第二章实数 基础卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学第二章实数基础卷，覆盖无理数、平方根、立方根等全章核心知识点，通过基础题与综合应用题结合，适配单元复习，培养运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、算术平方根、最简二次根式|结合数轴（第7题）考查几何直观，基础概念辨析| |填空题|5/15|立方根性质、平方根关系、非负数性质|第14题通过开方运算培养数感，第15题结合乘法化简| |解答题|8/75|二次根式计算、海伦公式应用、完美组合数探究|第19题圆柱容积问题体现模型意识，第23题创新定义考查推理能力与创新意识|

※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 八年级数学第一学期 第二章 实数 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．在给出的一组数，，，，，中，是无理数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2. 4的算术平方根是（ ） A．-2 B．2 C． D． 3．下列判断正确的是（ ） A． B．的算术平方根是3 C．27的立方根是±3 D．正数a的算术平方根是 4．在二次根式，，，中，最简二次根式共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列计算正确的是（　　） A． B．＝±3 C． D． 6.估算的值是在（ ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7.如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　） A．p B．q C．m D．n 8．若有意义，则a能取的最小整数为（　　） A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣8 9．二次根式，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．已知那么a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．立方根等于本身的数有________个． 12一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则这个数是 ． 13．如果+（2﹣b）2＝0，那么＝ 14．若=2.938，=6.329，则=______． 15．已知xy＝3，那么的值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分计算： （1）； （2） 17.本小题分已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值． 18.本小题8分已知：x+3的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3． （1）求x、y的值， （2）求x+y的算术平方根． 19.本小题8分如图所示的圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） （1）这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ （2）若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？（不计损耗） 20本小题10分若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与　﹣1　是关于1的平衡数，5与　﹣3　是关于1的平衡数； （2） 若（m）×（1）＝﹣5+3，判断m与5是否是关于1的平衡数，并说明理由． 21.本小题10分阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8． （1）求△ABC的面积； （2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值． 22本小题12分小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 计算：＝　 　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 23本小题12分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值 —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $八年级数学第一学期第二章实数 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大第二章，试卷总分：120分：考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 5 b 7 8 9 10 答案 B B 0 A D A B A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.312.913.1+2_14.293.815.±29y3 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题8分) 解：(1)V2 2+2-+t9-4-35+26 -1+5 2 2=2 4分 (2)-12+327+(-12026+/3-π =1+3+1+π-V5_5+π-√5 4分 17.(本小题8分) 解：由题意可得x一1=0，y一2=0， 2分 所以X=1,y=2. -4分 所以X-y=1一2=一1. -2分 18.(本小题8分)解：(1)+3的平方根是±3， X43=9, X=6, -2分 3x+y-1的立方根是3， ∴.3x+y-1=27, 解得：y=10: 2分 (2)x+y=6+10=16, 2分 ∴.x+y的算术平方根为4.- 2分 19./本小题8分，解：(1)设这个圆柱形容器的高为x分米，则它的底面直径是2x分米，依题意得 2×x=81, 解得x=3, -2分 .2x=6, -2分 答：这个圆柱形容器的底面直径为6分米： (2)2mx32+2π×3×3=108（平方分米）.- -4分 答：制作这个圆柱形容器需要铁皮108平方分米. 20本小题10分】 解：(1)由题意得，3+(-1)，=2,5-2+（-3+2)=2，------ 2分 ∴3与-1是关于1的平衡数，5-2与-3+V2是关于1的平衡数. -2分 (2)不是.- -1分 :(m+3)×(1-3) =m-3m+3-3 1分 又：(m+3)×(1-3)=-5+33, m-V3m+3-3=-5+33, .m-3m=-2+23. 即m(1-3)=-2(1-3). ∴.m=-2. -2分 .(m+3)+(5-3) =(-2+V3)+(5-V3) =3, 1分 2 .（-2+3)与(5-3)不是关于1的平衡数. 一1分 21.（本小题10分) 解：(1)根据慰意知p=a+b+C-9+7+8=12, 2 -…2分 2 所以s=Vpp-ap-bp-c=/12×(12-9)×(12-7×(12-8=125,----2分 △4BC的面积为12/5； a)s方咖=25。 ×w*7面=235. 2 --2分 =35,245, --2分 t-与5， -2分 1 √2-1 22.本小题12分解：(1)V2+1(W2+1(2-) =V2-1 -2分 √2-1 故答案为： (2)原式=V2-1+3-2+V4-3+.+/2027-2026 9/2027-1" 4分 (3)a=5+2, .a2=(5+2)y2=9+45 …2分 2a2-8a+1 =2(9+4V5)-8(V5+2)+1 =18+85-85-16+1 =3. …2分 答：2a2-8a+1的值为3. 23本小题12分 —3 解：(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”，理由如下： .V-18)×(-8j=12,/(-18)×-2)=6,V(-8)×(-2=4, .-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”；- -4分 (2)/(-3)×(-12)=6, ∴，分两种情况讨论： ①当V-3m=12时，-3m=144, 。。=-48；=---- 4分 ②当-12m=12时，-12m=144, .m=-12（不符合题意，舍)；--… -…4分 综上，m的值是-48. :点M,N是线段AB的勾股分割点， 4 保密★启用前 八年级数学第一学期第二章实数 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．在给出的一组数，，，，，中，是无理数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 解:0.3，3.14，是有限小数，是有理数； ，是分数，是有理数； ，是无理数，共2个， 故选：B． 2. 4的算术平方根是（ ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】B 解：因，根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2．故答案选B． 3．下列判断正确的是（ ） A． B．的算术平方根是3 C．27的立方根是±3 D．正数a的算术平方根是 【答案】D 解：A．，此选项错误； B．9的算术平方根是3，此选项错误； C．27的立方根是3，此选项错误； D．正数a的算术平方根是，此选项正确； 故选：D． 4．在二次根式，，，中，最简二次根式共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 解析：中有因数4；中有分母9；中有因式a2.故最简二次根式只有.故选A. 5．下列计算正确的是（　　） A． B．＝±3 C． D． 【答案】D 解：A、，故错误； B、=3，故错误； C、和不能合并，故错误； D、，故正确； 故选D． 6.估算的值是在（ ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【详解】 ∵25<27<36， ∴5<<6， 7<8. 故选C. 7.如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　） A．p B．q C．m D．n 【答案】A； 【解析】∵n+q=0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的点P表示的数p，故选A. 8．若有意义，则a能取的最小整数为（　　） A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣8 【答案】B 解：有意义，且a能取的最小整数，则， 解得：， 故能取的最小整数为：． 故选：． 9．二次根式，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小． 【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较： ∵，，； ∴． 故选：C． 10．已知那么a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为, 再结合从而可得答案． 解：∵= 而 ∴ 故选A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．立方根等于本身的数有________个． 答案：3. 解析：在正数中，＝1，在负数中，＝－1，又＝0，∴立方根等于本身的数有1，－1，0.故填3. 12一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则这个数是 ． 答案：9. 解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解． 解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0.即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 13．如果+（2﹣b）2＝0，那么＝___． 【答案】 解：∵+（2﹣b）2＝0， ∴ ， 解得： ， ∴． 故答案为： 14．若=2.938，=6.329，则=______． 【答案】293.8 解： = =×100 =293.8. 故答案为293.8． 15．已知xy＝3，那么的值是　±2　． 答案：±2． 解：因为xy＝3，所以x、y同号， 于是原式＝xy， ①当x＞0，y＞0时，原式2； ②当x＜0，y＜0时，原式（）＝﹣2． 故原式＝±2． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分计算： （1）； （2） 解：（1）= == （2） == 17.本小题分已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值． 解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1. 18.本小题8分 已知：x+3的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3． （1）求x、y的值， （2）求x+y的算术平方根． 解：（1）∵x+3的平方根是±3， ∴x+3=9， ∴x=6， ∵3x+y-1的立方根是3， ∴3x+y-1=27， 解得：y=10； （2）x+y=6+10=16， ∴x+y的算术平方根为4． 19.本小题8分如图所示的圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） （1）这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ （2）若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？（不计损耗） 解：（1）设这个圆柱形容器的高为x分米，则它的底面直径是2x分米，依题意得 πx2×x＝81， 解得x＝3， ∴2x＝6， 答：这个圆柱形容器的底面直径为6分米； （2）2π×32+2π×3×3＝108（平方分米）． 答：制作这个圆柱形容器需要铁皮108平方分米． 20本小题10分若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与　﹣1　是关于1的平衡数，5与　﹣3　是关于1的平衡数； （2）若（m）×（1）＝﹣5+3，判断m与5是否是关于1的平衡数，并说明理由． 解：（1）由题意得，3+（﹣1）＝2，5（﹣3）＝2， ∴3与﹣1是关于1的平衡数，5与﹣3是关于1的平衡数． （2）不是． ∵（m）×（1） ＝mm3，…（5分） 又∵（m）×（1）＝﹣5+3， ∴mm3＝﹣5+3， ∴mm＝﹣2+2． 即 m（1）＝﹣2（1）． ∴m＝﹣2． ∴（m）+（5） ＝（﹣2）+（5） ＝3， ∴（﹣2）与（5）不是关于1的平衡数． 21.本小题10分阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8． （1）求△ABC的面积； （2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值． 【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可； （2）按照三角形的面积底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可． 解：（1）根据题意知12， 所以S12， ∴△ABC的面积为12； （2）∵Sch1bh2＝12， ∴8h17h2＝12， ∴h1＝3，h2， ∴h1+h2． 22本小题12分小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） 计算：＝　 　； （2） （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 解：（1）， 故答案为：； （2）原式= = （3）， ， ． 答：的值为3． 23本小题12分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断； （2）分两种情况讨论：①当12时，②当12时，分别计算即可． 【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵12，6，4， ∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”； （2）∵6， ∴分两种情况讨论： ①当12时，﹣3m＝144， ∴m＝﹣48； ②当12时，﹣12m＝144， ∴m＝﹣12（不符合题意，舍）； 综上，m的值是﹣48． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 八年级数学第一学期第二章实数 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．在给出的一组数，，，，，中，是无理数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2. 4的算术平方根是（ ） A．-2 B．2 C． D． 3．下列判断正确的是（ ） A． B．的算术平方根是3 C．27的立方根是±3 D．正数a的算术平方根是 4．在二次根式，，，中，最简二次根式共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列计算正确的是（　　） A． B．＝±3 C． D． 6.估算的值是在（ ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7.如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　） A．p B．q C．m D．n 8．若有意义，则a能取的最小整数为（　　） A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣8 9．二次根式，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．已知那么a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．立方根等于本身的数有________个． 12一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则这个数是 ． 13．如果+（2﹣b）2＝0，那么＝ 14．若=2.938，=6.329，则=______． 15．已知xy＝3，那么的值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分计算： （1）； （2） 17.本小题分已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值． 18.本小题8分已知：x+3的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3． （1）求x、y的值， （2）求x+y的算术平方根． 19.本小题8分如图所示的圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） （1）这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ （2）若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？（不计损耗） 20本小题10分若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与　﹣1　是关于1的平衡数，5与　﹣3　是关于1的平衡数； （2） 若（m）×（1）＝﹣5+3，判断m与5是否是关于1的平衡数，并说明理由． 21.本小题10分阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8． （1）求△ABC的面积； （2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值． 22本小题12分小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 计算：＝　 　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 23本小题12分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $