第05讲 解三角形（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心考点，涵盖正余弦定理公式及应用、三角形形状判断、面积与周长问题等，按考情分析-知识解构-题型破译-真题训练的逻辑架构，通过考点梳理、方法归纳、分层练习帮助学生系统构建解题思维，突破高考必拿分难点。 资料以题型分类为特色，7类高频题型均配备方法技巧与变式训练，如面积问题结合基本不等式求最值，培养数学思维与运算能力。设置基础与创新分层练习，真题溯源链接高考考向，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第05讲 解三角形 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1正余弦定理公式 知识点2 正余弦相关应用 知识点3 正余弦定理实际应用 题型破译 题型1 正弦定理的应用 【方法技巧】正弦定理的应用 题型2 余弦定理的应用 【方法技巧】余弦定理的应用 题型3 判断三角形的形状 【方法技巧】判断三角形的形状 题型4 解三角形的实际应用 【方法技巧】解三角形的实际应用 题型5 三角形解的个数 【方法技巧】三角形解的个数 题型6 三角形中的周长问题 【方法技巧】三角形中的周长问题 题型7 三角形中的面积问题 【方法技巧】三角形中的面积问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 正弦定理与余弦定理的基础应用 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T6（5分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T12（5分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T7（5分） 解三角形的面积与周长问题 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 解三角形的综合应用 天津卷 T17（3）（6分） 天津卷 T17（3）（6分） 天津卷 T17（3）（6分） 考情分析 解三角形是天津高考数学必考核心考点，每年均以解答题（第17题）为核心考查形式，偶尔搭配选择/填空题，单题分值5-12分，整体难度中等，是必拿分核心考点。高频考查方向为：①正弦定理、余弦定理的基础应用，解三角形的基本题型（已知两边及夹角、两角及一边、两边及对角等）；②三角形的面积、周长相关问题，常结合基本不等式、三角函数性质求解最值/范围；③解三角形的综合应用，与三角恒等变换、三角函数性质、实际应用结合考查。本模块承接三角恒等变换、三角函数的图像与性质，是三角函数模块的综合应用核心，是高考数学的核心得分点，几乎每年的解答题都会出现，是考生必须熟练掌握的内容。 复习目标 1. 理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理的内容与变形，能根据已知条件选择合适的定理解三角形，掌握解三角形的基本题型解法； 2. 掌握三角形的面积公式，能熟练求解三角形的面积、周长相关问题，掌握结合基本不等式、三角函数性质求解最值/范围的方法； 3. 能综合运用正余弦定理、三角恒等变换、三角函数性质解决解三角形的综合问题，包括恒等式证明、角的范围求解、实际应用问题，提升综合解题能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 正余弦定理公式 基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 必记结论 （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 自主检测已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，，． (1)求角的大小； (2)求的值和． 【答案】(1) (2); 【分析】（1）利用正弦定理把边化角，求出的值，得出 （2）利用余弦定理求解三角形的边长，再由面积公式求解三角形的面积. 【详解】（1）已知 ，由正弦定理 ， 得 所以所以 所以 中 ，所以 又 ，故 （2）因为，所以，又，由余弦定理得 ，所以，解得，所以， 所以. 知识点2 正余弦相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 必记结论 1．方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 自主检测（2026·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 知识点3 正余弦定理实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 必记结论 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 自主检测天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”，如图，为了测量大楼的高度，测量人员选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，已知在，两点用测角仪测得其顶点的仰角分别是，，米，测角仪的高度米，则“津沽棒”的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】， 所以， 即， 即，所以， 所以. 题●型●破●译 题型1 正弦定理的应用 例1-1在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，的面积为，． (1)求的值； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）应用正弦定理及已知可得，再由三角形内角的性质求； （2）由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，联立求； （3）由正弦定理及二倍角正余弦公式、和角正弦公式求函数值. 【详解】（1）根据正弦定理，得，， 又，则， 在中，得， 由，则； （2）由，得，， 三角形面积，代入得， 由余弦定理，则 ， 所以， 由，则（负值舍）； （3）由正弦定理， 因为，则，故为锐角，可得， 所以，， 所以. 例1-2（2026·天津·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求角的大小； (2)求的面积； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理把比角化边，再由余弦定理求解角B的余弦值，从而得到角B的大小；（2）由三角形的面积公式求解；（3）先利用二倍角公式求解，再由两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，即． 又由余弦定理得， 又，所以． （2）因为，， 由余弦定理得，解得， 所以． （3）由余弦定理得，所以． 所以，． 所以 ． 方法技巧 正弦定理的应用 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；. （3）两边一对角，求第三边. 【变式训练1-1】在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用二倍角公式和余弦定理将已知三角等式转化为边的关系，结合正弦定理确定两条边长，再由重心在中线上且将中线分成2:1的性质，将已知的余弦值转化为中线三角形中的余弦定理方程，解出第三边或直接得到角的余弦值，根据钝角条件舍去直角解，最后通过面积公式求得面积. 【详解】由 ，用余弦定理 代入， 所以，即， 因为三角形是钝角三角形，所以 ， 所以，由正弦定理 ， 代入得，已知 ，得， 以 为原点， 在 轴上，设 ，， 所以重心 ， 由 ， 所以， 代入 ，得 所以，解得 或 ， 对应 ，不是钝角，舍去， 因此，， 所以.   【变式训练1-2】在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接由条件并结合正弦定理可得，再用余弦定理可得； （2）由（1）可得，再由同角三角函数关系式及三角形面积公式可得. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，，. 又因为，， 所以由余弦定理可得，即， ，解得． （2）由于，所以是锐角，所以. 由（1）可知，， 则． 【变式训练1-3】在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得. 题型2 余弦定理的应用 例2-1（2026·天津和平·三模）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知， （1）角__________； （2）若，则的面积的最大值是__________. 【答案】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得的最大值，从而求得的面积的最大值. 【详解】（1）由，及正弦定理， 得， ， ， 所以， 因为，所以， 所以，， 因为，所以. （2）若，则由余弦定理， 得， 因为，所以，即. 所以的面积， 所以的面积的最大值是. 例2-2在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后计算即可得； （2）借助面积公式与余弦定理计算即可得. 【详解】（1）由正弦定理将边化为角可得， 又，故，故， 则，又，故； （2），则， ，故. 方法技巧 余弦定理的应用 (1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 【变式训练2-1】在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角； (2)若，，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理即可. （2）由计算出，再利用正弦定理即可. 【详解】（1）由余弦定理得. 因为，所以. （2）因为，且， 所以. 由正弦定理，得，即. 解得． 【变式训练2-2】如图，已知平面四边形，，，，．沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是____________ 【答案】 【分析】由折叠过程可知，作于点，到边的距离不变，故的运动轨迹为以以为圆心，为半径的圆，作出与所成角，判断出取最小值的位置. 【详解】由折叠过程可知，在以为圆心，为半径的圆上运动，其中， 且垂直圆所在的平面，如图，作于，则， 则与所成角即为，且，, 要使最大，只需最小， 在中，为定值，即只要最短且， ，， ，, ， ，因此． 【变式训练2-3】（2026·天津滨海新区·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则外接圆的半径为______． 【答案】 【详解】∵ 在中，，，， 由余弦定理可得，∴ . 设外接圆的半径为，由正弦定理， ∴ . 题型3 判断三角形的形状 例3-1在中，角的对边分别是，若，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系将转化为，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断角，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由正弦定理角化边得，即， 故．因为，所以是钝角，即是钝角三角形． 例3-2（2026·天津蓟州·阶段检测）已知三边长分别为，则该三角形是______三角形.（填锐角/直角/钝角） 【答案】钝角 【分析】利用大边对大角确定最大内角，通过余弦定理计算该角的余弦值符号判断三角形类型. 【详解】根据三角形大边对大角的性质，边长为的边为最大边，其所对内角为最大内角，记为，其中， 令三角形的其余两边分别为， 由余弦定理得： 因此角为钝角，故为钝角三角形. 例3-3（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】使用余弦定理角化边求解. 【详解】由，得， 即，由余弦定理，， 因为，所以，由，得，整理得，所以是等边三角形 方法技巧 判断三角形的形状 （1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形. （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形. 【变式训练3-1】在中，内角，，的对边分别为，，.若，，则的形状是____________ . 【答案】等边三角形 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得， 因为，所以有，即，解得， 所以是等边三角形． 【变式训练3-2】在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 题型4 解三角形的实际应用 例4-1如图，某球体建筑物置于水平地面上，与地面相切于点，在地面上沿过点的某一直线上取，两点（点在，之间），分别在，处测得该球体建筑物的最大仰角为和．已知，则该球体建筑物的体积为（    ）注：本题仰角是指观测点到切点（视线与球面相切处）的连线与水平面的夹角． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知过球心与作切面，则所有点都在切面上，利用，以及它们与半径的关系即可求解. 【详解】如图，设球心为，与圆相切于点，与圆相切于点，与相交于点， 连接，，，.设球的半径为. 又因为与圆相切于点，所以. 在中，，. 在中，，， 所以， ， 因为，与圆相切，所以. 因为，与圆相切，所以. 又，即，解得. 该球体建筑物的体积.   例4-2《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】36 【分析】在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD. 【详解】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 方法技巧 解三角形的实际应用 根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解. 【变式训练4-1】某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 【答案】 【详解】设塔高米， 在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以； 在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以； 在中，已知，， 由余弦定理得， 得， 化简得，解得 或（舍去）， 即塔高为米. 【变式训练4-2】如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米． 【答案】 【分析】要求山高，放在直角中，已知一角，故需再求一边即可，根据已知条件，放在直角与中计算即可． 【详解】在中，已知，，故米； 在中，，，故， 由正弦定理可得：，即，解得米； 在中，因为，故米； 所以山高为米． 【变式训练4-3】2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（    ）        A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】中，，，则， 由正弦定理得， 中，，，则， 由正弦定理得， 中，，由余弦定理得， 解得． 题型5 三角形解的个数 例5-1已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】在中，由正弦定理可得，解得， 由于，则，即为锐角，故. 例5-2（2026·天津河西·三模）在中，，，分别是角，，的对边，下列四个命题中正确的个数为（   ） ①若，则是等腰三角形； ②若，则是等腰三角形； ③若，则一定是锐角三角形； ④在中，，，若有一个解，则的取值范围是或. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用余弦定理推理判断①③；利用正弦定理边化角推理判断②；利用正弦定理求出范围判断④即可. 【详解】对于①，，是等腰三角形，①正确； 对于②，由，得，即， 而，则或，即或， 是等腰三角形或直角三角形，②错误； 对于③，由，得，则为锐角， 而之一可以不是锐角，如，则不一定是锐角三角形，③错误； 对于④，，由有一个解，得 或，因此或，④正确. 方法技巧 三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【变式训练5-1】在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据与的大小关系确定解的个数. 【详解】由于， 所以， 所以的解的个数是. 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 【变式训练5-3】（2026·天津滨海新区·三模）在中，角所对的边分别为． (1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； (2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. (2) 【分析】（1）根据三角形个数判断法则判断即可. （2）先根据题目条件及正弦定理求出，再利用正弦定理将边全部用角来表示，最后将周长用的三角函数来表示，结合锐角三角形求出周长的取值范围. 【详解】（1）如图所示，作边上的高. ，. 当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. （2）由正弦定理，得. 又，，即，. 又因为为锐角三角形，. 设的周长为，则 为锐角三角形，，. ，，. 故周长的取值范围为. 题型6 三角形中的周长问题 例6-1（2026·天津滨海新区·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 【答案】 【分析】利用余弦定理及基本不等式可求得，从而可求解. 【详解】由题知，，由余弦定理得， 即， 解得，当且仅当时取等号， 所以的周长取最大值为，此时的面积为. 故答案为：. 例6-2在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 方法技巧 三角形中的周长问题 天津高考三角形周长问题，定值题直接用正、余弦定理求三边再求和；最值题分两种思路：已知一边一角，可边化角用正弦定理 + 辅助角公式，结合角范围求周长值域；也可角化边用余弦定理搭配基本不等式，等腰时取最大值。务必锁定内角范围、三边关系等隐藏约束，锐角三角形要额外限制角的区间，避免范围放大失分，答题分步写出边角转化过程，规范拿步骤分。 【变式训练6-1】记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【详解】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图：   ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 【变式训练6-2】设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解； （2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）（方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 【变式训练6-3】已知的内角的对边分别为，，． (1)求的面积的最大值； (2)求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一，利用余弦定理和基本不等式求出范围，再利用面积公式；法二，利用正弦定理以及辅助角公式化简，再求范围即可. （2）法一，利用余弦定理和基本不等式求出范围；法二，利用正弦定理以及辅助角公式化简，再求范围即可. 【详解】（1）解法1：由余弦定理得， 结合基本不等式得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即的面积的最大值为． 解法2：由正弦定理有，得，． 所以． 因为在中，，所以，即，且， 则 ， 因为，则，所以， 即，当且仅当时等号成立. 所以，即的面积的最大值为． （2）解法1：由余弦定理得，则， 结合基本不等式得， 所以，当且仅当时取等号． 又因为，所以，所以周长的取值范围为． 解法2：由正弦定理有， 得，，所以． 因为在中，，所以，即，且， 所以． 又因为，则，所以，即． 题型7 三角形中的面积问题 例7-1（2026·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 例7-2在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用余弦定理解得，即可得周长； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. （2）由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 方法技巧 三角形中的面积问题 天津高考三角形面积问题，核心用(S=1/2absin C)列式。定值题直接用正、余弦定理求出两边及夹角代入计算；最值题分两种思路，定边定角时，余弦定理结合基本不等式求bc最值，或边化角转化为单三角函数值域求解。定角对定边常用外接圆模型，高最大时面积取最值，注意内角范围、锐角约束，避免范围放大。遇到分割三角形用等面积法，答题规范写出边角转化，分步拿步骤分。 【变式训练7-1】在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.      【变式训练7-2】已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 【变式训练7-3】在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解. （2）由即可求解. （3）余弦定理可得，所以，令，则，即，即，所以，解得，即可得解. 【详解】（1）若则，由余弦定理得 （2），， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且，， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得. 所以最大值为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    6．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 7．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过正弦定理求出的长，然后利用余弦定理求出的值即可． 【详解】解：如图 由题意可知；， 所以由正弦定理得：， 在中，由余弦定理可知， ． 所以． 故选：C． 2．如图，已知平面ABC，垂足为点A，，，则（    ）. A． B．6 C．12 D．144 【答案】C 【分析】根据已知，再利用余弦定理计算长度即可. 【详解】因为， 则 又 ， 则 故选：C. 3．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（    ） A．10km B．km C．km D．km 【答案】D 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】由题意可知， 结合余弦定理可得， 所以，故， 所以A，C两地间的距离为， 故选；D 4．在中，，，的面积为，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值，即可得的值. 【详解】解：在中， 因为，，的面积为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选：B. 5．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（    ） A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 【答案】B 【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案. 【详解】由题知：设的三边分别为，，， 因为，所以角为最大的角. 因为，， 所以为锐角，故三角形为锐角三角形. 故选：B 6．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算即可得角． 【详解】∵，由正弦定理得， 设， 则，又是三角形内角， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题． 7．在中，若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】直接利用正弦定理的边化角公式，得出，即可求出结果. 【详解】解：由题可知，，， 而， 即. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，运用了正弦定理的边化角公式，属于基础题. 8．某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图）．上面为花篮，支架为三根细钢管．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①支架高度为108cm，②架面是边长为30cm的正三角形，③三根细钢管相交处的节点O与架面三角形ABC重心的连线垂直于架面和地面．    (1)三只支架与地面所成的角均为60°，确定节点O分细钢管上、下两段的比值；（精确到0.01） (2)节点O分细钢管上、下两段之比为1：2，确定细钢管的长度．（精确到0.1cm） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由架面高度求得细钢管长，进一步求得上下两部分的长度得答案； （2）设，由相似三角形对应边成比例分别求得节点O到架面与底面的距离，再由架面高度列式求得，则细钢管的长度可求. 【详解】（1）根据题意画出示意图，如图所示， 架面与架底平行，且与地面所成的角为， 支架高度，解得， 设架面的中心为， 由题意，，则. 故， 节点O分细钢管上、下两段的比值为； （2）由三根细钢管相交处的节点O与架面三角形重心的连线垂直于架面和地面， 结合三角形相似可得为正三角形，设的中心为，可得三点共线， 连接，由三角形相似可得 设，在正三角形中，求得，则， 则，解得. 细钢管的长度为.    9．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为189km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过960s后，又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度．（精确到1m）    【答案】2443m 【分析】解三角形计算即可. 【详解】    如图所示，假设山顶为A点，飞机经过960秒，从B到C处，过A作BC的垂线交BC延长线于D点， 由题意可知，，千米， 在直角三角形中，有， 所以千米， 故山顶海拔高度为：. 10．如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）    【答案】 【分析】画出平面图形，求出角度，再利用正弦定理即可解决． 【详解】由题可知，，，， 设乙船速度为，则. 于是在中，由正弦定理可得：， 即，解得， 所以，乙船的航行速度大约是.    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基础核心是正余弦定理边角互化，已知边角求边长、角度；结合面积公式、内角和定理做基础求值；搭配两角和差、二倍角进行简单三角恒等变换；判断三角形形状，求解周长、面积定值。侧重公式规范运用，区分多解情况，依托基础不等式求简单范围，梯度设问前一问均为基础送分，侧重运算准确性，是整张试卷核心稳分板块。 1．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 2．在中，，，，是边上的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量中线定理，结合数量积的定义求解即可. 【详解】   在中，，，，是边上的中点， 所以， ， 因为，，， 所以， 所以， 因此. 3．在中，角，，的对边分别为，，，并且，，，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理，得，且， 所以或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 因此. 4．已知的三边长分别为，且面积，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用余弦定理和三角形面积公式，结合已知等量关系列方程得，即可得. 【详解】由，且，又， 所以，得，即， 因为，则. 5．在中，角的对边分别为，已知，，，则等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理及已知，得，则（舍去）. 6．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则角（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，结合余弦定理进行求解 【详解】, 所以，所以. 所以. 7．在中，角所对的边分别为，则_______. 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得：. 8．在中，，，的面积为，则的长为________． 【答案】 【详解】因为的面积，即，可得， 由余弦定理可得，即. 9．潮汕电影《给阿嬷的情书》在全国热映，吸引许多游客到电影取景地“打卡”.小明同学发现，电影在揭阳的三个主要取景地——揭西县棉湖镇（点A）、榕城区登岗镇（点B）、揭阳古城（点C）构成三角形区域，他借助地图测得，，，则约为________.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 39 【分析】已知三角形两边长度及两边夹角，直接运用余弦定理求解第三边长度即可. 【详解】在中，根据余弦定理：， 代入已知条件，，，且， 所以 因此，结合参考数据， 得：. 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由余弦定理得, 又，∴. （2）∵的面积为， 则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即， 则，. 重难·创新演练 设题创新:创新体现在融合几何新元素，加入角平分线、中线、高线等线段构建复杂边角关系；跨模块联动向量数量积、基本不等式，综合求最值范围；增设实际测量、古算典籍等情境建模；设问走向开放探究，补充条件型、多结论判断题型增多；弱化套路化套用，拉长逻辑链条，多三角形拼接转化，强化数形转化与分类讨论能力，打破固定解题模板。 1．已知正方形的边长是4，对角线与交于O，将正方形沿对角线折成的二面角，并给出下面结论：①；②；③为正三角形；④．则其中的真命题是（） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】对于①：结合正方形的性质，证明平面，继而得证；对于③：由二面角的定义可知，再结合，即可得证；对于②：运用反证法，假设，再推出矛盾，即可证明；对于④：在中运用余弦定理即可得解. 【详解】 由题意，可作出如图所示的图. 对于①：在上图中，由正方形的性质知，，， 又因为，平面，故可得平面， 因为平面，所以，故①正确； 对于③：由①可知平面，故， 又因为平面平面，平面，平面，， 故为二面角的平面角，即， 又由题设条件是正方形对角线的交点，可得出， 所以为正三角形，故③正确； 对于②：由上易知，与平面不垂直且.若，则有，平面， 即可证平面，与与平面不垂直矛盾，故与不垂直，故②不正确； 对于④：由上证知，是等边三角形，故，， 所以，故④正确. 2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，代入已知条件，得到与的关系，再利用和均值不等式求出的最大值，进而求出和三角形面积的最大值. 【详解】因为面积，只需求的最大值， 因为，，所以，A为钝角，B，C为锐角， ，代入已知条件得： ， ， 所以，令，则，, , ,而由均值不等式，，时取等号，此时，， 所以，由于B为锐角，所以， 所以，所以. 3．在中，，，．的角平分线与边上的高相交于点，问的长度是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 E．22 【答案】D 【分析】先通过余弦定理求的余弦值，再过作于，求得，结合余弦二倍角公式即可求解. 【详解】    在中，由余弦定理得： 过作于， 则为直角三角形，： 又为锐角，故： 为的角平分线，故， 在中： ， 代入得： . 4．测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中利用正弦定理求出的长，再在中利用三角函数求出的长. 【详解】在中，， 由正弦定理， 得. 在中，，， 所以. 5．已知的三边长分别是，，，则最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知并应用作差法比较大小确定最大边，即对应的最大角，再应用余弦定理求最大内角. 【详解】已知，三边长分别为，，， 所以，，则是最大边，对应最大角， 由， 由，因此. 6．在中，已知，，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由三角形内角的性质，应用平方关系及和角余弦公式求. 【详解】在中，，则，得， 已知，，则是锐角，故， 已知，则也是锐角，故， 因此. 7．在中，在线段上，，，，，则线段的长是__________． 【答案】6 【详解】设 ， 因为，， 则， 底边，， 在中，由余弦定理得， 即， 化简得，解得 或 ，即 或 ， 当，，， 由余弦定理得，此时，矛盾，故 舍去， 得 ，所以. 8．2026年“五一”假期，山西应县木塔推出数字沉浸式体验空间，既弥补游客无法登塔的遗憾，又为木塔建立毫米级精度数字档案，为科学修复提供依据，成为文化遗产保护国际示范案例．宁寿塔位于西宁市北山顶，是明代古塔，也是“北山烟雨”景观核心．受应县木塔“数字分身”做法启发，某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量．无人机在距水平地面30米的同一高度上先后悬停于A，B两点．记塔顶为P，在B点测塔顶P的俯角为．已知A，B两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中Q为塔顶P在无人机所在水平面上的垂直投影点），则宁寿塔的高度为__________米． 【答案】 【分析】在中利用正弦定理求，再利用俯角定义及直角三角形性质求出，即得塔高. 【详解】因为， 所以， 由正弦定理，得， 代入，，， 可得， 是在无人机水平面的投影，所以平面，即， 因为点观测塔顶的俯角为，即， 在中，， 解得， 故宁寿塔的塔高米. 9．在中，，，． (1)求； (2)过点A作的垂线，并与直线交于点D，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）由同角的平方关系和商数关系可求得，进而求得，可求的面积． 【详解】（1）因为，，， 所以． （2）因为，， 所以，则． 又，所以，则， 则的面积为． 10．设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）使用换元法转化为一元二次函数的最值问题求解； （2）使用三角形的面积公式求解. 【详解】（1）由题意得 ， 令，，． 对于，开口向下，对称轴． 由二次函数性质得在对称轴处取最大值；最小值在端点处： 当（即）时：； 当（即）时：． 故最小值为4（当时取得）． （2）由，设， 则，得到， 而在内无解．或． 若（此时超出三角形内角和，舍去）． ， 由知为等腰三角形，，． ． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 解三角形 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1正余弦定理公式 知识点2 正余弦相关应用 知识点3 正余弦定理实际应用 题型破译 题型1 正弦定理的应用 【方法技巧】正弦定理的应用 题型2 余弦定理的应用 【方法技巧】余弦定理的应用 题型3 判断三角形的形状 【方法技巧】判断三角形的形状 题型4 解三角形的实际应用 【方法技巧】解三角形的实际应用 题型5 三角形解的个数 【方法技巧】三角形解的个数 题型6 三角形中的周长问题 【方法技巧】三角形中的周长问题 题型7 三角形中的面积问题 【方法技巧】三角形中的面积问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 正弦定理与余弦定理的基础应用 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T6（5分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T12（5分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T7（5分） 解三角形的面积与周长问题 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 解三角形的综合应用 天津卷 T17（3）（6分） 天津卷 T17（3）（6分） 天津卷 T17（3）（6分） 考情分析 解三角形是天津高考数学必考核心考点，每年均以解答题（第17题）为核心考查形式，偶尔搭配选择/填空题，单题分值5-12分，整体难度中等，是必拿分核心考点。高频考查方向为：①正弦定理、余弦定理的基础应用，解三角形的基本题型（已知两边及夹角、两角及一边、两边及对角等）；②三角形的面积、周长相关问题，常结合基本不等式、三角函数性质求解最值/范围；③解三角形的综合应用，与三角恒等变换、三角函数性质、实际应用结合考查。本模块承接三角恒等变换、三角函数的图像与性质，是三角函数模块的综合应用核心，是高考数学的核心得分点，几乎每年的解答题都会出现，是考生必须熟练掌握的内容。 复习目标 1. 理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理的内容与变形，能根据已知条件选择合适的定理解三角形，掌握解三角形的基本题型解法； 2. 掌握三角形的面积公式，能熟练求解三角形的面积、周长相关问题，掌握结合基本不等式、三角函数性质求解最值/范围的方法； 3. 能综合运用正余弦定理、三角恒等变换、三角函数性质解决解三角形的综合问题，包括恒等式证明、角的范围求解、实际应用问题，提升综合解题能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 正余弦定理公式 基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形________的半径，并可由此计算R，r．） 必记结论 （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 自主检测已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，，． (1)求角的大小； (2)求的值和． 知识点2 正余弦相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 必记结论 1．方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 自主检测（2026·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 知识点3 正余弦定理实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． ②坡度：坡面的________与________之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 必记结论 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 自主检测天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”，如图，为了测量大楼的高度，测量人员选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，已知在，两点用测角仪测得其顶点的仰角分别是，，米，测角仪的高度米，则“津沽棒”的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 题●型●破●译 题型1 正弦定理的应用 例1-1在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，的面积为，． (1)求的值； (2)求； (3)求的值． 例1-2（2026·天津·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求角的大小； (2)求的面积； (3)求的值． 方法技巧 正弦定理的应用 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；. （3）两边一对角，求第三边. 【变式训练1-1】在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，的面积为（     ） A． B． C． D．   【变式训练1-2】在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【变式训练1-3】在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型2 余弦定理的应用 例2-1（2026·天津和平·三模）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知， （1）角__________； （2）若，则的面积的最大值是__________. 例2-2在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求，的值． 方法技巧 余弦定理的应用 (1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 【变式训练2-1】在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角； (2)若，，求． 【变式训练2-2】如图，已知平面四边形，，，，．沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是____________ 【变式训练2-3】（2026·天津滨海新区·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则外接圆的半径为______． 题型3 判断三角形的形状 例3-1在中，角的对边分别是，若，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 例3-2（2026·天津蓟州·阶段检测）已知三边长分别为，则该三角形是______三角形.（填锐角/直角/钝角） 例3-3（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 方法技巧 判断三角形的形状 （1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形. （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形. 【变式训练3-1】在中，内角，，的对边分别为，，.若，，则的形状是____________ . 【变式训练3-2】在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型4 解三角形的实际应用 例4-1如图，某球体建筑物置于水平地面上，与地面相切于点，在地面上沿过点的某一直线上取，两点（点在，之间），分别在，处测得该球体建筑物的最大仰角为和．已知，则该球体建筑物的体积为（    ）注：本题仰角是指观测点到切点（视线与球面相切处）的连线与水平面的夹角． A． B． C． D． 例4-2《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 方法技巧 解三角形的实际应用 根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解. 【变式训练4-1】某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 【变式训练4-2】如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米． 【变式训练4-3】2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（    ）        A．米 B．米 C．米 D．米 题型5 三角形解的个数 例5-1已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（     ） A． B． C．或 D． 例5-2（2026·天津河西·三模）在中，，，分别是角，，的对边，下列四个命题中正确的个数为（   ） ①若，则是等腰三角形； ②若，则是等腰三角形； ③若，则一定是锐角三角形； ④在中，，，若有一个解，则的取值范围是或. A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【变式训练5-1】在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式训练5-3】（2026·天津滨海新区·三模）在中，角所对的边分别为． (1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； (2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 题型6 三角形中的周长问题 例6-1（2026·天津滨海新区·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 例6-2在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 方法技巧 三角形中的周长问题 天津高考三角形周长问题，定值题直接用正、余弦定理求三边再求和；最值题分两种思路：已知一边一角，可边化角用正弦定理 + 辅助角公式，结合角范围求周长值域；也可角化边用余弦定理搭配基本不等式，等腰时取最大值。务必锁定内角范围、三边关系等隐藏约束，锐角三角形要额外限制角的区间，避免范围放大失分，答题分步写出边角转化过程，规范拿步骤分。 【变式训练6-1】记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【变式训练6-2】设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【变式训练6-3】已知的内角的对边分别为，，． (1)求的面积的最大值； (2)求的周长的取值范围． 题型7 三角形中的面积问题 例7-1（2026·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 例7-2在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 方法技巧 三角形中的面积问题 天津高考三角形面积问题，核心用(S=1/2absin C)列式。定值题直接用正、余弦定理求出两边及夹角代入计算；最值题分两种思路，定边定角时，余弦定理结合基本不等式求bc最值，或边化角转化为单三角函数值域求解。定角对定边常用外接圆模型，高最大时面积取最值，注意内角范围、锐角约束，避免范围放大。遇到分割三角形用等面积法，答题规范写出边角转化，分步拿步骤分。 【变式训练7-1】在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【变式训练7-2】已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【变式训练7-3】在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 6．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 7．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 由题意可知；， 所以由正弦定理得：， 在中，由余弦定理可知， ． 2．如图，已知平面ABC，垂足为点A，，，则（    ）. A． B．6 C．12 D．144 3．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（    ） A．10km B．km C．km D．km 4．在中，，，的面积为，则为（    ）． A． B． C． D． 5．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（    ） A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 6．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图）．上面为花篮，支架为三根细钢管．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①支架高度为108cm，②架面是边长为30cm的正三角形，③三根细钢管相交处的节点O与架面三角形ABC重心的连线垂直于架面和地面．    (1)三只支架与地面所成的角均为60°，确定节点O分细钢管上、下两段的比值；（精确到0.01） (2)节点O分细钢管上、下两段之比为1：2，确定细钢管的长度．（精确到0.1cm） 9．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为189km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过960s后，又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度．（精确到1m）    10．如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基础核心是正余弦定理边角互化，已知边角求边长、角度；结合面积公式、内角和定理做基础求值；搭配两角和差、二倍角进行简单三角恒等变换；判断三角形形状，求解周长、面积定值。侧重公式规范运用，区分多解情况，依托基础不等式求简单范围，梯度设问前一问均为基础送分，侧重运算准确性，是整张试卷核心稳分板块。 1．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 2．在中，，，，是边上的中点，则（     ） A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别为，，，并且，，，则（     ） A．或 B． C． D．或 4．已知的三边长分别为，且面积，则等于（   ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，已知，，，则等于（   ） A．1 B．2 C． D． 6．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则角（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．在中，角所对的边分别为，则_______. 8．在中，，，的面积为，则的长为________． 9．潮汕电影《给阿嬷的情书》在全国热映，吸引许多游客到电影取景地“打卡”.小明同学发现，电影在揭阳的三个主要取景地——揭西县棉湖镇（点A）、榕城区登岗镇（点B）、揭阳古城（点C）构成三角形区域，他借助地图测得，，，则约为________.（结果保留整数，参考数据：） 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 重难·创新演练 设题创新:创新体现在融合几何新元素，加入角平分线、中线、高线等线段构建复杂边角关系；跨模块联动向量数量积、基本不等式，综合求最值范围；增设实际测量、古算典籍等情境建模；设问走向开放探究，补充条件型、多结论判断题型增多；弱化套路化套用，拉长逻辑链条，多三角形拼接转化，强化数形转化与分类讨论能力，打破固定解题模板。 1．已知正方形的边长是4，对角线与交于O，将正方形沿对角线折成的二面角，并给出下面结论：①；②；③为正三角形；④．则其中的真命题是（） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．在中，，，．的角平分线与边上的高相交于点，问的长度是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 E．22 4．测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 5．已知的三边长分别是，，，则最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在中，已知，，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 7．在中，在线段上，，，，，则线段的长是__________． 8．2026年“五一”假期，山西应县木塔推出数字沉浸式体验空间，既弥补游客无法登塔的遗憾，又为木塔建立毫米级精度数字档案，为科学修复提供依据，成为文化遗产保护国际示范案例．宁寿塔位于西宁市北山顶，是明代古塔，也是“北山烟雨”景观核心．受应县木塔“数字分身”做法启发，某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量．无人机在距水平地面30米的同一高度上先后悬停于A，B两点．记塔顶为P，在B点测塔顶P的俯角为．已知A，B两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中Q为塔顶P在无人机所在水平面上的垂直投影点），则宁寿塔的高度为__________米． 9．在中，，，． (1)求； (2)过点A作的垂线，并与直线交于点D，求的面积． 10．设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $