2.2 相似三角形的判定（第4课时相似三角形判定定理3）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理3，通过类比全等三角形“三边分别相等”引出“三边成比例是否相似”的问题，结合已学的定义法、平行线法等判定方法搭建学习支架，引导学生探索定理证明过程。 其亮点在于以推理能力培养为核心，通过构造全等三角形证明定理，结合典例（如格点三角形用勾股定理计算边长）和跟踪练习，发展学生几何直观与抽象能力，规范几何语言表达。学生能提升逻辑思维与问题解决能力，教师可借助系统流程高效开展教学。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.2相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定定理3 学 习 目 标 1 2 3 探索两个三角形相似的判定定理3，了解相似三角形判定定理3的证明过程。 经历探索、发现、证明、说理和计算的过程，进一步感悟几何的研究方法，体会证明的意义和证明的必要性，加深学生对数学命题中条件与结论的逻辑关系的理解、感受。 让学生根据问题中的已知条件，结合观察图形，看其是否符合相应判定定理的条件，发现结论，再说明理由。培养学生学会分析和使用图形中的比例线段能力。 思考 我们学过哪些判定三角形相似的方法? (1)方法1:定义法(不常用) ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且 ∴△ABC∽△A′B′C′。 几何语言： (2)方法2:平行线法 ∵ DE∥BC ∴△ABC∽△ADE。 A B C E D 知识回顾 A B C A' B' C' (3)方法3:两角法 几何语言： ∵∠A'=∠A,∠B'=∠B, ∴ △ABC∽△A'B'C'。 (4)方法4:两边夹角法 几何语言： ∵∠A'=∠A, = ,∴ △ABC∽△A'B'C'。 知识回顾 前面学习两个三角形相似时，类比两个三角形全等的判定方法(ASA、AAS、SAS)得到了判定两个三角形相似方法“两角分别相等的两个三角形相似”；“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 类比“三边分别相等的两个三角形全等”,把“三边分别相等”改成“三边成比例”这两个三角形相似吗? “三边成比例的两个三角形相似”是真命题。 你能证明吗？ 新知导入 A B C A' B' C' 如图,已知△ABC,作△A'B'C', 若 = = . 求证：△A'B'C'∽△ABC。 通过定理1，定理2的证明你有什么想法？ 在△ABC 内构造△ADE, 使它与△A'B'C'全等,再证明 △A'B'C'与△ABC 相似。 A B C A' B' C' 证明:如图,在AB上截取AD=A'B'。过点D作DE∥BC,交AC 于点E E D 则 = = ∵AD=A'B'且 = = ∴ =， =， = ∴AE=A'C',DE=B'C'。 ∴△ADE≌△A'B'C'。 ∴∠A'=∠A。 选择定理1，定理2的哪个为证明依据呢？ ∴△A'B'C'∽△ABC。 A B C A' B' C' 上述证明 若 = = ，则△A'B'C'∽△ABC。 你能总结出判断两个三角形相似方法吗？ 如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 A B C A' B' C' 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言： ∵ = =, ∴ △ABC∽△A'B'C'。 提示：本定理适用与“已知两个三角形的三边长或三边之间的关系”，判定两个三角形相似.用这种方法判定两个三角形相似时，一定要注意边之间的对应关系，主要是“长”对“长”，“短”对“短”，“中”对“中”。 例1、在△ABC和△DEF 中,AB=15,BC=12,AC=24，DE=2.5, DF=2,EF=4。 △ABC与△DEF 相似吗? 为什么? 解析：本题“已知两个三角形的三边长”，宜采用 判定定理3证明两个三角形相似。为方便找对应边可 以先将三边按大小顺序排列,再计算它们对应边的比， 最后由比值是否相等判断两个三角形是否相似。 典例讲解 解：∵AB=15,BC=12,AC=24，DE=2.5,DF=2,EF=4。 ∴ ==6， ==6， ==6. ∴ = = ∴△ABC∽△DEF。 典例讲解 1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C是否相似，并说明理由: AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm. A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'=21cm. 解：∵AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm.A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'=21cm. ∴ = = 3， = = 3， = = ≠ ∴△ABC与△A'B'C不相似 跟踪练习 归一归 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应. 例2、如图,在△ABC与△ADE中, = = , ∠BAD=64°。求∠CAE 的度数。 解析：本题“已知两个三角形的三边长成比例”，宜采用判定定理3证明两个三角形相似，得对应角相等。利用等式的性质得出∠CAE=∠BAD=64° 典例讲解 解：∵ = = , ∴△ABC∽△ADE。 ∴∠BAC=∠DAE。 ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE。 ∵∠BAD=64°, ∴∠CAE=64° 典例讲解 2.如图，在8×8的小正方形组成的网格中，每个小正方 形的边长为1，△ABC与△DEF的顶点均在格点上， 求证:△ABC∽△DEF. 跟踪练习 解析：格点三角形的三边长可以利用勾股定理计算出来，然后得出各对应边的比，再判定是否成比例。 证明：∵AB==； AC==2 BC=； DE==2； DF==4; EF==2. = = , = = . ∴ = = ∴△ABC∽△DEF. 跟踪练习 ∴ = = , 例3、如图所示，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA,OB,OC上取一点A',B',C'，使得 = = ， 所得△A'B'C'与△ABC是否相似?证明你得结论。 证明：∵ = ,∠AOB=∠AOB ∴△OAB∽△OA'B' = 同理可证△OAC∽△OA'C' △OBC∽△OB'C' 拓展与延申 = = == , ∴△ABC∽△A'B'C。 拓展与延申 3.如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA， OB，OC的中点.求证:△DEF∽△ABC. 证明：∵点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点. ∴DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC。 ∴DE =AB,EF =BC,DF=AC, ∴ = = ∴△ABC∽△DEF. 跟踪练习 例4、如图,在△ABC中,D是AB边上一点,连接CD。只添加一个条件,使△ACD∽△ABC。请写出两种不同的添加方式,并说明理由。 解析：在△ACD与△ABC中有公共角，再加一个条件使两个三角形相似， 探索与创新 解： ①添加∠ACD=∠B; ②添加∠ADC=∠ACB; ③添加 = . ∵∠A=∠A,∠ACD=∠B. ∴△ADC∽△ACB。 ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB. ∴△ADC∽△ACB。 ∴△ADC∽△ACB。 ∵∠A=∠A, = . 探索与创新 当堂检测 1．已知△ABC的三边长分别是2,5,6,△DEF的三边长如以 下四个选项所列，若要使△ABC∽△DEF，则△DEF的 三边长分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， B 2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 当堂检测 △AEF∽△CDF; △AEF∽△ADB; △CDF∽△CEB; △ABD∽△CFD; △AEF∽△CEB. 解：图中有5对相似三角形。 课堂小结 相似三角形的判定定理 3 三边成比例的两个三角形相似。 A B C A' B' C' 几何语言： ∵ = =, ∴ △ABC∽△A'B'C'。 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $