第一章 勾股定理 重难点训练--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理从基础应用到综合拓展的13类题型，以题载知，构建“概念理解-定理应用-拓展创新”的递进逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定理应用|题型1-2（6题）|解三角形、证线段关系|从直接计算到逻辑推理，夯实定理核心应用| |定理证明|题型3（3题）|等面积法、图形拼接|通过不同证法深化定理推导本质| |拓展应用|题型4-13（30题）|弦图计算、构造图形、勾股树等|结合网格、折叠、实际场景，体现几何直观与模型意识|

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 勾股定理 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 利用勾股定理证明线段平分关系 题型3 勾股定理的证明方法 题型4 以弦图为背景的计算题 题型5 用勾股定理构造图形解决问题 题型6 勾股数（树）问题 题型7 判断三边能否构成直角三角形 题型8 在网格中判断直角三角形 题型9 利用勾股定理的逆定理求解 题型10 勾股定理逆定理的拓展问题 题型11 勾股定理与网格问题 题型12 勾股定理与折叠问题 题型13 勾股定理的应用 【勾股定理解三角形】 1．如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 【答案】 【分析】根据勾股定理找到规律即可． 【详解】解：， 以此类推，可得 ． 2．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点，将沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹，用黑色签字笔描图．简要说明分析思路，示例第1步：作的垂直平分线；第2步：过点C作的垂线） (2)在（1）所作图形中，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据折叠性质，作的平分线交于点即可．以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则点即为所求． （2）先可求得，由折叠可知，可得为直角三角形，设，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：∵在中，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为3． 3．定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，那么我们称此三角形为“三倍平方三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 【答案】(1)这个三角形是“三倍平方三角形” (2)该直角三角形的另外两条边长分别为和 【分析】（1）根据题意，得，判定求解即可． （2）根据定义，分类求解． 【详解】（1）解：这个三角形是“三倍平方三角形”，理由如下： 根据题意，得， 故，符合定义， 故这个三角形是“三倍平方三角形”； （2）解：设这个直角三角形的另一条直角边长为x，则斜边长为， 因为直角三角形是“三倍平方三角形”， 当， 故， 解得，，负的舍去； 当， 故， 解得，，负的舍去； 当不成立， 故直角三角形的两条直角边都是2，此时斜边长为 【勾股定理证明线段平分关系】 4．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 5．设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理和直角三角形等面积法推导a，b，h的数量关系，即可得到正确答案． 【详解】解：设该直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理可得 ， ∵直角三角形的面积可表示为，也可表示为， ∴ ，即， ∴ ， 两边同时平方得， 等式两边同时除以得，即． 故选：C． 6．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 【的证明方法】 7．图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，由此列式即可． 【详解】证明：选择图1： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴． 选择图2： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴， ∴． 8．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 9．【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【答案】(1)梯形的面积为或；见解析 (2) (3)①6；3；②；见解析 【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可； （2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答； （3）①根据条件画图即可解答； ②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解． 【详解】（1）解：有三个直角三角形，其面积分别为，和， 直角梯形的面积为， 由图形可知：， ， ， ． 直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，； （2）解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为， 将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，， 则； （3）解： ①如图，当，时，； 如图，当，时，； ②． 验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为， 在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和， 即， 可得， 故． 【弦图为背景的计算题】 10．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点，， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ． 11．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形中，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，画出对应的示意图可得的边上的高满足，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，其中中间的四边形也是正方形， ∴，， ∴． 12．我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】设每一个直角三角形的面积为，根据图形得到，，即可得到答案． 【详解】解：设每一个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 解得． 【勾股定理构造图形解决问题】 13．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13； (2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 14．在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 【答案】绳索的长为 【详解】解：由题意知：四边形是长方形，是直角三角形， ， 又， ， 设绳索的长为， 则，， 在中，， ， 解得：， 答：绳索的长为． 15．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设绳索的长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【（树）问题】 16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B．13，14，15 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B、最大数为15，，，，故该选项不符合题意； C、最大数为，，满足平方和关系，故该选项符合题意； D、，，，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意． 17．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 【答案】 【分析】规律：增加的正方形个数是前一次正方形个数的2倍，由此即可求解． 【详解】解：图（1）正方形个数为1个； 图（2）的正方形增加2个， 图（3）的正方形增加个， 图（4）的正方形增加个， 图（5）的正方形增加个， 图（6）的正方形增加个， 则图（6）中共有正方形的个数为（个）． 18．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 【答案】2027 【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积和为2，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积和，总结出一般规律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，则， 根据勾股定理可得：， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积和为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积和为； 第三代勾股树中所有正方形的面积和为； 第n代勾股树中所有正方形的面积和为； ∴第2026代勾股树中所有正方形的面积和为2027． 【判断三边能否构成直角三角形】 19．如图、在三角形支架中，，垂足为． (1)求的长． (2)试判断和的大小，说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】（1）根据垂线的定义得到，根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理逆定理得到，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ． ， ， ， ． 20．如图，在中，，垂足为D，，，． (1)求，的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形，见解析 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，垂足为D， ， ，， ； ， ． （2）解：， 且，， 故， ， 故是直角三角形； 21．已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题； C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题． 【网格中判断直角三角形】 22．如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)相交 (3)14.5 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质，平移性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）取格点，画直线，使得垂直； （2）画射线，与所在直线的位置关系是相交； （3）画线段，四边形的面积等于的正方形面积减去周围３个三角形面积． 【详解】（1）解：取格点，画直线，使得垂直． 理由：如下图，∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：画射线，与所在直线的位置关系是相交， 理由：把线段平移到线段的位置， 则， ∵点H在外， ∴， ∴射线与直线在直线的右下方相交． 故答案为：相交． （3）解：画线段， ∵四边形在一个的正方形中， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：14.5． 23．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图，就是一个格点三角形． (1)求的面积； (2)作出关于直线成轴对称的图形； (3)利用网格在直线上求作点，使得是以为直角的直角三角形．（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，割补法求三角形面积，画轴对称图形等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）根据轴对称图形的作图方法作图即可； （3）如图所示，取格点G，连接交直线n于P，点P即为所求． 【详解】（1）解； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求； 根据网格的特点可知是等腰直角三角形，即． 24．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 【】 25．如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】33 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，再由四边形面积三角形面积三角形面积，求出即可． 【详解】解：连接， 在中，，， 根据勾股定理得：，， ，， ， 为直角三角形，即， ． 26．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【答案】线段的最小值为 【分析】先运用勾股定理的逆定理得出，再结合垂线段最短，得出当时，的值最小，最后运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴是直角三角形且 当时，的值最小 则 ∴ ∴线段的最小值为． 27．如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，，求的面积． 【答案】150 【分析】勾股定理求出的长，逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可. 【详解】解：， ， ∵，， ， ∵，， ， 是直角三角形，且， ． 【逆定理的拓展问题】 28．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 29．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 30．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【与网格问题】 31．图1、图2、图3、图4均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请分别在图1、图2、图3、图4中画出线段、、、，使、、、． 【答案】见解析 【分析】利用勾股定理，将二次根式转化为两个整数的平方和，再在网格中构造对应直角边的线段．在图1中，连接横向相差格、纵向相差格的两个顶点，，所得线段即为；在图2中，连接横向相差2格、纵向相差1格的两个顶点，，所得线段即为；在图3中，连接横向相差3格、纵向相差2格的两个顶点，，所得线段即为；在图4中，连接横向相差4格、纵向相差1格的两个顶点，，所得线段即为． 【详解】解：如图：线段、、、即为所求 32．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于D，根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出中边上的高即可． 【详解】解：过点A作于D，如图所示： ∵小正方形的边长为1， ∴， ∵， ∴， 解得． 33．定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________； (2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上． 【答案】(1) (2)如图，（答案不唯一） 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，然后求出，利用勾股定理求解； （2）根据网格的特点和对直四边形的定义画图． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是对直四边形， ∴， ∴； （2）略 【与折叠问题】 34．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，求的长． 【答案】 【分析】设，先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 解得，即． 35．如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 【答案】3 【分析】设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ∵将折叠，使点C与点A重合， ∴， ∵， ∴， 解得：．即 36．如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 【题型13 勾股定理的应用】 37．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 【答案】B 【分析】由勾股定理求出盒子的对角线长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：盒子底面对角线长为（厘米）， 盒子的对角线长：（厘米）， ∴细木棒露在盒外的部分最短为（厘米）． 38． 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 39．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 勾股定理 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 利用勾股定理证明线段平分关系 题型3 勾股定理的证明方法 题型4 以弦图为背景的计算题 题型5 用勾股定理构造图形解决问题 题型6 勾股数（树）问题 题型7 判断三边能否构成直角三角形 题型8 在网格中判断直角三角形 题型9 利用勾股定理的逆定理求解 题型10 勾股定理逆定理的拓展问题 题型11 勾股定理与网格问题 题型12 勾股定理与折叠问题 题型13 勾股定理的应用 【勾股定理解三角形】 1．如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 2．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点，将沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹，用黑色签字笔描图．简要说明分析思路，示例第1步：作的垂直平分线；第2步：过点C作的垂线） (2)在（1）所作图形中，若，求的长． 3．定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，那么我们称此三角形为“三倍平方三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 【勾股定理证明线段平分关系】 4．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 6．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【的证明方法】 7．图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 8．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 9．【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【弦图为背景的计算题】 10．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 11．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形中，，则的面积是___________． 12．我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【勾股定理构造图形解决问题】 13．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 14．在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 15．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【（树）问题】 16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B．13，14，15 C． D． 17．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 18．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 【判断三边能否构成直角三角形】 19．如图、在三角形支架中，，垂足为． (1)求的长． (2)试判断和的大小，说明理由． 20．如图，在中，，垂足为D，，，． (1)求，的长； (2)判断的形状，并说明理由． 21．已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 【网格中判断直角三角形】 22．如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 23．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图，就是一个格点三角形． (1)求的面积； (2)作出关于直线成轴对称的图形； (3)利用网格在直线上求作点，使得是以为直角的直角三角形．（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑，保留作图痕迹） 24．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【】 25．如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 26．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 27．如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，，求的面积． 【逆定理的拓展问题】 28．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 29．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 30．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【与网格问题】 31．图1、图2、图3、图4均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请分别在图1、图2、图3、图4中画出线段、、、，使、、、． 32．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 33．定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________； (2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上． 【与折叠问题】 34．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，求的长． 35．如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 36．如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【题型13 勾股定理的应用】 37．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 38． 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 39．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $