在内部某边上，常会形成多个小等边。 ②折叠构造等腰三角形，再升级为等边。 ③线段等量代换，折叠前后对应边相等，可以把折线的线段等量替换成原等边的固定边长。 【典例1】（2026•莲池区二模）如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝40°，则∠2是（　　） A．50° B．55° C．60° D．58° 【变式1-1】（2025秋•淮南期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm，点D，E分别在AC，BC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C'处，且点C'在△ABC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【变式1-2】（2025秋•藁城区期末）如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，则∠PED的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【变式1-3】已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为 　　 ． ▌题型04 等边三角形的性质求线段长 等边三角形与垂直平分线的性质的结合，等边三角形的三边相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 【典例1】（2026春•南山区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，连接AD，CD，BD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E，已知AD＝CD． （1）求证：BD垂直平分AC； （2）若BC＝9，DE＝5，求EF的长． 【变式1-1】（2026春•高陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB，交边AD于点E，连接BD，交CE于点F，若CE＝12，则CF的长为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 【变式1-2】（2025秋•新疆期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式1-3】（2025秋•南皮县期末）如图，△ABC的边AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD，若△BCD为等边三角形，且周长为12，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌题型05 等边三角形的性质求周长 折叠阴影周长问题：折叠前后对应边相等，通过替换后，阴影周长往往等于原等边三角形周长。 平移前后的图形全等，对应边相等。 【典例1】（2026•雷州市一模）如图，已知等边三角形ABC被一矩形所截，AB被截成三等分，且EH∥BC．若EH＝3，则四边形EFGH的周长为（　　） A．24 B．21 C．18 D．15 【变式1-1】（2026春•浑南区期末）如图，将边长为2的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-2】（2025秋•辉县市期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为7，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．7 D．8 【变式1-3】（2025秋•包河区校级期末）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：A→C→B，路程为S甲．乙：A→D→E→F→B，路程为S乙．丙：A→G→H→B，路程为S丙．下列关系正确的是（　　） A．S甲＝S乙＞S丙 B．S甲＝S乙＜S丙 C．S甲＝S丙＞S乙 D．S甲＝S丙＜S乙 ▌题型06 等边三角形的性质求面积 1.折叠问题求面积 ①折叠前后图形全等，面积相等； ②阴影面积常用整体减空白计算； ③经常搭配线段等量代换，先求出小等边的边长再算面积。 2.手拉手双等边面积结论 两个全等的等边三角形，面积完全相等；通过全等转化，可以把不规则图形面积转移成等边三角形面积。 3. 等边分割成四个全等小等边 把三边中点依次相连，原图分成4个一模一样的小等边，每个小等边边长是原来的，单个面积为整体的。 【典例1】（2026春•福田区期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 【变式1-1】（2025秋•瑶海区校级期末）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使得CE＝CD，连接DE，过点E作EF⊥DE交AC的延长线于点F，若△ABD的面积为12，则△CEF的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图1，图2是该印章的几何示意图，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．若其中正方形的边长和等边三角形的边长都为m，等边三角形的高为n，则这个印章的表面积为（　　） A．18mn+4m2 B．18m2+4mn C．18m2+4n D．m2+18mn 【变式1-3】（2025秋•安顺期末）如图，已知△ABC的周长是15，∠ABC＝60°，BO，CO，分别平分∠ABC和∠ACB交于点D，OD⊥BC，且OB＝4，△ABC的面积是　 ． ▌题型07 等边三角形的判定 判定1：三边都相等的三角形是等边三角形（定义判定） 判定2：三个内角都相等（都为60°）的三角形是等边三角形 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 解题步骤 ①审题：观察是否存在等腰条件（两边相等/等角对等边），有等腰：立刻在全图搜寻60°角，找到就用判定3； ②无等腰：观察有无平行线，利用平行传递60°角，凑两个60°用判定2； ③线段条件多：通过全等、折叠、垂直平分线做线段等量代换，凑三边相等用判定1 【典例1】（2025秋•东城区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，BE⊥BC，AE∥BD，CE交BD于点F． （1）求∠BAE的大小； （2）判断△BEF的形状，并证明． 【变式1-1】（2025秋•平城区期末）如图，∠A＝∠B＝60°，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等边三角形． 【变式1-2】（2025秋•呈贡区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交边BC于点D，且DA＝DC，延长DA使EA＝DA，连接BE． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：△EBD是等边三角形． 【变式1-3】如图，以等边△ABC的边AC为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A作AD⊥BE，交BC于点D，交EC的延长线于点F，设∠FAC＝α． （1）∠ACE＝　 　 （用含α的式子表示），∠F＝　 　 ； （2）当CF＝2，CE＝3，求AF的长． ▌题型08 等边三角形的性质与判定 1.判定（由条件证等边） 用来证明一个三角形是等边三角形，是解题的起点。 三条判定优先级： ①等腰三角形 + 一个60°角 ②三角形两个内角为60° ③三边全部相等 2.性质（已知等边推结论） 证明出等边之后，用来推导边角线段，是解题的后半段。 核心性质： ①三边相等，三角均为60° ②三线合一 ③轴对称，两侧全等。 综合题固定逻辑链：判定在前，性质在后，先用边角条件判定等边 → 再用等边的性质倒角、求边长、算面积。 【典例1】（2026•拱墅区校级二模）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若BF＝2，求AE的长． 【变式1-1】（2025秋•太和县期末）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【变式1-2】（2025秋•亭湖区期末）课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　 ， ∴②　 ＝③　 ， ∴AD＝AE．（④　 ） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 【变式1-3】（2025秋•薛城区期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 等边三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） ▌题型01 等边三角形的性质求角度 【典例1】A． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】D． ▌题型02 等边三角形的性质与平行线 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】14． ▌题型03 等边三角形的性质与折叠 【典例1】A． 【变式1-1】D． 【变式1-2】B． 【变式1-3】80°． ▌题型04 等边三角形的性质求线段长 【典例1】 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC（等边三角形的性质）． ∵AD＝CD， ∴点B、点D在AC的垂直平分线上， ∴BD垂直平分AC； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°（等边三角形的性质）． ∵DE∥AB， ∴∠CEF＝∠CBA＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝CE． 由（1）可知BD垂直平分AC， ∴， ∴∠BDE＝∠CED﹣∠CBD＝30°， ∴∠BDE＝∠CBD＝30°， ∴DE＝BE＝5， ∴CE＝BC﹣BE＝4， ∴EF＝CE＝4． 【变式1-1】D． 【变式1-2】B． 【变式1-3】B． ▌题型05 等边三角形的性质求周长 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】C． 【变式1-3】A． ▌题型06 等边三角形的性质求面积 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】15． ▌题型07 等边三角形的判定 【典例1】 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°， ∵点D是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°， ∵AE∥BD， ∴∠BAE＝∠ABD＝30°； （2）△BEF是等边三角形，证明如下： ∵BE⊥BC， ∴∠EBC＝90°， ∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBD＝60°，∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝30°， 在△EAB中，∠BAE＝∠EBF＝30°， ∴EA＝EB， 在△EAC和△EBC中， ， ∴△EAC≌△EBC（SSS）， ∴∠ACE＝∠BCE∠BCA＝30°， ∵∠BFE是△FBC的外角， ∴∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°， 在△BEF中，∠EBF＝∠BFE＝60°， ∴△BEF是等边三角形． 【变式1-1】 【解答】证明：∵∠A＝60°，CE∥DA， ∴∠CEB＝60°， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠CEB＝∠B＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形． 【变式1-2】 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠C（等边对等角）． ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD（等边对等角）． ∴∠ABD＝∠DAC＝∠C（等量代换）． ∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°． ∴3∠ABC＝180°﹣90°＝90°． ∴∠ABC＝30°． （2）证明：∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵EA＝AD，AB⊥DE， ∴BD＝BE． ∴△BDE是等边三角形． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵∠FAC＝α， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠FAC＝60°﹣α， ∵AE＝AC， ∴AB＝AE， ∵AD⊥BE， ∴∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α， ∴∠CAE＝∠EAD﹣∠FAC＝60°﹣2α， ∴， ∴∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°， 故答案为：60°+α，60°； （2）如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF、CG， ∵FG＝FC，∠F＝60°， ∴△CFG是等边三角形， ∴CG＝CF，∠GCF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCG＝∠CFG﹣∠BCG，即∠ACG＝∠BCF， 在△ACG和△BCF中， ， ∴△ACG≌△BCF（SAS）， ∴AG＝BF， ∵AE＝AB，AF⊥BE， ∴AF是BE的垂直平分线， ∴BF＝EF＝CE+CF＝5， ∴AF＝AG+FG＝BF+CF＝7 ▌题型08 等边三角形的性质与判定 【典例1】 【解答】（1）证明：∵AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∵DF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴△AFE是直角三角形， 在Rt△AFE中，∠E＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （1）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AC＝BC， ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴△DFB是直角三角形， 在Rt△DFB中，BF＝2，∠BDF＝90°﹣∠B＝30°， ∴BD＝2BF＝4， ∵AD垂直平分BC， ∴CD＝BD＝4， ∴AC＝BC＝CD+BD＝8， 又∵∠CDE＝∠BDF＝30°，∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴CE＝CD＝4， ∴AE＝AC+CE＝12． 【变式1-1】 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE（等角对等边）， ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线， ∴，． ∵∠ADE为△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∵AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形． 【变式1-3】 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分上， ∴AC垂直平分BD； （2）①证明：设∠F＝α， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝α， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α， 由（1）AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE， ∴∠F＝∠BCE＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°， 则α＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形； ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH， 理由： 延长AD至A′，使DA′＝AD， ∵CD⊥AD， ∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH， ∴AH＝A′H， ∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小， 由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°， ∵A′G⊥AC即GH⊥CG， ∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°， ∴CH＝2GH， ∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 等边三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 等边三角形的性质求角度 题型02 等边三角形的性质与平行线 题型03 等边三角形的性质与折叠 题型04 等边三角形的性质求线段长 题型05 等边三角形的性质求周长 题型06 等边三角形的性质求面积 题型07 等边三角形的判定 题型08 等边三角形的性质与判定 ▌题型01 等边三角形的性质求角度 1. 三边全部相等； 2. 三个内角都相等，每个内角都是60°； 3. 等边是特殊的等腰三角形，所以等腰的所有性质（等边对等角、三线合一）等边全都能用； 4. 每条边上的高、中线、角平分线三线合一，同时这条线会把60°顶角平分出两个30°角。 【典例1】（2026春•灞桥区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝70°，则∠1的度数是（　　） A．85° B．80° C．75° D．70° 【分析】由等边三角形的性质推出AB＝BC，∠ABC＝60°，求出∠ABD＝130°，由等腰三角形的性质推出∠BAD＝∠ADB＝25°，由三角形内角和定理求出∠2＝85°，由对顶角的性质得到∠1＝∠2＝85°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵∠CBD＝70°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝130°， ∵BC＝BD， ∴AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB（180°﹣130°）＝25°， ∴∠2＝180°﹣∠ADB﹣∠CBD＝180°﹣25°﹣70°＝85°， ∴∠1＝∠2＝85°． 故选：A． 【变式1-1】（2025秋•嵩明县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•温州期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　） A．130° B．240° C．300° D．330° 【分析】根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠3+∠4，再根据四边形的内角和等于360°进行计算即可得解． 【解答】解：如图， ∵三角形是等边三角形， ∴∠3+∠4＝60°+60°＝120°（等边三角形的性质）， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝360°﹣120°＝240°， 则∠1+∠2等于240°， 故选：B． 【变式1-3】（2026春•高碑店市月考）如图，AD是等边△ABC的一条中线，且AE＝AD，则∠AED的度数为（　　） A．65° B．70° C．72° D．75° 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出∠DAC的度数，再利用等腰三角形AD＝AE及三角形内角和定理即可求出∠AED的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD平分∠BAC， ∴（角平分线的性质）， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE（等边对等角）， 在△ADE中，∠DAC+∠AED+∠ADE＝180°（三角形内角和定理）， ∴30°+2∠AED＝180°， ∴∠AED＝75°， ∴∠AED的度数为75°， 故选：D． ▌题型02 等边三角形的性质与平行线 平行线核心作用：构造同位角、内错角相等，把60°角平移传递。 1.平行线平移60°角，直接出新等边三角形，过等边三角形一边作另一边的平行线，截出来的小三角形一定是等边三角形。 2.平行线搭配等边外角（120°）倒角 【典例1】（2026•东方一模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据等边三角形性质求出∠A＝∠ACB＝60°，根据平行线的性质求出∠2的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ACB＝60°， ∵∠1＝40°， ∴∠AED＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵直线a∥直线b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝80°﹣60°＝20°， 故选：B． 【变式1-1】（2026春•南岸区期末）如图，直线l∥m∥n，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线m，l上，直线l与BC的夹角为35°，则∠1的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【分析】设直线m交AC于点D，首先根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，结合平行线的性质确定∠CBD＝35°，进而可得∠ABD＝25°，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【解答】解：直线l∥m∥n，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线m，l上，设直线m交AC于点D， 由题意可得：∠ABC＝60°， ∵l∥m，∠BCE＝35°， ∴∠CBD＝∠BCE＝35°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝25°， ∵m∥n ∴∠1＝∠ABD＝25°． 故选：C． 【变式1-2】（2026•东河区校级三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，△ABC是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线DE交AB于点E，光线FG交AC于点G．已知△ABC是等边三角形，∠DEA＝29°，则∠FGA的度数为（　　） A．39° B．31° C．29° D．41° 【分析】过点A作AM∥DE，则AM∥FG，∠EAM＝∠DEA＝29°，由△ABC是等边三角形得∠BAC＝60°，故∠FGA＝31°． 【解答】解：如图，过点A作AM∥DE，则AM∥FG， ∵∠DEA＝29°， ∴∠EAM＝29°（两直线平行，内错角相等）， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠FGA＝∠MAG＝∠BAC﹣∠BAM＝60°﹣29°＝31°， 则∠FGA的度数为31°， 故选：B． 【变式1-3】（2026•厦门模拟）如图，在六角星ABCDEF中，△ABC和△DEF均为等边三角形，且AB∥DF，BC∥DE，AC∥EF．若△ABC和△DEF的边长分别为6和8，则六边形MNOPQR的周长为　14　 ． 【分析】根据题意，得出图中外部的六个小三角形都是等边三角形，据此将六边形MNOPQR的周长转化为AB与DF的和即可解决问题． 【解答】由题知， 因为△ABC为等边三角形且AC∥EF， 所以∠BOP＝∠A＝60°，∠BPO＝∠C＝60°， 所以△BOP是等边三角形， 所以OP＝OB， 同理可得，MN＝AN，DR＝MR，FQ＝PQ， 所以MN+NO+OP＝AB，MR+RQ+PQ＝DF． 又因为△ABC和△DEF的边长分别为6和8， 所以AB＝6，DF＝8， 所以六边形MNOPQR的周长为6+8＝14． 故答案为：14． ▌题型03 等边三角形的性质与折叠 1. 等边三角形固有性质 三边相等，三内角都是60°；三线合一。 2. 折叠通用不变性 折叠前后两个图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴。 3. 叠后最常出现的三类结论 ① 角度大量相等，快速凑出60°，生成新等边三角形，将等边三角形一角向内翻折，落在内部某边上，常会形成多个小等边。 ②折叠构造等腰三角形，再升级为等边。 ③线段等量代换，折叠前后对应边相等，可以把折线的线段等量替换成原等边的固定边长。 【典例1】（2026•莲池区二模）如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝40°，则∠2是（　　） A．50° B．55° C．60° D．58° 【分析】根据折叠的性质可得∠BDE＝∠B'DE，结合平角的定义和图形中角的关系求出∠BDE的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出∠2的度数． 【解答】解：由折叠的性质可知∠BDE＝∠B'DE， ∵∠B′DE＝∠1+∠ADE，∠ADE＝180°﹣∠BDE， ∴∠BDE＝∠1+180°﹣∠BDE， ∴2∠BDE＝180°+∠1， ∵∠1＝40°， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°（等边三角形的性质）， ∵∠BDE是△ADE的外角， ∴∠BDE＝∠A+∠2（三角形外角的性质）， ∴110°＝60°+∠2， ∴∠2＝50°． 则∠2的度数是50°． 故选：A． 【变式1-1】（2025秋•淮南期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm，点D，E分别在AC，BC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C'处，且点C'在△ABC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【分析】由折叠的性质得到：DC′＝DC，EC′＝EC，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【解答】解：∵△ABC是边长为4cm的等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4cm（等边三角形的性质）， 由折叠的性质得到：DC′＝DC，EC′＝EC， ∴AD+DC′+EC′+BE+AB＝AD+DC+EC+BE+AB＝AB+AC+BC＝4×3＝12cm， 即三个阴影部分的周长的和为12cm， 故选：D． 【变式1-2】（2025秋•藁城区期末）如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，则∠PED的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】由折叠的性质得出∠ADE＝∠PDE（180°﹣30°）＝75°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠A，AB＝BC， ∵DP⊥BC， ∴∠BPD＝90°，∠BDP＝30°， ∵把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处， ∴∠DPE＝∠A＝60°， ∴∠ADE＝∠PDE（180°﹣30°）＝75°， ∴∠PED，＝180°﹣∠DPE﹣∠PDE＝45°． 故选：B． 【变式1-3】已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为 　80°　 ． 【分析】根据等边三角形性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由翻折的性质得∠B'＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理可求出∠AFD＝40°，进而得∠B'GF＝80°，据此可得∠EGC的度数． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， 由翻折的性质得：∠B'＝∠B＝60°， 在△ADF中，∠A＝60°，∠ADF＝80°， ∴∠AFD＝180°﹣（∠A+∠ADF）＝40°， 在△B'FG中，∠B'＝60°，∠B'FG＝∠AFD＝40°， ∴∠B'GF＝180°﹣（∠B'+∠B'FG）＝80°， ∴∠EGC＝∠B'GF＝80°． 故答案为：80°． ▌题型04 等边三角形的性质求线段长 等边三角形与垂直平分线的性质的结合，等边三角形的三边相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 【典例1】（2026春•南山区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，连接AD，CD，BD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E，已知AD＝CD． （1）求证：BD垂直平分AC； （2）若BC＝9，DE＝5，求EF的长． 【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明△CEF是等边三角形得EF＝CE，再证明BE＝DE可得结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC（等边三角形的性质）． ∵AD＝CD， ∴点B、点D在AC的垂直平分线上， ∴BD垂直平分AC； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°（等边三角形的性质）． ∵DE∥AB， ∴∠CEF＝∠CBA＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝CE． 由（1）可知BD垂直平分AC， ∴， ∴∠BDE＝∠CED﹣∠CBD＝30°， ∴∠BDE＝∠CBD＝30°， ∴DE＝BE＝5， ∴CE＝BC﹣BE＝4， ∴EF＝CE＝4． 【变式1-1】（2026春•高陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB，交边AD于点E，连接BD，交CE于点F，若CE＝12，则CF的长为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD，△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形，作差计算即可． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点O， ∵AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°， ∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∠CAB＝∠CAD∠BAD＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠BAD＝∠DEF＝60°，∠CAB＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形， ∴AE＝CE＝12，DE＝EF＝AD﹣AE＝14﹣12＝2， ∴CF＝CE﹣EF＝12﹣2＝10． 故选：D． 【变式1-2】（2025秋•新疆期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC， ∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm， ∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB， ∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E， ∴CD＝CE＝2cm， 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•南皮县期末）如图，△ABC的边AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD，若△BCD为等边三角形，且周长为12，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出AD的长度． 【解答】解：∵△BCD为等边三角形，且周长为12， ∴BC＝CD＝BD＝4， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD＝4（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， 故选：B． ▌题型05 等边三角形的性质求周长 折叠阴影周长问题：折叠前后对应边相等，通过替换后，阴影周长往往等于原等边三角形周长。 平移前后的图形全等，对应边相等。 【典例1】（2026•雷州市一模）如图，已知等边三角形ABC被一矩形所截，AB被截成三等分，且EH∥BC．若EH＝3，则四边形EFGH的周长为（　　） A．24 B．21 C．18 D．15 【分析】根据等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵等边三角形ABC被一矩形所截，AB被截成三等分，且EH∥BC， ∴△AEH、△AFG均为等边三角形， ∴AE＝EH＝AH＝3，AF＝FG＝AG＝6， ∴EF＝AF﹣AE＝6﹣3＝3， 同理GH＝AG﹣AH＝3， ∴四边形EFGH的周长＝3+6+3+3＝15， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•浑南区期末）如图，将边长为2的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据等边三角形的性质可知AB＝BC＝AC＝2，根据平移的性质可知AD＝CF＝1，DF＝AC＝2，进一步求解即可． 【解答】解：在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝2， 根据平移的性质，可知AD＝CF＝1，DF＝AC＝2， ∴四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD＝2+2+1+2+1＝8， 故选：B． 【变式1-2】（2025秋•辉县市期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为7，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．7 D．8 【分析】先求出EFBC，再证明△DEF是等边三角形得DE＝DF＝EF，由此即可得出△DEF的周长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为7， ∴BC＝7，∠B＝∠C＝60°， ∵E，F是BC的三等分点， ∴EFBC， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴∠DEF＝∠DFE＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF＝EF， ∴△DEF的周长是：3×EF7． 故选：C． 【变式1-3】（2025秋•包河区校级期末）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：A→C→B，路程为S甲．乙：A→D→E→F→B，路程为S乙．丙：A→G→H→B，路程为S丙．下列关系正确的是（　　） A．S甲＝S乙＞S丙 B．S甲＝S乙＜S丙 C．S甲＝S丙＞S乙 D．S甲＝S丙＜S乙 【分析】设AB＝a，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为2a，分析四边形ABHG，得出丙的路程小于2a，比较得出S甲＝S乙＞S丙． 【解答】解：设AB的长度为a，因为△ABC有两个角是60°，所以是等边三角形， ∴根据等边三角形的性质得，S甲＝AC+BC＝a+a＝2a； 由于△ADE和△EFB是等边三角形，设△ADE的边长为m， 可得AD＝DE＝AE＝m，EF＝FB＝EB＝a﹣m， ∴根据等边三角形的性质得，S乙＝AD+DE+EF+FB＝m+m+（a﹣m）+（a﹣m）＝2a； 丙路程中，延长AG与BH，交于点I（如图）， ∵GI+HI＞GH，两边同加AG+BH得， AG+GI+BH+HI＞AG+GH+BH， ∴AI+BI＞AG+GH+BH，又AB＝AI＝BI＝a， ∴2a＞AG+GH+BH，又l丙＝AG+GH+BH， 综上所述，S甲＝S乙＞S丙，所以只有A选项正确，符合题意． 故选：A． ▌题型06 等边三角形的性质求面积 1.折叠问题求面积 ①折叠前后图形全等，面积相等； ②阴影面积常用整体减空白计算； ③经常搭配线段等量代换，先求出小等边的边长再算面积。 2.手拉手双等边面积结论 两个全等的等边三角形，面积完全相等；通过全等转化，可以把不规则图形面积转移成等边三角形面积。 3. 等边分割成四个全等小等边 把三边中点依次相连，原图分成4个一模一样的小等边，每个小等边边长是原来的，单个面积为整体的。 【典例1】（2026春•福田区期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 【分析】由图形得到阴影的面积＝△ABC面积的，于是得到答案． 【解答】解：∵图形中阴影的面积＝△ADE的面积，△ADE的面积＝△ABC面积的， ∴图中阴影部分的面积＝123． 故选：B． 【变式1-1】（2025秋•瑶海区校级期末）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使得CE＝CD，连接DE，过点E作EF⊥DE交AC的延长线于点F，若△ABD的面积为12，则△CEF的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】首先利用等边三角形的性质，中线的性质得到对应角度和S△ABD＝S△CBD＝12，再利用等边三角形的性质找出△DFE和△CEF面积之间的关系即可得到△CEF的面积． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，S△ABD＝12， ∴∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，S△ABD＝S△CBD＝12， ∵CE＝CD，EF⊥DE， ∴，∠DEF＝90°， ∴∠ECF＝∠CEF＝60°， ∴△CEF为等边三角形， ∴EF＝CF＝CE＝CD（等边三角形的性质）， ∴C为线段DF的中点， 在△BCD和△DFE中， ， ∴△BCD≌△DFE（AAS）， ∴S△BCD＝S△DFE＝12， ∴． 则△CEF的面积为6， 故选：C． 【变式1-2】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图1，图2是该印章的几何示意图，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．若其中正方形的边长和等边三角形的边长都为m，等边三角形的高为n，则这个印章的表面积为（　　） A．18mn+4m2 B．18m2+4mn C．18m2+4n D．m2+18mn 【分析】正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为h，所以18个正方形的面积是18m2，8个三角形的面积是4mn，即可得解． 【解答】解：， ∴这个印章的表面积是18m2+4mn． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•安顺期末）如图，已知△ABC的周长是15，∠ABC＝60°，BO，CO，分别平分∠ABC和∠ACB交于点D，OD⊥BC，且OB＝4，△ABC的面积是　15　 ． 【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，先根据含30°的直角三角形的性质求出OD＝2OB＝8，再通过角平分线的性质得知，点O到三角形三边的距离相等，从而将三角形的面积问题转化为周长与高的乘积问题，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，如图， 由条件可知∠OBD＝30°， ∴在Rt△OBD中，， 由条件可得OE＝OD＝2，OF＝OD＝2． ∵，，，AB+AC+BC＝15， ∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC ＝15． 故答案为：15． ▌题型07 等边三角形的判定 判定1：三边都相等的三角形是等边三角形（定义判定） 判定2：三个内角都相等（都为60°）的三角形是等边三角形 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 解题步骤 ①审题：观察是否存在等腰条件（两边相等/等角对等边），有等腰：立刻在全图搜寻60°角，找到就用判定3； ②无等腰：观察有无平行线，利用平行传递60°角，凑两个60°用判定2； ③线段条件多：通过全等、折叠、垂直平分线做线段等量代换，凑三边相等用判定1 【典例1】（2025秋•东城区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，BE⊥BC，AE∥BD，CE交BD于点F． （1）求∠BAE的大小； （2）判断△BEF的形状，并证明． 【分析】（1）根据等边三角形性质得BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，根据点D是AC的中点得∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据AE∥BD得∠BAE＝∠ABD＝30°； （2）根据BE⊥BC得∠EBF＝60°，∠EBA＝30°，由此∠BAE＝∠EBF＝30°，则EA＝EB，由此可依据“SSS”判定△EAC和△EBC全等得∠ACE＝∠BCE∠BCA＝30°，再根据三角形外角性质得∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°，进而得∠EBF＝∠BFE＝60°，据此得△BEF是等边三角形． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°， ∵点D是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°， ∵AE∥BD， ∴∠BAE＝∠ABD＝30°； （2）△BEF是等边三角形，证明如下： ∵BE⊥BC， ∴∠EBC＝90°， ∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBD＝60°，∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝30°， 在△EAB中，∠BAE＝∠EBF＝30°， ∴EA＝EB， 在△EAC和△EBC中， ， ∴△EAC≌△EBC（SSS）， ∴∠ACE＝∠BCE∠BCA＝30°， ∵∠BFE是△FBC的外角， ∴∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°， 在△BEF中，∠EBF＝∠BFE＝60°， ∴△BEF是等边三角形． 【变式1-1】（2025秋•平城区期末）如图，∠A＝∠B＝60°，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等边三角形． 【分析】根据平行形线的性质得出∠CEB＝60°，再利用等边三角形的判定得出即可． 【解答】证明：∵∠A＝60°，CE∥DA， ∴∠CEB＝60°， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠CEB＝∠B＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形． 【变式1-2】（2025秋•呈贡区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交边BC于点D，且DA＝DC，延长DA使EA＝DA，连接BE． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：△EBD是等边三角形． 【分析】（1）由题意易得∠ABD＝∠DAC＝∠C，∠BAD＝90°，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得∠ADB＝60°，BD＝BE，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠C（等边对等角）． ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD（等边对等角）． ∴∠ABD＝∠DAC＝∠C（等量代换）． ∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°． ∴3∠ABC＝180°﹣90°＝90°． ∴∠ABC＝30°． （2）证明：∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵EA＝AD，AB⊥DE， ∴BD＝BE． ∴△BDE是等边三角形． 【变式1-3】如图，以等边△ABC的边AC为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A作AD⊥BE，交BC于点D，交EC的延长线于点F，设∠FAC＝α． （1）∠ACE＝　60°+α　 （用含α的式子表示），∠F＝　60°　 ； （2）当CF＝2，CE＝3，求AF的长． 【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，则∠BAD＝60°﹣α，再证明AB＝AE，由三线合一定理可得∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α，则∠CAE＝60°﹣2α，由等边对等角和三角形内角和定理求出∠ACE＝60°+α，则由三角形外角的性质可得∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°； （2）如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF、CG，则△CFG是等边三角形，得到CG＝CF，∠GCF＝60°，证明△ACG≌△BCF，得到AG＝BF，再证明AF是BE的垂直平分线，得到BF＝EF＝CE+CF＝5，则AF＝AG+FG＝BF+CF＝7． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵∠FAC＝α， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠FAC＝60°﹣α， ∵AE＝AC， ∴AB＝AE， ∵AD⊥BE， ∴∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α， ∴∠CAE＝∠EAD﹣∠FAC＝60°﹣2α， ∴， ∴∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°， 故答案为：60°+α，60°； （2）如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF、CG， ∵FG＝FC，∠F＝60°， ∴△CFG是等边三角形， ∴CG＝CF，∠GCF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCG＝∠CFG﹣∠BCG，即∠ACG＝∠BCF， 在△ACG和△BCF中， ， ∴△ACG≌△BCF（SAS）， ∴AG＝BF， ∵AE＝AB，AF⊥BE， ∴AF是BE的垂直平分线， ∴BF＝EF＝CE+CF＝5， ∴AF＝AG+FG＝BF+CF＝7 ▌题型08 等边三角形的性质与判定 1.判定（由条件证等边） 用来证明一个三角形是等边三角形，是解题的起点。 三条判定优先级： ①等腰三角形 + 一个60°角 ②三角形两个内角为60° ③三边全部相等 2.性质（已知等边推结论） 证明出等边之后，用来推导边角线段，是解题的后半段。 核心性质： ①三边相等，三角均为60° ②三线合一 ③轴对称，两侧全等。 综合题固定逻辑链：判定在前，性质在后，先用边角条件判定等边 → 再用等边的性质倒角、求边长、算面积。 【典例1】（2026•拱墅区校级二模）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若BF＝2，求AE的长． 【分析】（1）由AD垂直平分BC得AB＝AC，再由DF⊥AB，∠E＝30°得∠BAC＝60°，据此可得出结论； （1）由等边三角形性质得∠B＝60°，AC＝BC，在Rt△DFB中，根据BF＝2，∠BDF＝30°得BD＝2BF＝4，进而得CD＝BD＝4，则AC＝BC＝8，再证明∠CDE＝∠E＝30°得CE＝CD＝4，据此可得AE的长． 【解答】（1）证明：∵AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∵DF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴△AFE是直角三角形， 在Rt△AFE中，∠E＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （1）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AC＝BC， ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴△DFB是直角三角形， 在Rt△DFB中，BF＝2，∠BDF＝90°﹣∠B＝30°， ∴BD＝2BF＝4， ∵AD垂直平分BC， ∴CD＝BD＝4， ∴AC＝BC＝CD+BD＝8， 又∵∠CDE＝∠BDF＝30°，∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴CE＝CD＝4， ∴AE＝AC+CE＝12． 【变式1-1】（2025秋•太和县期末）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出AB＝CB，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出∠CDE＝30°＝∠E，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 【变式1-2】（2025秋•亭湖区期末）课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　∠AED ， ∴②　∠ADE ＝③　∠AED ， ∴AD＝AE．（④　等角对等边　 ） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得出答案； （2）由等边三角形的判定可得出答案． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE（等角对等边）， ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线， ∴，． ∵∠ADE为△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∵AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形． 【变式1-3】（2025秋•薛城区期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 【分析】（1）根据∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD，再由∠ABC＝∠ADC＝90°证明∠CBD＝∠CDB，则CB＝CD，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设∠F＝α，根据AB＝AF可得∠ABF＝∠F＝α，由于BF∥CD，可得∠F＝∠DCE，根据∠BAC是△ABF的外角，则∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，由于∠ABC＝90°，所以∠BCE+∠BAC＝90°，从而α＝30°，进而∠ACB＝60°，结论得证； ②延长AD至A′，使DA′＝AD，可得A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分上， ∴AC垂直平分BD； （2）①证明：设∠F＝α， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝α， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α， 由（1）AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE， ∴∠F＝∠BCE＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°， 则α＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形； ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH， 理由： 延长AD至A′，使DA′＝AD， ∵CD⊥AD， ∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH， ∴AH＝A′H， ∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小， 由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°， ∵A′G⊥AC即GH⊥CG， ∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°， ∴CH＝2GH， ∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $