2.2 相似三角形的判定（第3课时相似三角形的判定定理2）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理2，通过知识回顾（平行线分线段成比例、判定定理1）类比全等三角形SAS，引导学生从已知探索未知，构建“旧知—类比—新知”的学习支架，明确定理“两边成比例且夹角相等”的探究方向。 其亮点在于以定理证明培养演绎推理，通过画图、已知求证、逻辑推导深化推理意识，典例（如计算边长比例、直角三角形应用）强化几何直观，拓展题（动点、截线问题）激发创新意识。课堂小结系统梳理定理，学生提升推理与应用能力，教师可借分层练习高效教学。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.2相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理2 学 习 目 标 1 2 3 探索两个三角形相似的判定定理2，了解相似三角形判定定理2的证明过程。 通过画图、观察、验证、猜测，并探索证明相似三角形判定定理2的过程，并能解决相关问题。 进一步感受几何研究的方法，体会几何证明的威力，发展合情推理和演绎推理能力。 A B C E D 知识回顾 1.基本事实9：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。 2.推论 平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比。 几何语言： ∵ DE∥BC ∴ = = 这是证明三角形相似的依据。 3.相似三角形的判定定理1： 两角分别相等的两个三角形相似。 A B C A' B' C' 几何语言： ∵∠A'=∠A,∠B'=∠B, ∴ △ABC∽△A'B'C'。 知识回顾 除了定义法与定理1还有其他方法吗？ 我们继续研究判定“两个三角形相似”的方法。 新知导入 (1) 我们知道，“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”。如果把其中“边相等”的条件改为“两个三角形的两边成比例夹角相等的两个三角形相似”，是真命题吗? “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是真命题。 你能证明吗？命题证明的一般步骤是什么？ 命题证明的步骤是 1.画图；2.写出已知与求证；3.写出证明过程。 如图,已知△ABC,作△A'B'C', 使∠A'= ∠A,=. 求证：△A'B'C'与△ABC相似。 A B C A' B' C' 类比定理1的证明思路。 在△ABC 内构造△ADE,使它与△A'B'C' 全等,怎么构造出△ADE？ A B C A' B' C' 证明:如图,在△ABC的边AB上截取AD=A'B',过点D作 DE∥BC交AC于点E, E D ∵AD=A'B', = 。② ∴△ADE≌△A'B'C'(SAS)。 ∴A'C'=AE ∵∠A=∠A', ∴ = 。 则∠ADE=∠B, =。① 观察①②比例式的左边你有什么发现？ ∴∠ADE=∠B' ∴∠B=∠B' ∵∠A=∠A', A B C A' B' C' E D ∴△ABC∽△A'B'C'。 上述证明了若∠A'= ∠A, =.则△A'B'C'与△ABC相似 你能总结出判断两个三角形相似方法吗？ A B C A' B' C' 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 A B C A' B' C' 几何语言： ∵∠A'=∠A, = , ∴ △ABC∽△A'B'C'。 提示：本定理适合：当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时，宜采用本定理判定两三角形相似。运用该定理时，可类比三角形全等的判定定理“SAS”，全等的条件是夹等角的两边对应相等，而相似的条件是夹等角的两边对应成比例。 归一归 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 =，∠C=∠C′。 这两个三角形一定会相似吗？ 不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似. A C B B′ B″ C′ A′ 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 归一归 例1、如图,在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的两点, AD=3,AE=4,BD=5,CE=2。△AED 与△ABC 相似 吗? 请说明理由。 解析：要判定两个三角形相似，由已知的边长，经过计算，看两组边是否成比例，再考察它们的夹角是否相等，如果两个条件都满足，就可根据判定定理2，判定这两个三角形相似了。 典例讲解 解:△AED∽△ABC。理由如下: ∵AD=3,AE=4,BD=5,CE=2, ∴AB=8,AC=6。 ∴==, ==。 ∴ = 。 ∵∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC。 1.在△ABC和△DEF中,∠A=32°,AB=7,AC=9,∠D =32°, DE=21,DF=27。△ABC与△DEF相似吗? 为什么? A B C D E F 解:△ABC∽△DEF。理由如下: ∵∠A=32°,∠D=32°, ∴∠A=∠D, ∵AB=7,AC=9,DE=21,DF=27, ∴==, ==。 ∴=。 ∴△ABC∽△DEF。 跟踪练习 例2、如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2。以AC 为边作等腰直角三角形 ACE,∠ACE=90°。延长BC至D,使CD=5,连接DE。△ABC与△CED 相似吗? 请说明理由 A B C D E 1 3 2 解：∵∠B=90°，∠ACE=90° ∴∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90° ∴∠2=∠3, ∵AB=4,BC=2. ∴AC= ==2 典例讲解 A B C D E 1 3 2 ∵CD=5. ∴==, =。 ∴= 。 ∴△ABC∽△CED。 典例讲解 2.如图,四边形ABCD,四边形CDEF,四边形EFGH 是三个相连的正方形,连接 AC,AF,AG。∠FAC 与∠AGC 相等吗? 请说明理由. 解析：想证明∠FAC 与∠AGC相等，找到它们所在的三角形是否是相似？解题时要找准对应边. 跟踪练习 ∴AC==, 解：∠FAC =∠AGC ∴==, ==。 ∴= 。 ∵∠ACF=∠GCA, ∴△ACF∽△GCA。 ∴∠FAC 与∠AGC ∵∠B=90°， 跟踪练习 例3、如图所示，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点， 且BP=3PC,Q是CD的中点.求证: (1)△ADQ∽△QCP;(2)AQ⊥QP. A B C D Q P 解析：要证的两个相似三角形是直角三角形，不要忽略直角相等。直角的两边虽都不知道长度，但都和正方形的边长有关，所以可以设正方形的边长为a,这样可以把若干线段的长度用同一线段来表示，是求线段的比的常用方法，解决此类问题的关键是要找出对应线段的比相等. 拓展与延申 A B C D Q P 证明:(1)设正方形的边长为a. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=BC=CD=a，∠C=∠D=90° ∵Q是CD的中点，BP=3PC . ∴DQ=QC=a.PC=a. ∴==2, ==2。 ∴ = 。 ∴△ADQ∽△QCP 拓展与延申 A B C D Q P (2)∵△ADQ∽△QCP ∴∠2=∠3=90° 1 3 2 ∵∠D=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠1+∠3=90° ∴AQ⊥QP 拓展与延申 例4、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时△QBP与△ABC相似． 解：设经过t秒时， 则AP=2tcm,BP=(8-2t)cm,BQ=4tcm. 拓展与延申 ∵∠PBQ=∠ABC, ∴当=时， 即=， 解得：t=2 当=时，△BPQ∽△BCA； 即=， 解得：t=0.8 综上所述：经过0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似。 拓展与延申 △QBP∽△ABC； 例5、点是△ABC(∠C >∠B)AB边上异于A,B的一点，过点D作一条直线，使截得的小三角形与△ABC相似，满足这样的直线有几条？画出图形，并说明理由。 A D C B ● 解析：过点D做直线要截出来的三角形与原三角形，由两种方法，一种是做平行线法，一种做角法。 探索与创新 解：这样的直线有四条. A D C B ● A D C B ● ①作DE∥AC或DE∥BC， ∵∠A=∠A ∠AED=∠C E E ∵∠B=∠B ∠BED=∠C ∴△BDE∽△BAC； ∴△ADE∽△ABC； 探索与创新 解：这样的直线有四条. A D C B ● A D C B ● ②作∠BDE=∠C或∠ADE=∠C， ∵∠A=∠A ∠ADE=∠C E E ∵∠B=∠B ∠BDE=∠C ∴△BDE∽△BCA； ∴△ADE∽△ACB； 探索与创新 1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判△ABP∽△ACB， 添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C． D. D 当堂检测 2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　） 【详解】 解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，． A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． B 当堂检测 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 A B C A' B' C' 几何语言： ∵∠A'=∠A, = , ∴ △ABC∽△A'B'C'。 课堂小结 1.相似三角形的判定定理2 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $