第十三章 三角形（单元分层自测·冲刺卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年八年级上册数学第十三章三角形冲刺单元卷，整合多地期末真题，覆盖等腰三角形、稳定性、内角和等核心知识点，通过基础到综合的梯度设计，适配单元复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|等腰三角形周长、三角形稳定性、内角计算|结合生活情境（手推车示意图），基础巩固| |填空题|6/18|三边关系、中线性质、距离计算|注重几何直观（直角三角形距离问题）| |解答题|9/72|角平分线证明、平移作图、动态几何探究|综合题（三角尺旋转探究、动态点角平分线）体现推理与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B B A B D C A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．（答案不唯一，填7、8、9、10也可） 13． 14．4 15．3 16．或或 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【答案】角平分线的定义；；等式性质；等量代换；同位角相等，两直线平行······················6分 【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义，结合平行线的判定证明即可． 【详解】略 18．（6分） 【答案】(1)证明：是的平分线， ， 又， ， ；·····················3分 (2) 【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等． （2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， ．·····················6分 19．（6分） 【答案】(1)如图，高即为所求 ·····················3分 (2)如图，三角形即为所求： ·····················6分 【详解】（1）略 （2）略 20．（6分） 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据直角三角形的锐角互余得出，根据三角形的角平分线的定义得出，进而根据三角形外角得出； （2）根据三角形的中线的定义得出，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴；·····················3分 （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为3．·····················6分 21．（8分） 【答案】(1)； (2)·····················5分 (3)6 【分析】（1）根据平移的规律作答即可； （2）根据（1）中坐标作图即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、， ∴，，， 即，，；·····················3分 （2）略； （3）解：．·····················8分 22．（8分） 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴．·····················2分 （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴．·····················5分 （3）略·····················8分 23．（8分） 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的度数为或 (4) 【分析】（1）根据题意构造二元一次方程组求解； （2）首先表示出，，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别表示出，然后利用三角形内角和定理列方程求解； （3）首先根据三角形内角和定理和折叠的性质得到，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别联立方程组求解即可； （4）设与交于点F，由折叠得，然后利用三角形外角的性质得到，然后结合“黄金角”的定义求解． 【详解】（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余， ∴， 解得；·····················2分 （2）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵与互为“黄金角”， ∴当时， ， ∵， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的度数为或；·····················4分 （3）解：∵，， ∴， ∴， 由折叠得， ，， ∴， ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴当时， 联立得， ， 解得； 当时， 联立得， ， 解得； 综上所述， 的度数为或；·····················6分 （4）解：如图，设与交于点F， 由折叠得， ， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴， ， ∴．·····················8分 24．（12分） 【答案】(1)； (2)与之间的数量关系为：， 理由如下：， ， ，， ， 又，， ； (3)的度数为或 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，根据角的和差关系得到. （2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可证明结论． （3）根据当时，即时，以及当时，即时，分情况讨论，利用（2）中的结论得出的度数． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；·····················2分 （2）略；·····················6分 （3）解：分以下情况讨论： ①当时，如答图①，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为， 当时，由（2）的结论可得，， ②当时，如答图②，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为， 当时，， 由（2）的结论可得，， 综上所述，的度数为或．·····················12分 25．（12分） 【答案】(1)； (2)①；②大小不变，度数恒为． (3)①；②的度数为或． 【分析】（1）先由直线垂直得到直角，结合已知求出，再利用角平分线定义得到两个半角，最后依据三角形内角和定理计算． （2）①利用垂直定义与三角形的性质求出，结合角平分线得到两组半角，再计算；②设，用含的代数式表示相关半角，作差消去参数，证明为定值． （3）①由邻补角与角平分线推出，结合三角形的性质得到与的数量关系，再根据直角三角形两锐角互余，推导出与的关系式；②为直角三角形，分四种角度倍数情况分类讨论，舍去超出锐角范围的解，得到符合题意的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ；·····················3分 （2）解：①， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ；·····················5分 ②大小不变，度数恒为， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 大小不变，度数恒为；·····················7分 （3）解：①平分，平分， ，， ， 平分，， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 整理得：．·····················9分 ②由①得：，，． 情况1：， ， ， ． 情况2：， ， ， ， ， 是直角三角形内锐角，，故此解舍去． 情况3：， ， ， ，， ，不符合题意，舍去． 情况4：， ， ， ， ． 综上，的度数为或．·····················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为底边长时，两腰长均为6， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形周长为； ②当3为腰长时，底边长为6， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 因此三角形的周长为15． 2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 4．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化简即可． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，， ∴，． ∴． 5．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，利用平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 6．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系后，根据“和谐比”的定义计算即可． 【详解】解：等腰的周长为，一边长为， ∴分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 当为底边长时，腰长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 综上：等腰的“和谐比”为或， 8．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 【答案】C 【分析】连接，利用三角形中线将三角形面积平分，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ，，，，分别为五边形各边中点， ,，，， 图中阴影部分的总面积是15， ， 五边形的面积是． 9．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 10．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，点D在边上，满足，的平分线交于E，交于F．下列结论： ①；②；③；④． 所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到，然后判断出不一定等于，然后结合三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵和不一定相等， ∴不一定等于，故①错误； ∵，，， ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴， 若， ∴ ∴， ∴， ∴，根据题意无法得到， ∴不成立，故③错误； ∵， ∴ ，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是②④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则________． 【答案】 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 【详解】解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）将三根长分别为，，的小木棒首尾相接构成一个三角形，则整数的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一，填7、8、9、10也可） 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再选取范围内的整数即可． 【详解】解：据三角形三边关系，可得， 即， 为整数， 可以为，，，，中任意一个． 13．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 【答案】 【分析】过点作于，交于，可得，利用“等积法”可求出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，交于，则， ∵， ∴， ∵点到的距离是， ∴， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴与之间的距离是． 14．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________． 【答案】 4 【分析】先根据三角形中线的性质得，进而求出，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是的中线， ∴． ∵， ∴， 解得． 15．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 16．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，分三种情况根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 当时，如图，延长交于点G， 可知， ∴， ∴； 当时，如图， 可知， ∴； 当时，如图， 可知， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵是的外角（已知）， ∴ （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵（已知）， ∴， 即（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】角平分线的定义；；等式性质；等量代换；同位角相等，两直线平行······················6分 【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义，结合平行线的判定证明即可． 【详解】略 18．（6分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)证明：是的平分线， ， 又， ， ；·····················3分 (2) 【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等． （2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， ．·····················6分 19．（6分）（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上． (1)作交的延长线于点 ； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形． 【答案】(1)如图，高即为所求 ·····················3分 (2)如图，三角形即为所求： ·····················6分 【详解】（1）略 （2）略 20．（6分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据直角三角形的锐角互余得出，根据三角形的角平分线的定义得出，进而根据三角形外角得出； （2）根据三角形的中线的定义得出，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴；·····················3分 （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为3．·····················6分 21．（8分）（25-26七年级下·广东阳江·期末）如图，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、． (1)直接写出坐标：（____，____），（_____，_____），（_____，_____）． (2)画出平移后的三角形． (3)求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)·····················5分 (3)6 【分析】（1）根据平移的规律作答即可； （2）根据（1）中坐标作图即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、， ∴，，， 即，，；·····················3分 （2）略； （3）解：．·····················8分 22．（8分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴．·····················2分 （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴．·····················5分 （3）略·····················8分 23．（8分）（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的度数为或 (4) 【分析】（1）根据题意构造二元一次方程组求解； （2）首先表示出，，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别表示出，然后利用三角形内角和定理列方程求解； （3）首先根据三角形内角和定理和折叠的性质得到，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别联立方程组求解即可； （4）设与交于点F，由折叠得，然后利用三角形外角的性质得到，然后结合“黄金角”的定义求解． 【详解】（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余， ∴， 解得；·····················2分 （2）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵与互为“黄金角”， ∴当时， ， ∵， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的度数为或；·····················4分 （3）解：∵，， ∴， ∴， 由折叠得， ，， ∴， ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴当时， 联立得， ， 解得； 当时， 联立得， ， 解得； 综上所述， 的度数为或；·····················6分 （4）解：如图，设与交于点F， 由折叠得， ， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴， ， ∴．·····················8分 24．（12分）（25-26七年级下·山东淄博·期末）综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，． (1)若，则的度数为_____； (2)如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 【答案】(1)； (2)与之间的数量关系为：， 理由如下：， ， ，， ， 又，， ； (3)的度数为或 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，根据角的和差关系得到. （2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可证明结论． （3）根据当时，即时，以及当时，即时，分情况讨论，利用（2）中的结论得出的度数． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；·····················2分 （2）略；·····················6分 （3）解：分以下情况讨论： ①当时，如答图①，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为， 当时，由（2）的结论可得，， ②当时，如答图②，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为， 当时，， 由（2）的结论可得，， 综上所述，的度数为或．·····················12分 25．（12分）（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图，平分，平分，若，求的度数． (2)如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． (3)如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)①；②大小不变，度数恒为． (3)①；②的度数为或． 【分析】（1）先由直线垂直得到直角，结合已知求出，再利用角平分线定义得到两个半角，最后依据三角形内角和定理计算． （2）①利用垂直定义与三角形的性质求出，结合角平分线得到两组半角，再计算；②设，用含的代数式表示相关半角，作差消去参数，证明为定值． （3）①由邻补角与角平分线推出，结合三角形的性质得到与的数量关系，再根据直角三角形两锐角互余，推导出与的关系式；②为直角三角形，分四种角度倍数情况分类讨论，舍去超出锐角范围的解，得到符合题意的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ；·····················3分 （2）解：①， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ；·····················5分 ②大小不变，度数恒为， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 大小不变，度数恒为；·····················7分 （3）解：①平分，平分， ，， ， 平分，， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 整理得：．·····················9分 ②由①得：，，． 情况1：， ， ， ． 情况2：， ， ， ， ， 是直角三角形内锐角，，故此解舍去． 情况3：， ， ， ，， ，不符合题意，舍去． 情况4：， ， ， ， ． 综上，的度数为或．·····················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 9．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 10．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，点D在边上，满足，的平分线交于E，交于F．下列结论： ①；②；③；④． 所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则________． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）将三根长分别为，，的小木棒首尾相接构成一个三角形，则整数的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 13．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 14．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________． 15．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 16．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵是的外角（已知）， ∴ （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵（已知）， ∴， 即（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 18．（6分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 19．（6分）（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上． (1)作交的延长线于点 ； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形． 20．（6分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 21．（8分）（25-26七年级下·广东阳江·期末）如图，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、． (1)直接写出坐标：（____，____），（_____，_____），（_____，_____）． (2)画出平移后的三角形． (3)求三角形的面积． 22．（8分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 23．（8分）（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 24．（12分）（25-26七年级下·山东淄博·期末）综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，． (1)若，则的度数为_____； (2)如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 25．（12分）（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图，平分，平分，若，求的度数． (2)如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． (3)如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 9．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 10．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，点D在边上，满足，的平分线交于E，交于F．下列结论： ①；②；③；④． 所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则________． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）将三根长分别为，，的小木棒首尾相接构成一个三角形，则整数的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 13．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 14．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________． 15．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 16．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵是的外角（已知）， ∴ （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵（已知）， ∴， 即（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 18．（6分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 19．（6分）（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上． (1)作交的延长线于点 ； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形． 20．（6分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 21．（8分）（25-26七年级下·广东阳江·期末）如图，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、． (1)直接写出坐标：（____，____），（_____，_____），（_____，_____）． (2)画出平移后的三角形． (3)求三角形的面积． 22．（8分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 23．（8分）（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 24．（12分）（25-26七年级下·山东淄博·期末）综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，． (1)若，则的度数为_____； (2)如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 25．（12分）（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图，平分，平分，若，求的度数． (2)如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． (3)如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $