2.3 等腰三角形的性质定理 题型专练 2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

浙教版（2024）八年级上册 2.3 等腰三角形的性质定理 题型专练 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典型例题】若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（　　） A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100° 【举一反三1】等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A.80°或50° B.80° C.50° D.50°或20° 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD．若∠ACD＝20°，则∠A＝　 　°． 【举一反三3】一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的顶角的度数． 【题型2】等边对等角与三角形的外角 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝52°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　） A.52° B.63° C.120° D.130° 【举一反三1】如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝18°，则∠GEF的度数为（　　） A.75° B.80° C.85° D.90° 【举一反三2】一张小凳子的结构如图所示，AC＝BC，∠1＝100°，则∠2＝　  　°． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，D为BC上一点，连结AD，作∠ADE＝35°，DE交线段AC于点E． （1）直接写出∠B，∠C的大小； （2）若AE＝DE，求∠BDA的大小． 【题型3】等边对等角与平行线 【典型例题】已知直线a∥b，将以PM，PN为两腰的等腰△PMN的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若∠M＝40°，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A.75° B.70° C.65° D.60° 【举一反三1】如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝BC，∠1＝70°，那么∠ABC等于（　　） A.20° B.30° C.40° D.50° 【举一反三2】如图，将一副三角板拼成一幅“帆船图”．若CB∥EF，CB＝CE，则∠BEF＝　   　． 【举一反三3】如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 　 　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，已知DE∥BC且DB＝DE． （1）求证：BE是△ABC的角平分线； （2）若∠A＝65°，∠C＝45°，求∠AEB的度数． 【题型4】等边对等角与线段的垂直平分线 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC＝10，△BDC的周长为24，那么△ABC的周长是（　　） A.30 B.32 C.34 D.38 【举一反三1】如图，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAC＝（　　） A.30° B.40° C.60° D.120° 【举一反三2】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如图所示，若△ABC与△BEC的周长分别为30cm和18cm，则△ABC的腰长为 　    　． 【举一反三3】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC＝　 　°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝5．求∠ECB的度数及边BC的长． 【题型5】等腰三角形“三线合一”的性质 【典型例题】如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（　　） A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AB和AD，焊接点A D.AD和BC，焊接点D 【举一反三1】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一” 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（　　） A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC 【举一反三3】如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　） A.AB＝2BD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.∠B＝∠C 【举一反三4】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 【举一反三5】如图，在三角测平架中，AB＝AC．在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这是为什么？ 答：　                                　． 【举一反三6】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 【典型例题】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE的大小为（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A.18° B.27° C.25° D.36° 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝BC，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝　   　°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝30°，则∠C的度数为 　 　°． 【举一反三5】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数． 【举一反三6】在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠CAD． 【题型7】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，点E为中线AD上一点，已知△ABE和△CDE的面积分别为1.5和2，则AD的长度为　　． 【举一反三3】如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝　 　． 【举一反三4】已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ． 【题型8】等腰三角形的性质综合 【典型例题】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是（　　） A.BC边上的高线和中线互相重合 B.AB和AC边上的中线相等 C.三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等 D.等腰三角形最多有一条对称轴 【举一反三1】下列说法中错误的是（　　） A.等腰三角形的底角一定是锐角 B.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍 C.等腰三角形至少有两个角相等 D.等腰三角形的顶角一定是锐角 【举一反三2】下列说法正确的是（　　） A.等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合 B.等角对等边 C.等腰三角形一定是锐角三角形 D.等腰三角形两个底角相等 【举一反三3】下列说法中错误的是（　　） A.等腰三角形是轴对称图形 B.等腰三角形的两个底角相等 C.等腰三角形的角平分线，中线、高线互相重合 D.有两条边相等的三角形是等腰三角形 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件：　         　，能使AD⊥BC成立． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有　      　． 【举一反三6】做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合． 对于下列结论： ①在同一个三角形中，等角对等边； ②在同一个三角形中，等边对等角； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合． 由上述操作可得出的是　   　（将正确结论的序号都填上）． 【举一反三7】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件：　         　，能使AD⊥BC成立． 【题型9】根据等边三角形的性质求角 【典型例题】如图，，则是的(    ) A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 【举一反三1】已知：如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为          ． 【举一反三3】如图，△ABC为等边三角形，BC⊥CD，AC＝CD，求∠CED的度数． 浙教版（2024）八年级上册 2.3 等腰三角形的性质定理 题型专练（参考答案） 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典型例题】若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（　　） A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100° 【答案】C 【解析】当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角（180°﹣40°）＝70°； 当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°， 故它的底角的度数是70°或40°． 故选：C． 【举一反三1】等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A.80°或50° B.80° C.50° D.50°或20° 【答案】A 【解析】分两种情况： ①当80°的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°； ②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°， 故它的底角度数是50°或80°． 故选：A． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD．若∠ACD＝20°，则∠A＝　 　°． 【答案】50 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝20°， ∴∠BCD＝70°， 根据题意得，BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50． 【举一反三3】一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的顶角的度数． 【答案】解：①当都是底角时，设其为x，则x＝2x﹣30°，x＝30°，所以顶角为：180°﹣30°×2＝120°； ②当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2（2x﹣30°）＝180°， 解得x＝48°，即顶角为48°； ③当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+2x﹣30°＝180°， 解得x＝52.5°，顶角为：180°﹣52.5°×2＝75°； 故这个三角形的顶角的度数为120°或48°或75°． 【题型2】等边对等角与三角形的外角 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝52°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　） A.52° B.63° C.120° D.130° 【答案】C 【解析】如图，连接CP． ∵∠A＝52°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣52°）÷2＝64°． ∵∠APC是△BCP的外角， ∴∠APC＝∠B+∠BCP， ∴64°≤∠APC＜128°， ∴∠APC度数可能是120°． 故选：C． 【举一反三1】如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝18°，则∠GEF的度数为（　　） A.75° B.80° C.85° D.90° 【答案】D 【解析】∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠A＝18°， ∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝36°， ∵BC＝CD， ∴∠CDB＝∠CBD＝36°， ∴∠DCE＝∠A+∠CDA＝18°+36°＝54°， ∵CD＝DE， ∴∠CED＝∠DCE＝54°， ∴∠EDF＝∠A+∠AED＝18°+54°＝72°， ∵DE＝EF， ∴∠EFD＝∠EDF＝72°， ∴∠GEF＝∠A+∠AFE＝18°+72°＝90°． 故选：D． 【举一反三2】一张小凳子的结构如图所示，AC＝BC，∠1＝100°，则∠2＝　  　°． 【答案】50 【解析】∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠2， ∵∠1＝∠CAB+∠2， ∴∠1＝2∠2， ∵∠1＝100°， ∴∠2＝50°， 故答案为：50． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，D为BC上一点，连结AD，作∠ADE＝35°，DE交线段AC于点E． （1）直接写出∠B，∠C的大小； （2）若AE＝DE，求∠BDA的大小． 【答案】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝110°， ∴∠B＝∠C（180°﹣110°）＝35°； （2）∵AE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE＝35°， ∵∠C＝35°， ∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝35°+35°＝70°． 【题型3】等边对等角与平行线 【典型例题】已知直线a∥b，将以PM，PN为两腰的等腰△PMN的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若∠M＝40°，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A.75° B.70° C.65° D.60° 【答案】C 【解析】如图，设直线a与MN交于点Q． ∵PM＝PN， ∴∠PNM＝∠M＝40°， ∴∠MPN＝180°﹣∠PNM﹣∠M＝100°． ∵a∥b， ∴∠QPN＝∠1＝35°， ∴∠2＝∠MPN﹣∠QPN＝100°﹣35°＝65°． 故选：C． 【举一反三1】如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝BC，∠1＝70°，那么∠ABC等于（　　） A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】C 【解析】∵m∥n， ∴∠ACB＝∠1＝70°， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：C． 【举一反三2】如图，将一副三角板拼成一幅“帆船图”．若CB∥EF，CB＝CE，则∠BEF＝　   　． 【答案】105° 【解析】∵BC∥EF， ∴∠BCE＝∠CEF＝30°， ∵CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB75°， ∴∠BEF＝∠CEB+∠CEF＝105°， 故答案为：105°． 【举一反三3】如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】52° 【解析】如图： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝54°， ∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝72°， ∵∠1＝20°， ∴∠3＝∠CAB﹣∠1＝52°， ∵l1∥l2， ∴∠3＝∠2＝52°， 故答案为：52°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，已知DE∥BC且DB＝DE． （1）求证：BE是△ABC的角平分线； （2）若∠A＝65°，∠C＝45°，求∠AEB的度数． 【答案】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∵DB＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴BE是△ABC的角平分线； （2）解：∵∠A＝65°，∠C＝45°， ∴∠ABC＝70°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE＝35°， ∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝80°． 【题型4】等边对等角与线段的垂直平分线 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC＝10，△BDC的周长为24，那么△ABC的周长是（　　） A.30 B.32 C.34 D.38 【答案】D 【解析】∵AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E， ∴AD＝BD， ∵△BDC的周长为24， ∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝24， ∵BC＝10， ∴AC＝14， ∵AB＝AC， ∴AB＝14， ∴△ABC的周长为14+14+10＝38， 故选：D． 【举一反三1】如图，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAC＝（　　） A.30° B.40° C.60° D.120° 【答案】A 【解析】∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠C＝∠B＝30°， ∵AC的垂直平分线MN交BC于点D， ∴CD＝AD， ∴∠CAD＝∠C＝30°． 故选：A． 【举一反三2】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如图所示，若△ABC与△BEC的周长分别为30cm和18cm，则△ABC的腰长为 　    　． 【答案】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵△EBC的周长是18cm， ∴BC+BE+EC＝18cm，即AC+BC＝18cm， ∵△ABC的周长是30cm， ∴AB+AC+BC＝30cm， ∴AB＝30﹣18＝12（cm）． 故答案为：12cm． 【举一反三3】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC＝　 　°． 【答案】30 【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝5．求∠ECB的度数及边BC的长． 【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°， ∵AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E， ∴AE＝CE， ∴∠A＝∠ACE＝36°， ∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝36°， ∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°， ∴∠BEC＝∠B， ∴BC＝EC， ∵EC＝AE，AE＝5， ∴BC＝AE＝5． 【题型5】等腰三角形“三线合一”的性质 【典型例题】如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（　　） A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AB和AD，焊接点A D.AD和BC，焊接点D 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的三线合一，知：AD⊥BC，根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D， 故选：D． 【举一反三1】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（　　） A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC 【答案】D 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴∠B＝∠C，AD⊥BC，D是BC的中点，无法证明AB＝BC． 故选：D． 【举一反三3】如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　） A.AB＝2BD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.∠B＝∠C 【答案】A 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC（故B不符合题意）， AD平分∠BAC（故C不符合题意）， ∠B＝∠C（故D不符合题意）， 无法得到AB＝2BD（故A符合题意）， 故选：A． 【举一反三4】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 【答案】BD＝CD，AD平分∠BAC． 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC ∴△ABC是等腰三角形， ∴BD＝CD，AD平分∠BAC， 故答案为：BD＝CD，AD平分∠BAC． 【举一反三5】如图，在三角测平架中，AB＝AC．在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这是为什么？ 答：　                                　． 【答案】等腰三角形底边上的中线就是底边上的高 【解析】∵在三角测平架中，AB＝AC， ∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高， 又AD自然下垂， ∴BC处于水平位置． 理由：等腰三角形底边上的中线就是底边上的高． 【举一反三6】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 【答案】BD＝CD，AD平分∠BAC． 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC ∴△ABC是等腰三角形， ∴BD＝CD，AD平分∠BAC， 故答案为：BD＝CD，AD平分∠BAC． 【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 【典型例题】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE的大小为（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠C＝40°， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝70°， ∴∠ADE＝20°， 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A.18° B.27° C.25° D.36° 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠ABC＝∠ACD＝70°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵DE＝BD， ∴BD＝CD＝DE， ∴∠EBD＝∠BED＝∠DCE＝∠DEC＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝70°﹣45°＝25°． 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD是∠BAC的角平分线， ∵∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°， ∴∠DAC∠BAC＝40°． 故选：B． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝BC，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝　   　°． 【答案】90° 【解析】∵AB＝BC，BD为∠ABC的平分线， ∴BD为底边AC上的高线， ∴∠BDC＝90°， 故答案为：90°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝30°，则∠C的度数为 　 　°． 【答案】60 【解析】AB＝AC，D为BC中点， ∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝60°， ∴∠C（180°﹣60°）＝60°． 故答案为：60． 【举一反三5】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数． 【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝75°， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°． 【举一反三6】在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠CAD． 【答案】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， 又∵BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠C+∠BEC＝∠CAD+∠C+∠ADC＝180° ∴∠CBE＝∠CAD． 【题型7】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的BC边的中线， ∴BD＝DCBC＝2， 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∵E是AC的中点， ∴S△CDES△ABC， 则S四边形ABDES△ABC， ∴S△CDE：S四边形ABDE： 1：3． 故选：B． 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，点E为中线AD上一点，已知△ABE和△CDE的面积分别为1.5和2，则AD的长度为　　． 【答案】 【解析】∵AB＝AC，点E为中线AD上一点， ∴AD⊥BC， ∵△ABE和△CDE的面积分别为1.5和2， ∴S△ABCBC•AD＝2（S△ABE+S△CDE）＝2（1.5+2）＝7， ∵BC＝3， ∴AD， 故答案为：． 【举一反三3】如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝　 　． 【答案】5 【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线， ∴AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线， ∴CD＝BD， ∵BD＝5， ∴CD＝5， 故答案为：5． 【举一反三4】已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ． 【答案】证明：过点A作AO⊥BC于O． ∵AB＝AC，AO⊥BC ∴BO＝CO ∵AP＝AQ，AO⊥BC ∴PO＝QO ∴BO﹣PO＝CO﹣QO ∴BP＝CQ． 【题型8】等腰三角形的性质综合 【典型例题】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是（　　） A.BC边上的高线和中线互相重合 B.AB和AC边上的中线相等 C.三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等 D.等腰三角形最多有一条对称轴 【答案】D 【解析】A、BC边上的高线和中线互相重合，故本选项正确，不符合题意； B、AB和AC边上的中线相等，故本选项正确，不符合题意； C、三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等，故本选项正确，不符合题意； D、等腰三角形最多有3条对称轴，故本选项不正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三1】下列说法中错误的是（　　） A.等腰三角形的底角一定是锐角 B.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍 C.等腰三角形至少有两个角相等 D.等腰三角形的顶角一定是锐角 【答案】D 【解析】A、根据三角形内角和是180°，等腰三角形的底角一定是锐角正确，故本选项错误； B、根据三角形的外角性质，等腰三角形顶角的外角是底角的2倍正确，故本选项错误； C、等腰三角形至少有两个角相等正确，故本选项错误； D、等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，故本选项正确． 故选：D． 【举一反三2】下列说法正确的是（　　） A.等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合 B.等角对等边 C.等腰三角形一定是锐角三角形 D.等腰三角形两个底角相等 【答案】D 【解析】A、等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，故本选项错误． B、等角对等边必须在三角形中．故本选项错误． C、等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，故本选项错误． D、等腰三角形的两个底角相等．故本选项正确． 故选：D． 【举一反三3】下列说法中错误的是（　　） A.等腰三角形是轴对称图形 B.等腰三角形的两个底角相等 C.等腰三角形的角平分线，中线、高线互相重合 D.有两条边相等的三角形是等腰三角形 【答案】C 【解析】A、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线、底边中线和底边上的高所在的直线；故A正确． B、根据性质，“等边对等角”；故B正确． C、底和腰不等的等腰三角形，是顶角的平分线，底边上的高线、中线互相重合；故C错误． D、根据等腰三角形的定义知，有两条边相等的三角形是等腰三角形；故D正确． 故选：C． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件：　         　，能使AD⊥BC成立． 【答案】答案不唯一，如BD＝CD 【解析】①若BD＝CD，则AD⊥BC， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC． ②若∠BAD＝∠CAD，则AD⊥BC， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC． 故填BD＝CD． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有　      　． 【答案】①②③④ 【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DAE＝∠DAF，∠DEA＝∠DFA， 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF，DE＝DF，∠ADE＝∠ADF， ∴①②正确； 又∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD垂直平分线段BC， ∴③正确； 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴全等的三角形共有三对， ∴④正确， 综上可知正确的为①②③④， 故答案为：①②③④． 【举一反三6】做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合． 对于下列结论： ①在同一个三角形中，等角对等边； ②在同一个三角形中，等边对等角； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合． 由上述操作可得出的是　   　（将正确结论的序号都填上）． 【答案】②③ 【解析】从操作过程没有体现角相等，边就相等，故①不符合； 因为AB＝AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合； 根据所得的像与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD＝CD，又AD平分∠BAC，所以③符合． 故操作可以得出的是②③两结论． 故填②③． 【举一反三7】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件：　         　，能使AD⊥BC成立． 【答案】答案不唯一，如BD＝CD 【解析】①若BD＝CD，则AD⊥BC， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC． ②若∠BAD＝∠CAD，则AD⊥BC， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC． 故填BD＝CD． 【题型9】根据等边三角形的性质求角 【典型例题】如图，，则是的(    ) A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 【答案】A 【解析】 ，是等边三角形，和均为等腰三角形，，，，，，，，， 故选A． 【举一反三1】已知：如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，延长交直线于， 是等边三角形，，，，，． 故选C． 【举一反三2】如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】连接，和都是边长为的等边三角形， ，， ， ， ≌， ， ，当点与点重合时，的值最小，正好等于的长， 的最小值为． 【举一反三3】如图，△ABC为等边三角形，BC⊥CD，AC＝CD，求∠CED的度数． 【答案】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵BC⊥CD， ∴∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°， ∵CA＝CD， ∴∠CAD＝∠D（180°﹣∠ACD）＝15°， ∴∠CED＝90°﹣∠D＝75°， ∴∠CED的度数为75°． 学科网（北京）股份有限公司 $