专题03 勾股定理与全等构造（举一反三专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题03 勾股定理与全等构造（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 倍长（类）中线】 1 【题型2 一线三垂直】 3 【题型3 对角互补】 4 【题型4 夹半角】 6 【题型5 构双等边三角形】 8 【题型6 构双等腰直角三角形】 10 【题型7 构120°双等腰三角形】 11 【题型8 等角与倍角】 13 模型 倍长中线 倍长类中线 图示 结论 【题型1 倍长（类）中线】 【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，AD＝2， 求：（1）BC的长； （2）△ABC的面积． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 【阅读理解】 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点E，使，连接． 根据“”可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围，即可求出的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，的取值范围是______． 【尝试运用】 （2）如图2，在中，D是的中点，过点C作，点F在的延长线上，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，D是的中点，E是上一点，，若，求的度数． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 模型 外K型 内K型 图示 结论 ① ② ① ② 【题型2 一线三垂直】 【例2】如图，在四边形中，，则的长为______． 【变式2-1】如图，在中，，点D在上，且，连接，且，连接，则的长为________． 【变式2-2】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，已知在中，, , ，则的最小值为______． 【变式2-3】如图，四边形为矩形，延长至E，使，连接交于点G，交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：． 模型 等腰直角对直角 等边对 图示 条件 解题思路 双垂或构手拉手 双垂或构手拉手 【题型3 对角互补】 【例3】某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程： (1)如图1，中，，，D为边上的一点，连接，作，并截取，连接．求证：； (2)如图2，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，求的长． 【变式3-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是___________．    【变式3-2】【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．    (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长． 【变式3-3】（问题提出）如图1，四边形中，，，，，，求四边形的面积． （尝试解决）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______． (2)在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)（类比应用）如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 模型 夹 夹 图示 条件 等腰 方法 作，且 作， 结论 【题型4 夹半角】 【例4】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，在Rt中，，，点，在上，连接，且． （1）若，则的长度为___________； （2）若，则的长度为___________． 【变式4-1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为________． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段检测）问题探究：如图1，在中，，，D、E在上，，为了探究、、之间的等量关系，现将绕A顺时针旋转得，连接，经探究，得到的、、之间的等量关系是 ； 问题迁移：如图2，在中，，，D、E在线段上，，若，求的度数． 问题拓展：如图3，直线上从左至右依次有B，E，C，D四点，且，以为边作等边，若， ，则的长是 ． 【变式4-3】如图，在中，，，，D、E为边上两点（点D在点E的右侧），满足．则边上的高为______；设，．用含x的代数式表示______． 类型 构双等边三角形 图示 条件 等边 等边 等边， 方法 作等边 作等边 作等边 结论 ① ② ① ② 【题型5 构双等边三角形】 【例5】（2025七年级上·山东·专题练习）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，P是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕C旋转到的位置（即过C作，且使，连接、）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边内一点，，，，求的度数． 【变式5-1】如图，已知在中，，在边上方作等边，则的长为_________． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．，则的长为___________． 【变式5-3】【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE． ∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴ ， ∴AE＝BD＝5． ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． ∵AD＝3， ∴CD＝DE＝ ． 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长． 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．    模型 构双等腰直角三角形 图示 条件 等腰 等腰 方法 作等腰 作等腰 结论 ① ② 【题型6 构双等腰直角三角形】 【例6】如图，在中，，，D为外一点，连接，，，发现，且，则______． 【变式6-1】（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰中，，，点D是外部一点，且，若，，则的长度为______． 【变式6-2】如图，是等腰内的一点，，，，，的度数是________．    【变式6-3】如图，在四边形中，，连接，若，则的长度为_______． 模型 构的双等腰三角形 图示 条件 结论 ① ② ① ② 【题型7 构120°双等腰三角形】 【例7】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，，，且，的值为 _______． 【变式7-1】如图，△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，∠APB＝∠BAC＝120°．若AP＋BP＝4，则PC的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式7-2】（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整： 如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2 证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形 ∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC= ∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90° ∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2 （2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明． （3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．    【变式7-3】综合与探究 【模型感知】 (1)如图1，在正方形中，，，点E，F分别在，上，．把绕点A逆时针旋转，得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程． 【模型应用】 (2)如图2，在中，，，点D，E均在边上，且．猜想，，之间满足的等量关系，并给出证明． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，点D在边上，且，，点E在直线上．若，直接写出的长． 类型 构双等边三角形 图示 条件 方法 延长CB至点D，使 作 作 结论 ， 【题型8 等角与倍角】 【例8】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，在中，，求的长． 小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和 ，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长． 解决下列问题： (1)图2中，___________，___________； (2)在中，的对边分别为．如图3，当时，用含式子表示． 【变式8-1】如图，在中，，，，D为边BC上一点，连接AD．若，则线段BD的长＝______．（用含a，b的式子表示） 【变式8-2】如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有(　　)   ①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【变式8-3】在“学本课堂”的实践中，王老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习. 【课堂提问】王老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？ 【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言. （1）小华代表第3小组发言：AB=2BC． 请你补全小华的证明过程. 证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC． ∴∠ACD=∠ACB=90°， ∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°， 即：点B、C、D共线. （请在下面补全小华的证明过程） （2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，若BC=1，求AB的长. 【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题. 如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，则AD、DB、BC三者之间的数量关系是 . 【课后拓展】如图4，在四边形ABCD中，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°，且AC=1， 则△ABD的周长为 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理与全等构造（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 倍长（类）中线】 1 【题型2 一线三垂直】 11 【题型3 对角互补】 15 【题型4 夹半角】 25 【题型5 构双等边三角形】 34 【题型6 构双等腰直角三角形】 41 【题型7 构120°双等腰三角形】 48 【题型8 等角与倍角】 55 模型 倍长中线 倍长类中线 图示 结论 【题型1 倍长（类）中线】 【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，AD＝2， 求：（1）BC的长； （2）△ABC的面积． 【答案】（1）BC＝2；（2）6. 【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，再根据勾股定理即可求出；（2）把三角形ABC的面积转换成三角形ABE的面积即可求出. 【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝DC， 在△ADC与△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝3， 在△ABE中，AB＝5，BE＝3，AE＝2+2＝4， 即52＝32+42，即AB2＝BE2+AE2， ∴△ABE是直角三角形， ∴BD＝， ∴BC＝2BD＝2， （2）∵△ABE是直角三角形， ∴S△ABE＝， ∵△ADC≌△EDB， ∴S△EDB＝S△ADC， ∴S△ABC＝S△ABE＝6 【点睛】本题是对三角形全等的综合考查，熟练掌握倍长中线及勾股定理是解决本题的关键. 【变式1-1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 【阅读理解】 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点E，使，连接． 根据“”可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围，即可求出的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，的取值范围是______． 【尝试运用】 （2）如图2，在中，D是的中点，过点C作，点F在的延长线上，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，D是的中点，E是上一点，，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）7；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握构造三角形全等的方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据可判定，得，在中，根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到，再根据，即可求解； （2）延长，交的延长线于点G，根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质求解即可； （3）延长至点F，使得，在上取点G，使得，连接．根据全等三角形的判定得出，，，再利用其性质即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图1，延长，交的延长线于点G． ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴， ， ， ， ， ． （3）如图2，延长至点F，使得，在上取点G，使得，连接． ∵D是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴， ， ． 在和中， ∴， ， ， ，即． ∵， ， 是等边三角形， ∴， ∴． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】(1)3 (2)2或3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用倍长中线的模型构造全等三角形是解题关键． （1）利用三角形中线的平分三角形面积即可解决问题 （2）由与为积等三角形，可得，过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与为积等三角形， ∴．，即， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长至，使得，连接，证明，得出，，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）延长至，使，连接，过点作于点，则，、和都是直角三角形，设，求出，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得，则，，，再由中线的性质即可得出结果； （3）延长到，使得，连接，过点作于点，则，，和都是直角三角形，设，则，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得 ，则，，求出，再结合中线的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：延长至，使得，连接，如图所示： ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，过点作于点，如图： ∴，、和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为； （3）解：延长到，使得，连接，过点作于点，如图： ∴，，和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 模型 外K型 内K型 图示 结论 ① ② ① ② 【题型2 一线三垂直】 【例2】如图，在四边形中，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点．作，可推出是等腰直角三角形，即可证，利用即可求解． 【详解】解：作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2-1】如图，在中，，点D在上，且，连接，且，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】过E点作直线AC的垂线交于F点，根据，且，得到△BCD≌△DFE，即可求出CF，EF的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】 ∵，， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵，∴CD=6， 过E点作直线AC的垂线交于F点， ∵ ∴∠BDC+∠DBC=90°，又∠BDC+∠EDF=90°， ∴∠DBC=∠EDF， 又∠DCB=∠DFE=90°，DE=BD， ∴△BCD≌△DFE，∴EF=DC=6，DF=BC=8， ∴CF=2， ∴FC= 故填：2． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用． 【变式2-2】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，已知在中，, , ，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】取中点E，过点E作，过点A作交于F，连接，，可证明得，则，是的垂直平分线，可知，由三角形三边关系可知，，当点在线段上时取等号，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图：取中点E，过点E作，过点A作交于F，连接，，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， 由三角形三边关系可知，， 当点在线段上时取等号，即的最小值为． 【变式2-3】如图，四边形为矩形，延长至E，使，连接交于点G，交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再利用判定，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可证明； （2）过点作交于点，利用判定，得到，，利用勾股定理得到，最后利用线段的和差以及等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作交于点， 则， ∴， ∴，即， 由（1）得，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即． 模型 等腰直角对直角 等边对 图示 条件 解题思路 双垂或构手拉手 双垂或构手拉手 【题型3 对角互补】 【例3】某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程： (1)如图1，中，，，D为边上的一点，连接，作，并截取，连接．求证：； (2)如图2，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和勾股定理， （1）利用和得则有，从而得，，进而可得，然后根据勾股定理进行计算即可； （2）以为边在的右侧作等边，连接，是等边三角形即可证明，从而可得，然后再求出，在中，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）以为边在的右侧作等边三角形，连接，如下图： ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴的长为4． 【变式3-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是___________．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．延长到点E，使得，连接，证明，得到，过点作，垂足为，得，，运用勾股定理可求出对角线的长． 【详解】解：延长到点E，使得，连接， ∵四边形的内角和为， ， ，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 过点作，垂足为， 则， 设，则， 在中，， 故， 解得， 故， 故答案为：． 【变式3-2】【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．    (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长． 【答案】(1)AC=BC+CD； 证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE． ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ADC=180°， ∵∠ADE+∠ADC=180° ∴∠B=∠ADE， 在△ADE和△ABC中， ， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴∠DAE=∠BAC，AE=AC， ∴∠CAE=∠BAD=60°， ∴△ACE的等边三角形， ∴CE=AC， ∵CE=DE+CD， ∴AC=BC+CD； (2)CB+CD=AC； 理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N． ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠CDA+∠CBA=180°， ∵∠ABN+∠ABC=180°， ∴∠D=∠ABN， ∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB， ∴△AMD≌△ANB（AAS）， ∴DM=BN，AM=AN， ∵AM⊥CD，AN⊥CN， ∴∠ACD=∠ACB=45°， ∴AC=CM， ∵AC=AC．AM=AN， ∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL）， ∴CM=CN， ∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC； (3)或 【分析】（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论； （2）结论：CB+CD=AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得结论； （3）分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．    ∵∠CDA=75°，∠ADB=45°， ∴∠CDB=30°， ∵∠DCB=90°， ∴CD=CB， ∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD， ∴OP=OQ， ∴， ∴， ∵AB=AD=，∠DAB=90°， ∴BD=AD=2， ∴OD=． 如图3-2中，当∠CBD=75°时，    同法可证，， 综上所述，满足条件的OD的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式3-3】（问题提出）如图1，四边形中，，，，，，求四边形的面积． （尝试解决）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______． (2)在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)（类比应用）如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)等边 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，所以是等边三角形； （2）知等边三角形的边长为3，求出即可； （3）类比（1），连接，由于，所以可将绕点D逆时针方向旋转，得到，连接，延长，作，得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，求和的面积差即可． 【详解】（1） ，如图2， 绕点顺时针方向旋转，得到， ，， 为等边三角形． （2）由（1）可知，绕点顺时针方向旋转，得到， ， 四边形的面积等边三角形的面积， ，，且， ，， 在四边形中，， 绕点顺时针方向旋转，得到， ， ， 点共线， ， 则等边的高， ． （3）如图3，连接，由于， 可将绕点D逆时针方向旋转，得到， 连接，延长，作， 绕点D逆时针方向旋转，得到， 四边形的面积等边三角形的面积三角形的面积， ， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 等边的高 ， ， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查图形的旋转变换的性质，三角形全等的性质，勾股定理等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键． 模型 夹 夹 图示 条件 等腰 方法 作，且 作， 结论 【题型4 夹半角】 【例4】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，在Rt中，，，点，在上，连接，且． （1）若，则的长度为___________； （2）若，则的长度为___________． 【答案】 3 【分析】（1）根据勾股定理求出结果即可； （2）过点C作，取，连接，，证明，得出，，根据勾股定理得出，证明，得出． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去； （2）过点C作，取，连接，，如图所示： ∵在Rt中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为________． 【答案】/ 【分析】将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根据旋转的性质可得出∠ECG=60°，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE，设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x，利用FE=6-3x=x可求出x以及FE的值，此题得解． 【详解】将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示． ∵AB=AC=2，∠BAC=120°， ∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°， ∴∠ECG=60°． ∵CF=BD=2CE， ∴CG=CE， ∴△CEG为等边三角形， ∴EG=CG=FG， ∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=30°， ∴△CEF为直角三角形． ∵∠BAC=120°，∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠CAE=60°， ∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°． 在△ADE和△AFE中， ， ∴△ADE≌△AFE（SAS）， ∴DE=FE． 设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x， 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x， EF==x， ∴6-3x=x， x=3-， ∴DE=x=3-3． 故答案为3-3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，通过勾股定理找出方程是解题的关键． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段检测）问题探究：如图1，在中，，，D、E在上，，为了探究、、之间的等量关系，现将绕A顺时针旋转得，连接，经探究，得到的、、之间的等量关系是 ； 问题迁移：如图2，在中，，，D、E在线段上，，若，求的度数． 问题拓展：如图3，直线上从左至右依次有B，E，C，D四点，且，以为边作等边，若， ，则的长是 ． 【答案】问题探究：；问题迁移：；问题拓展： 【分析】问题探究：将绕A顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质、全等的性质可得，，，，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理得出，即可判断，根据勾股定理得出，证明，得出，即可得出结论； 问题迁移：将绕A顺时针旋转得，连接，取中点G，连接，根据旋转的性质、全等的性质可得，，，，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理得出，即可判断，证明是等边三角形，得出，，根据等边对等角和三角形外角的性质得出，则，证明，得出，即可求解； 问题拓展：将绕A顺时针旋转得，连接，取中点G，连接，根据旋转的性质、等边三角形的性质、全等的性质可得，，，，根据等边对等角和三角形外角的性质得出，则，设，根据勾股定理得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：问题探究： ， 理由：将绕A顺时针旋转得，连接， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 问题迁移： 将绕A顺时针旋转得，连接，取中点G，连接， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； 问题拓展： 在等边中，，， ∴， 将绕A顺时针旋转得，连接，取中点G，连接， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 【变式4-3】如图，在中，，，，D、E为边上两点（点D在点E的右侧），满足．则边上的高为______；设，．用含x的代数式表示______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形及勾股定理，熟知“角含半角”模型是解题的关键． 利用面积法可求出边上的高，旋转，利用“角含半角”模型构造出全等三角形，再借助于勾股定理即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵ ， 又∵， 即边上的高为． 将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为，延长交于点，连接， 由旋转可知，， 又 则． 又 则． 同理可得，． 在和中， 在中， 整理得， 故答案为：． 类型 构双等边三角形 图示 条件 等边 等边 等边， 方法 作等边 作等边 作等边 结论 ① ② ① ② 【题型5 构双等边三角形】 【例5】（2025七年级上·山东·专题练习）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，P是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕C旋转到的位置（即过C作，且使，连接、）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边内一点，，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【详解】本题考查了勾股定理及其逆定理、旋转的性质、等边三角形的性质与判定，掌握勾股定理逆定理解题的关键． （1）将绕C旋转到的位置，得到，通过证明，得到，利用角度关系解题即可； （2）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明为等边三角形，得到，通过、、的边长关系证明，利用勾股定理逆定理得到，求出的度数即可． 【解答】解：如图： 由题意得： ， 由勾股定理得： ， ． 答：的度数为． （2 ）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图： ，， 为等边三角形，， ， ， ． 答：的度数为． 【变式5-1】如图，已知在中，，在边上方作等边，则的长为_________． 【答案】 【分析】如图，以AB为边，在AB的左侧作等边△ABE，连接EC，作EF⊥CB交CB的延长线于F．利用全等三角形的性质证明BD=EC，解直角三角形求出EC即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边，在的左侧作等边△ABE，连接，作交的延长线于． ∵△ABE，△ACD都是等边三角形， ，，， ， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ， ， ， 在Rt△EFB中，，，， ，， 在Rt△ECF中，，，， ， 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，由旋转可证是等边三角形，进而判定，得到，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知，，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式5-3】【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE． ∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴ ， ∴AE＝BD＝5． ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． ∵AD＝3， ∴CD＝DE＝ ． 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长． 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．    【答案】【问题背景】；；4；【尝试应用】；【拓展创新】AD的最大值为． 【分析】问题背景：根据所给思路，结合图形进行求证即可得； 尝试应用：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，根据各角之间的数量关系可得，在与中，利用两次勾股定理求解即可得 拓展创新：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，由旋转的性质可得，，，利用等边对等角得出，，结合图形当A、B、F三点共线时，AF最大，此时 ，过点D作，得出， ，利用勾股定理可得，当AF取得最大值时，AD取得最大值，代入求解即可得． 【详解】问题背景：解：如图3所示，以DC为边作等边三角形，连接AE， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， 在中， ， ∴， 故答案为：；；4； 尝试应用：解：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，    ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； 拓展创新：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，    ∴，，， ∴， 当A、B、F三点共线时，AF最大， ∵，， ∴， 如图中，过点D作，且，    ∴， ， ∵ 化简得：，当AF取得最大值时，AD取得最大值， ∴， ∴AD的最大值为． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形旋转的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 模型 构双等腰直角三角形 图示 条件 等腰 等腰 方法 作等腰 作等腰 结论 ① ② 【题型6 构双等腰直角三角形】 【例6】如图，在中，，，D为外一点，连接，，，发现，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定；如图所示，以为直角边作等腰直角三角形，则，证明得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为直角边作等腰直角三角形，则，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰中，，，点D是外部一点，且，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】作，，求得，由勾股定理求得，，，根据边角边证明，其性质得，最后在中，由勾股定理求得，即求得的长为． 【详解】解：过点作，且，，连接、，如图所示： ， ， 又， ， 又， ， 又，， ， 又∵，， ， 又，， ， 在中，由勾股定理得： ， 又， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 又， ， 在中，由勾股定理得； ， 故答案为： 【点睛】本题综合考查了等腰三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形和全等三角形． 【变式6-2】如图，是等腰内的一点，，，，，的度数是________．    【答案】/135度 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接．可求，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解．灵活运用旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示：    ，， ，，， 是等腰直角三角形，且， ，， 在中，，，，则， 是直角三角形，且， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在四边形中，，连接，若，则的长度为_______． 【答案】 【分析】过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接DE，CE，过点C作CF⊥AD于F，在等腰Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，在等腰Rt△CDF中，由勾股定理求得CF=DF=1，在Rt△AFC中，由勾股定理求得AF=3，则AD=AE=4，在等腰Rt△DAE中，由勾股定理求得DE=，再证△CDE为Rt△，由勾股定理求得CE=，然后证△BAD≌△CAE(SAS)，得BD=CE，即可求得答案． 【详解】解：过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接DE，CE，过点C作CF⊥AD于F，如图， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC=90°， ∵∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2， ∵BC=2， ∴AC=， ∵CF⊥AD于F， ∴∠AFC=∠DFC=90°， ∵∠ADC=45°， ∴∠DCF=∠ADC=45°，   ∴CF=DF， 在Rt△CFD中，由勾股定理，得CF2+DF2=CD2， ∵CD=， ∴CF=DF=1， 在Rt△AFC中，由勾股定理，得AF2+CF2=AC2， 即AF2+12=， ∴AF=3， ∴AD=AF+DF=4， ∴AE=AD=4， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2=AD2+AE2， ∴DE=， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=45°，   ∵∠ADC=45°， ∴∠CDE=∠ADC+∠ADE =90°， ∴在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2=CD2+DE2， ∴CE=， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD=CE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是银题的关键． 模型 构的双等腰三角形 图示 条件 结论 ① ② ① ② 【题型7 构120°双等腰三角形】 【例7】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，，，且，的值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作，交延长线于点G，则，，，证明，设，，求出，， 则，则，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作，交延长线于点G，过点作于点， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ∵，， ∴，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】如图，△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，∠APB＝∠BAC＝120°．若AP＋BP＝4，则PC的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP'C，作AD⊥PP'于D，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到∠AP'P=30°，根据直角三角形的性质得到PP'AP，根据勾股定理和配方法计算． 【详解】把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP'C，作AD⊥PP'于D，则AP=AP'，∠PAP'=120°，∠AP'C=∠APB=120°，∴∠AP'P=30°，∴PP'AP，∠PP'C=90°． ∵AP+BP=4，∴BP=4﹣PA．在Rt△PP'C中，PC，则PC的最小值为2． 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及配方法的应用，掌握旋转变换的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式7-2】（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整： 如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2 证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形 ∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC= ∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90° ∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2 （2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明． （3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．    【答案】（1）P’B，P’B2； （2）2PA2+PB2=PC2， 证明：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形， ∴∠APP’=45°，PP’=PA，PC=P’B， ∵∠APB=135°， ∴∠BPP’=90°， ∴P’P2+BP2=P’B2， ∴2PA2+PB2=PC2． （3）k= 【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可． （2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可． （3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证PP′=PA，再根据勾股定理代换即可． 【详解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2 （2）略 （3）k=      将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△AP’B，连接PP’，过点A作AH⊥PP’， 可得 【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键． 【变式7-3】综合与探究 【模型感知】 (1)如图1，在正方形中，，，点E，F分别在，上，．把绕点A逆时针旋转，得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程． 【模型应用】 (2)如图2，在中，，，点D，E均在边上，且．猜想，，之间满足的等量关系，并给出证明． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，点D在边上，且，，点E在直线上．若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 (3)的长为或7 【分析】（1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案； （2）如图，把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，则，，证明，可得是直角三角形，可得． （3）如图，过点A作于点H．求解．再分情况讨论：①如图，当点E在线段上时，将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点F作，交于点G，②如图，当点E在的延长线上时，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，过点F作，交的延长线于点G，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合， ∴， ， ∴点在同一直线上， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：．理由如下： 如图，把绕点A顺时针旋转到的位置，连接， 则，， ∴，，，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （3）解：如图，过点A作于点H． ∵在中，，， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ①如图，当点E在线段上时，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 过点F作，交于点G， 则，，，． 同理（2），得， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设，则，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． ②如图，当点E在的延长线上时，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，过点F作，交的延长线于点G， 则，，，． 同理（2），得， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设，则，， ∴，， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 综上所述，的长为或7． 类型 构双等边三角形 图示 条件 方法 延长CB至点D，使 作 作 结论 ， 【题型8 等角与倍角】 【例8】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，在中，，求的长． 小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和 ，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长． 解决下列问题： (1)图2中，___________，___________； (2)在中，的对边分别为．如图3，当时，用含式子表示． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． （1）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，根据垂直平分线的性质得到，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可； （2）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，则是边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接， 则是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴在直角和直角中， 由勾股定理得到：，即， 解得：， 故答案是：4； ； （2）解：作于点，在的延长线上取点，使得，连接， 则是边的垂直平分线， ， 根据题意得， ， ， ， ， ， ， 又， ∴， ， 由题意得， ， 在中，， 在中，， ， 即， 整理得，． 【变式8-1】如图，在中，，，，D为边BC上一点，连接AD．若，则线段BD的长＝______．（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】延长到E，使，连接，利用，证得△AED是等腰三角形，推出，由此得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接 ． ∵， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，延长到E，使是关键的辅助线，由此将直角三角形转化为等腰三角形来解答． 【变式8-2】如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有(　　)   ①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】通过延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次分析，可得出正确的结论是②③④． 【详解】解：如图，延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接； ∵∠ABC=90°， ∴AB垂直平分EE＇， ∴AE=AE＇, ∴∠1=∠2，∠3=∠5， ∵∠1=， ∴∠E＇AE=2∠1=∠CAD， ∴∠E＇AC=∠EAD,   又∵AD=AC， ∴， ∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确）， ∴∠3=∠4； 当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°， 此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°， 当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°， 此时，∠AME≠90°， ∴①不正确； 若CD∥AB， 则∠7=∠BAC， ∵AD=AC， ∴∠7=∠ADC， ∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°， ∴，   ∴∠1+∠7=90°， ∴∠2+∠7=90°， ∴∠2+∠BAC=90°， 即∠E＇AC=90°， 由， ∴∠EAD=∠CAE＇=90°，E＇C=DE， ∴AE⊥AD（即③正确），DE=E＇B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）； 故正确的为：②③④． 故选B 【点睛】本题综合考查了线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结合的能力． 【变式8-3】在“学本课堂”的实践中，王老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习. 【课堂提问】王老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？ 【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言. （1）小华代表第3小组发言：AB=2BC． 请你补全小华的证明过程. 证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC． ∴∠ACD=∠ACB=90°， ∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°， 即：点B、C、D共线. （请在下面补全小华的证明过程） （2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，若BC=1，求AB的长. 【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题. 如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，则AD、DB、BC三者之间的数量关系是 . 【课后拓展】如图4，在四边形ABCD中，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°，且AC=1， 则△ABD的周长为 . 【答案】(1)见解析；（2）；能力迁移：；课后拓展：. 【分析】（1）根据提示证明出△ABD为等边三角形即可说明BC和AB的关系； （2）过点B作AC边的垂线，交AC的延长线于点D，设BD=x，则CD=BC=x，解出x即可； 能力迁移：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，先通过角度转换得到∠EBC=90°，在证明BC=BD，EC=AD，即可求出AD、DB、BC三边的关系； 课后拓展：作BD⊥CD于点E，作CF垂直AD的延长线于点F，设AD=x，BD=2AD=2x，然后表示出AF，CF边建立方程解出x即可. 【详解】（1）证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC. ∴∠ACD=∠ACB=90°， ∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°， 即：点B、C、D共线， ∴AB=AD， ∵∠BAC=30°， ∴∠ABC=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=2BC； （2）过点B作AC边的垂线，交AC的延长线于点D， ∵∠ACB=135°， ∴∠BCD=45°， ∵∠BDC=90°，BC=1， 设BD=x，则CD=BC=x， ∴，解得：， ∵∠BAC=30°， ∴AB=2BD=； 能力迁移： 把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC， ∵∠BAD=∠CAD=20°， ∴∠EAB=20°， ∴∠EAC=60°， ∵∠ACB+∠ADB=210°，∠AEB=∠ADB， ∴∠ACB=∠AEB=210°， ∴∠EBC=360°-210°-60°=90°， ∵AD=AC，AE=AD， ∴AE=AC， ∴△AEC为等边三角形， ∴EC=AE=AD， 在Rt△EBC中，， ∵BC=BD，EC=AD， ∴； 课后拓展： 作BD⊥CD于点E，作CF垂直AD的延长线于点F， ∵∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°， ∴△BAD≌△BED， ∵∠BCD=45°， ∴BE=CE， 设AD=x， ∴BD=2AD=2x， ∴， ∴EC=EB=AB=， ∴DC=， ∴∠FDC=60°，∠ECD=30°， ∴DF=， ∴， , ∵AC=1， 在Rt△AFC中，， 则，解得：， AD=， DB=， 则△ABD的周长为：. 【点睛】本题是对全等三角形的综合考查，熟练掌握对称知识，勾股定理及辅助线知识是解决本题的关键，难度较大，属于压轴题. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $