2.4 相似三角形与实际问题（第1课时 测量物体的高度）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形解决测量物体高度问题，通过“数学源于生活”导入，先回顾相似三角形的判定方法与性质，再引导学生将实际问题抽象为几何图形，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于提供利用影子、镜子、墙面影子等多种测量方案，通过作辅助线等多解法培养几何直观与推理能力，结合中考题和《数书九章》等数学文化增强应用意识。采用“建模-求解-验证”步骤小结，帮助学生建立数学建模思维，教师可高效开展实际应用教学。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.4相似三角形与实际问题 第1课时 测量物体高度 学 习 目 标 1 2 3 了解测量高度的实际问题，能识别生活中常见的相似三角形几何模型，掌握解决相似三角形实际问题的基本解题思路。(几何直观、应用意识) 经历“实际问题-抽象几何图形-建立相似三角形模型-求解验证”的完整过程，体会数学建模、数形结合思想。(几何直观、推理能力) 感受相似三角形在生活、生产、测量中的广泛应用，体会数学与现实生活的紧密联系，激发数学应用意识与学习兴趣。(应用意识) 思考 相似三角形的判定方法有哪几种？ 1.定义法：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. 2.平行法：平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的 三角形与原三角形相似. 5.判定定理3：三边对应成比例的两三角形相似. 3.判定定理1： 两角分别相等的两个三角形相似. 4.判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 知识回顾 相似三角形有哪些性质？有什么作用？ 思考 相似三角形的 三个角对应相等 三边对应成比例 相似三角形性质的作用：求证角相等；线段的比；图形的面积。 知识回顾 对应线段的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 “数学源于生活，服务生活”。 相似三角形的知识,可以帮我们解决什么样的实际问题呢？ 今天我们就系统学习，如何借助相似三角形模型，解决不易测量的高度、两地之间的距离等各类实际应用题。 新知导入 例1、如图,为了测量教学楼的高度,大刚走进教学楼的影子里,使自己的影子刚好被教学楼的影子完全遮住。此时,他的影子AC的长为1m,他与 教学楼的距离CE 为9m。已知大刚的身高 BC为1.7m,求教学楼的高DE。 实际问题转化为什么样的数学问题？ 题型1 利用相似测量物高 9m 1m 1.7m 典例讲解 把实物都用线段来表示，可以把实景图转化为几何图形。 知识点总结 已知什么？ ①大刚影子AC的长为1m； ②大刚身高BC为1.7m ③大刚教学楼的距离CE 为9m。 怎样解？ 知识点归纳 求什么？ 教学楼的 高DE ． 实际问题抽象为数学问题 大刚的身高 教学楼高 两条垂直于地面的线段 题型1 利用相似测量物高 A B C E D 转为几何图形 A B C E D 教学楼的高和大刚的身高分别 看成两条垂直于地面的线段 DE⊥AE BC⊥AE, ∠E=∠ACB=90°， ∠A=∠A， △ABC∽△ADE 方法1：解析 代入已知数据即可得解 题型1 利用相似测量物高 典例讲解 A B C E D 解:由题意得∠BCA=∠DEA=90°, ∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADE. ∴ ∵AC=1,CE=9，BC=1.7, ∴AE=AC+CE=1+9=10. ∴ 矗立地面上的物体与地面垂直 ∴DE=17 即教学楼的高为17m。 还有其他解法吗？ 9m 1m 1.7m 典例讲解 A B C E D 解:由题意得∠BCA=∠DEA=90°, ∵BC∥DE， ∴ ∵AC=1,CE=9，BC=1.7, ∴AE=AC+CE=1+9=10. ∴ 平行线分线段成比例的推论 ∴DE=17 即教学楼的高为17m。 你还有其他测量方案吗？ 9m 1m 1.7m 典例讲解 例1、（变式1）当看不清或不便于测量物体的影子时,我们可以先在地面的适当位置上平放一面镜子, 看着镜子中教学楼的像,沿着教学楼的底部与镜子所在的直线移动,直到在地面的镜子中恰好能看到教学楼顶端的位置为止如图。 分别量出CA,AE,BC的长度, 就可以算出教学楼的高。 你能说出这样做的道理吗? 题型2 利用镜子测量物高 典例讲解 A B C E D ∠BCA=∠DEA=90° ∠BAC=∠DAE △ABC∽△ADE 代入已知数据即可得解 变式1：解析 题型2 利用镜子测量物高 根据光学原理 典例讲解 题型3 利用阳光下的影子测量物高 例1、（变式2）如图,为了测量教学楼的高度,大刚走进阳光下，此时,测得他的影子AC的长为1m,教学楼的影子 EF的长为10m。已知大刚的身高BC为1.7m,求教学楼的高DE。 F 典例讲解 题型3 利用阳光下的影子测量物高 F B C E D A F 同一时刻太阳 光线是平行的 AB∥DF ∠A=∠F， ∠BCA=∠DEA=90° △ABC∽△FDE 代入已知数据即可得解 变式2：解析 典例讲解 利用相似三角形解决实际问题的步骤: (1)审题: 梳理实际问题中的已知条件，明确所求未知量(高度、距离、宽度等)。 (3)判定: 利用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似。 知识点归纳 (2)建模: 根据实际场景，画出对应的几何图形，找出其中的相似三角形 (4)列式: 根据相似三角形对应边成比例，列出正确的比例关系式。 （5)求解: 代入已知数值，计算未知量，检验结果是否符合实际意义。 (6)作答: 规范书写解题过程，清晰写出最终答案。 1.小亮用激光测量某古城墙高度的示意图如图所示。在点P 处水平放置一平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后恰好射向古城墙CD 的顶端C 处。 跟踪练习 已知AB⊥ BD,垂足为点B,CD⊥BD, 垂足为点 D,AB 为2m,BP 为3m, PD 为 12m。求该古城墙CD 的高度。 3m 2m 12m 3m 2m 12m 解:∵光线从点A出发经平面镜反射到点C， ∴∠APB=∠CPD。 ∵AB⊥BD,CD⊥BD， ∴∠ABP=∠CDP=90°, 解得CD=8。 ∴△ABP∽△CDP ∴ 即 答:该古城墙CD的高度为8m。 例2、某教学楼旁边有一棵树，数学课外兴趣小组想要知道这棵树的高度，他们在测量时发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示。经过一番讨论，该小组的同学认为继续测量可以求出树高。 题型4 求影子在墙面上时物体的高度 他们测得落在地面上的影长为2.7m，落在墙壁上的影长为1.2m，同时在阳光下测得一根长为1m的 竹竿的影长为0.9m，请你和 他们一起计算一下树高。 典例讲解 解析:本题主要根据同一时刻的物高与影长成比例来求解。 需要利用相似三角形对应边成比例的性质。怎样构造三角形呢？ 把已知量转化为几何图形，如图所示：AB为树高，BE=2.7m为树在地上的影子,DE=1.2m为树在墙壁上的影长;PQ=1m为竹子长,QR=0.9m为竹子在地上的影长.AD,PR是阳光光线。 A B E D 2.7m 1.2m R Q P 0.9m 1m 怎样构造出与△PQR 相似的三角形呢？ 典例讲解 解析：本题考查相似三角形的应用，图中没有三角形，首先根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键。 A B E D 2.7m 1.2m R Q P 0.9m 1m 怎样添加辅助线才能构造出与△PQR 相似的三角形呢？ 典例讲解 A B E D 2.7m 1.2m R Q P 0.9m 1m 解法一:(作延长线)如图所示， 延长BE，AD交于点C, C 图中有与△PQR 相似的三角形吗？ 则△DEC∽△PQR. ∴ ∴ ∴EC=1.08. ∵△DEC∽△ABC. ∴ ∴BC=BE+CE=3.78 ∴ ∴AB=4.2m. ∴树高为4.2m。 典例讲解 A B E D 2.7m 1.2m R Q P 0.9m 1m 解法二:(作垂线)如图所示， 过点D作DC⊥AB于点C, C 图中有与△PQR 相似的三角形吗？ △ACD∽△PQR. ∴ ∴ ∴AB=BC+AC=1.2+3=4.2. ∴树高为4.2m。 则BC=ED=1.2m,CD=BE=2.7m, ∴AC=3. 典例讲解 A B E D 2.7m 1.2m R Q P 0.9m 1m 解法三:(作平行线)如图所示， 过点E作EC∥AD交AB于点C, C 图中有与△PQR 相似的三角形吗？ 则AC=DE=1.2,△CBE∽△PQR. ∴ ∴ ∴BC=1.08. ∴AB=BC+AC=4.2 ∴树高为4.2m。 典例讲解 2.(2025·四川绵阳中考·4分)如图所示，小明在课外实践活 动中对一棵大树的高度进行测量。他准备了一根竹竿，将 竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E 和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树 顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D， 测得小明的眼睛距地面的高度 AB为1.6m，竹竿CD长3m， 则大树的高度EF为 m。 10m 2m 1m 3m 跟踪练习 解:如图所示，过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G， 则BH⊥CD， ∴∠BGD=∠BHF=90°, ∴AB=CG=EH=1.6m,AC=BG=2m,CE=GH=10m, ∴BH=BG+GH=2+10=12(m)。 ∵CD=3m，∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4(m)。 ∵∠DBG=∠FBH， 解得FH=8.4， ∴EF=FH+EH=8.4+1.6=10(m), ∴大树的高度EF为10m。 ∴△BDG∽△BFH. ∴ ∴ 10m 2m 1m 3m 跟踪练习 1.图①是装满了液体的高脚杯的示意图,倒出部分液体后,放在水平的桌面上(图②), 求此时液面AB 的长。 解:如图所示，由题意， 得OC=OD=8cm,CD=6cm, OA= 4 cm,BD= 4 cm, ∴OB=8-4=4(cm), ∴ == ∵∠AOB=∠COD， ∴△OAB∽△OCD，∴ ∴AB=3， ∴AB=3cm。即液面AB的长为3cm。 O C D 当堂检测 2.古希腊数学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶端立一根木杆,借助太阳光线构成的两 个相似三角形,来测量金字塔的高度。如图,已知木杆EF 高为2m,它的影长 FD 为3m,OA 为201m。求金字塔的高BO 的长。 解:∵AB//DE，所以∠BAO=∠D。 又∵∠AOB=∠DAE=90°， ∴△OAB∽△ADE，∴ = ∵AE=EF=2m,OA=201m,AD=DF=3m, ∴=，∴BO=134。 即金字塔的高BO的长为134m。 当堂检测 3.数学文化(山东潍坊中考·4分)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题:如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A,C，E在一条水平直线上。已知AC=20m,CE=10m,CD=7m,EF=1.4m，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度。根据以上信息， 塔的高度为 m。 10m 20m 7m 1.4m 当堂检测 解析：本题考查了相似三角形的应用，图中没有三角形，首先根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键。 过F点作FH⊥AB 于点H,交CD于点G. 10m 20m 7m 1.4m 10m 20m 7m 1.4m 当堂检测 解:如图，过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长 FG交AB于点H， 由题意，得FH⊥AB,AH=CG=EF=1.4m, AC=GH=20m,CE=FG=10m, ∵CD=7m， ∴DG=CD-CG=7-1.4=5.6(m)。 ∴∠DGF=∠BHF=90°。 10m 20m 7m 1.4m 当堂检测 ∵∠DFG=∠BFH， ∴塔的高度为18.2m。答案:18.2 ∴ ∴△FDG∽△FBA. ∴ ∴BH=16.8(m), ∴AB=BH+AH=16.8+1.4=18.2(m), 10m 20m 7m 1.4m 当堂检测 方法 利用阳光 利用标杆 利用镜子 示意图 测量数据 相似三角形 注意事项 1.测量物体高度 求旗杆AB的高度，要测量DF，EF，BC的长。 求古塔PO的高度，要测量AO,AE，EF，AD的长 求电线杆CB的高度 要测量DE,EA,BA的长 △ABC∽△DFE. △DFG∽△DPB △ABC∽△AED. 一定要在同一时刻否则就会影响结果的准确性 观察者的眼睛、标杆的顶端、被测物体的顶端必须三点共线 测量时,镜子要放在水平的地面上 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $