1.4 全等三角形8大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“全等三角形”核心知识点，从全等图形入手，过渡到全等多边形，再深入全等三角形的定义、对应元素确定方法及性质，构建从一般到特殊的学习支架，为后续全等判定学习奠定基础。 资料通过“即学即练+分层题型”设计，结合网格角度计算、动点问题等实例，培养几何直观与推理能力，规范书写要求强化数学语言表达。课中辅助教师突破复杂图形对应关系等难点，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第一章 认识三角形 1.4 全等三角形 课标要点 1. 能够完全重合的两个三角形为全等三角形，形状、大小完全相同，与位置无关。 2. 全等三角形重合的顶点、边、角分别为对应顶点、对应边、对应角，是解题基础。 3. 全等三角形核心性质：对应边相等，对应角相等，可用于边角计算与证明。 4. 全等三角形的周长、面积分别相等，对应高线、中线、角平分线也全部相等。 5. 书写全等三角形需严格对应顶点顺序，保证边角对应关系准确不混乱。 学习重难点 重点： 1. 掌握全等三角形的定义与基本特征。 2. 熟记并运用全等三角形边角性质。 3. 准确识别全等三角形的对应边角。 难点： 1. 复杂图形中快速找准对应边角。 2. 规范书写全等三角形对应格式。 3. 灵活用性质解决几何证明问题。 知识点一 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 知识点二 全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 【即学即练】 3．（25-26七年级下·山西·期末）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 4．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是_________________．（只填正确说法的序号） 知识点三 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【即学即练】 5．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 6．（24-25七年级下·浙江温州·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 知识点四 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 【即学即练】 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 题型01 图形的全等 解题贴士 判定全等先找准对应边、对应角，书写时顶点一一对应。看清图形平移、翻折、旋转不改变边长角度。利用公共边、对顶角、同角余角等隐含条件。区分判定定理，避免误用 SSA，计算证明紧扣对应边角相等，细致标注条件，规范步骤，不漏写关键推理。 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·江西南昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 变｜式｜巩｜固 2．（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 题型02 利用全等图形求正方形网格中角度之和 典｜例｜精｜析 5．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 题型03 将已知图形分割成几个全等图形 典｜例｜精｜析 9．（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 变｜式｜巩｜固 10．（26-27八年级·浙江温州·暑假作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（25-26七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 题型04 全等三角形的概念 解题贴士 判定全等三角形先明确完全重合即形状大小均相同，书写字母严格对应顶点。识图挖掘公共边、对顶角等隐藏相等条件，区分对应边角，杜绝 SSA 错误判定。运用性质时认准对应线段相等，推理步骤完整规范，看清图形变换不改变全等关系。 典｜例｜精｜析 13．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 14．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 15．（25-26八年级上·河南漯河·开学考试）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    16．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    题型05 利用全等三角形的性质求长度 解题贴士 先找准全等三角形对应顶点，锁定对应边；挖掘公共边、对顶角等隐藏等量条件。依据全等对应边相等列式计算，区分对应与非对应线段，勿混淆边角关系。书写步骤标注全等依据，计算后检验线段长度逻辑是否合理。 典｜例｜精｜析 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 变｜式｜巩｜固 18．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 19．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 20．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 题型06 利用全等三角形的性质求角度 典｜例｜精｜析 21．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 22．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___． 24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 题型07 利用全等三角形的性质求面积 典｜例｜精｜析 25．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 变｜式｜巩｜固 26．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 27．（24-25八年级上·吉林白城·期末）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)若，求的值： (2)填空： ①若，则______； ②若______； (3)两块形状和大小完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 28．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 题型08 全等三角形的动点问题 解题贴士 先设运动时间 t，用含 t 式子表示线段长度，找准全等对应边角。分类讨论动点不同位置，区分相等线段与对应边，留意公共边、定长线段。验证时间非负，规范写出全等条件，排除不符合题意的解。 典｜例｜精｜析 29．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 变｜式｜巩｜固 30．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 31．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形中，，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，动点M从点B出发沿向点D匀速移动，三点同时出发．当动点M的速度为_____时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 32．（25-26八年级上·吉林·期末）如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 基础通关 1．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则的度数及的长分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级下·浙江温州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 4．（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图，点，，，依次在同一直线上，（点，分别与点、对应）．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图， ，B，C，D三点共线，连接，若，则________． 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， ，点D 在边上，若，则的度数为__________． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为___________． 8．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当___________为何值时，与全等． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 10．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 素养提升 11．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．面积相等的两个三角形是全等图形 B．三角形的外角一定大于内角 C．对应角都相等的两个三角形全等 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 12．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，点B、C、D在同一条直线上，点E在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ） A． B．或 C． D．或 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 15．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，点在上，，，，则的长为______． 16．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，在中，F，G分别是，上的点，，，且，交于点H．若，则 的度数是_______． 17．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为________ (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为________． 18．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，试说明： (1)； (2)满足什么条件时， 19．（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）如图所示，在中，，，D为的中点．如果点P在线段上，由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动．设运动时间为 (1)若点P的速度为，则时，______，______用含t的代数式表示 (2)在（1）的条件下，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时与全等？请说明理由． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 迁移创新 21．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 22．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（     ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 23．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为________． 24．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 25．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 认识三角形 1.4 全等三角形 课标要点 1. 能够完全重合的两个三角形为全等三角形，形状、大小完全相同，与位置无关。 2. 全等三角形重合的顶点、边、角分别为对应顶点、对应边、对应角，是解题基础。 3. 全等三角形核心性质：对应边相等，对应角相等，可用于边角计算与证明。 4. 全等三角形的周长、面积分别相等，对应高线、中线、角平分线也全部相等。 5. 书写全等三角形需严格对应顶点顺序，保证边角对应关系准确不混乱。 学习重难点 重点： 1. 掌握全等三角形的定义与基本特征。 2. 熟记并运用全等三角形边角性质。 3. 准确识别全等三角形的对应边角。 难点： 1. 复杂图形中快速找准对应边角。 2. 规范书写全等三角形对应格式。 3. 灵活用性质解决几何证明问题。 知识点一 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【答案】C 【分析】根据全等图形的定义，即能完全重合的两个图形是全等图形，逐一判断各选项即可得到结果. 【详解】解：∵ 能完全重合的两个图形叫做全等图形. A 选项：周长相等的三角形，边长不一定对应相等，无法完全重合，不是全等图形. B 选项：面积相等的三角形，边长和形状不一定相同，无法完全重合，不是全等图形. C 选项：圆的大小只由半径决定，半径相等的圆大小完全相同，可以完全重合，是全等图形. D 选项：底和高分别相等的平行四边形，内角大小不一定相同，形状不一定一致，无法完全重合，不是全等图形. 知识点二 全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 【即学即练】 3．（25-26七年级下·山西·期末）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误； ②边、角分别对应相等的两个多边形全等，说法正确； ③全等图形的形状、大小都相同，说法正确； ④面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误， 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同． 4．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是_________________．（只填正确说法的序号） 【答案】②③/③② 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个大小、形状相同的图形称为全等图形，故原说法错误； ②边、角分别对应相等的两个多边形全等，故原说法正确； ③全等图形的形状、大小都相同，故原说法正确； ④面积相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误． 故答案为：②③ 【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同． 知识点三 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【即学即练】 5．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的； B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； 故选：B． 6．（24-25七年级下·浙江温州·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 知识点四 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 【即学即练】 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，且的周长为16， ∴的周长为16， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得：， 当时，三角形三边长为3，7，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或 【分析】设秒时，和全等，则米，米，米，再分两种情况：①，②，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设秒时，和全等，则米，米， ∵米， ∴米， ∵射线，射线， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； 综上，线段的长度为32米或60米． 题型01 图形的全等 解题贴士 判定全等先找准对应边、对应角，书写时顶点一一对应。看清图形平移、翻折、旋转不改变边长角度。利用公共边、对顶角、同角余角等隐含条件。区分判定定理，避免误用 SSA，计算证明紧扣对应边角相等，细致标注条件，规范步骤，不漏写关键推理。 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·江西南昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【详解】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同． ∵形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，∴A错误； ∵周长相等的两个图形形状和大小不一定都相同，不一定能完全重合，∴B错误； ∵两个正方形的边长不一定相等，大小不一定相同，不一定能完全重合，∴C错误； ∵全等图形能完全重合，∴两个全等图形的面积一定相等，D正确． 变｜式｜巩｜固 2．（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 题型02 利用全等图形求正方形网格中角度之和 典｜例｜精｜析 5．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 7．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 【答案】135 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案； 【详解】如图所示， 在△ACB和△DCE中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 题型03 将已知图形分割成几个全等图形 典｜例｜精｜析 9．（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 10．（26-27八年级·浙江温州·暑假作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 11．（25-26七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 12．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 题型04 全等三角形的概念 解题贴士 判定全等三角形先明确完全重合即形状大小均相同，书写字母严格对应顶点。识图挖掘公共边、对顶角等隐藏相等条件，区分对应边角，杜绝 SSA 错误判定。运用性质时认准对应线段相等，推理步骤完整规范，看清图形变换不改变全等关系。 典｜例｜精｜析 13．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 变｜式｜巩｜固 14．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 15．（25-26八年级上·河南漯河·开学考试）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 16．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 题型05 利用全等三角形的性质求长度 解题贴士 先找准全等三角形对应顶点，锁定对应边；挖掘公共边、对顶角等隐藏等量条件。依据全等对应边相等列式计算，区分对应与非对应线段，勿混淆边角关系。书写步骤标注全等依据，计算后检验线段长度逻辑是否合理。 典｜例｜精｜析 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 18．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 19．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【答案】 1.5 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）首先求出，然后由全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型06 利用全等三角形的性质求角度 典｜例｜精｜析 21．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全等的性质得，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 22．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角的性质得，利用三角形内角和定理及对顶角的性质得，利用全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理分别求出、、，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：，， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)直线与垂直，理由见解析 (2) 【分析】本题综合考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质(内错角相等)，涉及角的和差运算． （1）通过全等转化角度，结合三角形内角和判定垂直； （2）复用前一问结论，结合平行线性质完成角度计算． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴． ∵， ∴． 题型07 利用全等三角形的性质求面积 典｜例｜精｜析 25．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】C 【分析】根据平移前后的两个图形是全等图形，进而得到，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴, ，， ∴， ∵将沿射线方向平移得到，平移距离为2， ∴，， ， ， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 26．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 27．（24-25八年级上·吉林白城·期末）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)若，求的值： (2)填空： ①若，则______； ②若______； (3)两块形状和大小完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1)7 (2)①7；②5 (3)17 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）把，代入 从而可得答案； （2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可； ②利用完全平方公式变形可得，再求值即可； （3）先证明三点共线，，可得，结合已知条件可得，，再利用，求解2ab，从而可得答案． 【详解】（1）解： ，，而 解得：； （2）解：①， ； 故答案为：7； ②，， ； 故答案为：5； （3）解：三点共线，且 三点共线， ∵两块形状和大小完全相同的特制直角三角板 ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 28．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或6 (3)或或或 【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解； （2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解； （3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论： 若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为， 当时，点P在边上，此时； 当时，点P在边上，此时； 综上所述，当时，；当时， ； （2）解：∵，，， ∴， 如图，当点P在边上时，， 此时， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 如图，当点P在边上时，过点C作于点K，， 此时， ∵， ∴，即， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 综上所述，当或6时，的面积等于面积的； （3）解：∵， ∴点A和点D为对应点， 设点Q的运动速度为， 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． 题型08 全等三角形的动点问题 解题贴士 先设运动时间 t，用含 t 式子表示线段长度，找准全等对应边角。分类讨论动点不同位置，区分相等线段与对应边，留意公共边、定长线段。验证时间非负，规范写出全等条件，排除不符合题意的解。 典｜例｜精｜析 29．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的性质．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时；再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点未动，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 30．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【答案】C 【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，在上，，如图，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上，， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故选：． 31．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形中，，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，动点M从点B出发沿向点D匀速移动，三点同时出发．当动点M的速度为_____时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，（看成一个整体），进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 32．（25-26八年级上·吉林·期末）如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)①；② (3)或 (4)或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）①根据求解即可． ②根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 故答案为：6； （2）解：①当点在边上，； ②由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 基础通关 1．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则的度数及的长分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理得出，由全等三角形的性质得出，． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，． 3．（25-26七年级下·浙江温州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图，点，，，依次在同一直线上，（点，分别与点、对应）．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图， ，B，C，D三点共线，连接，若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质，可知为等腰三角形，得出，根据三角形内角和，可得出，即可求解． 【详解】解：， ，，， ，， ， ． 故答案为： 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， ，点D 在边上，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意可知，利用等腰三角形性质可知，通过即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为___________． 【答案】/25度 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和等知识点，利用三角形的外角和为得出，根据全等三角形的性质得出，，然后结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：三角形的外角和是， ， 三个三角形全等， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当___________为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证； （）利用全等三角形的性质解答即可求证； 本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 10．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 素养提升 11．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．面积相等的两个三角形是全等图形 B．三角形的外角一定大于内角 C．对应角都相等的两个三角形全等 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判断，全等图形的判定，三角形外角的性质． 通过反例判断A、B、C均为假命题，D符合全等形的定义． 【详解】解：面积相等的两个三角形不一定全等，如底为4高为3与底为2高为6的三角形，面积均为6但不全等，A是假命题． 三角形的外角不一定大于每一个内角，如钝角三角形中，钝角的相邻外角小于该钝角，B是假命题． 对应角都相等的两个三角形边不一定相等，即不一定全等，C是假命题． 全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，D是真命题． 故选：D． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，点B、C、D在同一条直线上，点E在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意找出图形中的角度关系是解题关键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ， 故选：B． 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的运用，设运动时间为，根据题意得到，，则，分当时，当时两种情况，然后通过全等三角形的性质列方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动， ∴，，则， ∵， ∴如图，当时， ∴，， ∴，解得：， ∴； 如图，当时， ∴，， ∴，解得：， ∴； 综上可得：的长度为或， 故选：． 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【答案】C 【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，在上，，如图，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上，， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故选：． 15．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，点在上，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，由，则，，然后通过线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，在中，F，G分别是，上的点，，，且，交于点H．若，则 的度数是_______． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，熟练掌握全等三角形性质，平行线性质，三角形外角性质，是解题的关键． 延长交于点，交于点．根据全等三角形性质，得，，得，得．根据平行线性质得，得．根据三角形外角性质得． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为________ (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为________． 【答案】 2或10 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质： （1）由题意得，，，再根据线段的和差关系求解即可； （2）分两种情况讨论，当点在射线上时，在上，当点在的反向延长线上，在延长线上时，根据全等三角形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时，在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故答案为：2或10. 18．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，试说明： (1)； (2)满足什么条件时， 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． （1）利用全等三角形的性质可得，，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴ ∴． 19．（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）如图所示，在中，，，D为的中点．如果点P在线段上，由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动．设运动时间为 (1)若点P的速度为，则时，______，______用含t的代数式表示 (2)在（1）的条件下，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时与全等？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)经过1秒时与全等，见解析 【分析】本题考查了列代数，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）分两种情况讨论：①当时；②当时，根据全等三角形的性质求得对应边的长度，结合点Q运动速度与点P的运动速度相等验证，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度为， ∴，， 故答案为：，， （2）解：经过1秒时与全等， 理由如下： ∵， ∴， ①当时，则，， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， 又∵点Q运动速度与点P的运动速度相等， ∴， ∵， ∴这种情况不成立； ②当时，则，， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵点P的速度为，点Q运动速度与点P的运动速度相等， ∴； 综上，若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒钟与全等． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 【答案】(1)6； (2)①；②t的值为； (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，点P在上，； 故答案为：6；； （2）解：①如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， 故答案为：， ②当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， t的值为； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 迁移创新 21．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 22．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（     ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：由平移可知， ， ， ， 点到的距离为线段的长， 故①错误； 由平移可知，， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 由平移可知，，， ，，， 四边形的周长是，四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形与四边形的周长差为， 故③正确； 由平移可知， ， ，， ， 故④正确； 综上所述，说法正确的是②③④． 23．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为________． 【答案】2或 【分析】根据与全等时，对应边相等列式求解即可 ． 【详解】解：∵中，厘米，厘米，点为的中点． ∴，厘米， 设运动时间为秒， 则，，， 当与全等时，有， 当，时， 则，解得； 当，时， 则，解得， 综上，当与全等时，的值为2或． 24．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 25．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $