专题05 一元二次方程根与系数的关系（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

专题05 一元二次方程根与系数的关系 1.知识与技能：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一 元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差. 2.过程与方法：通过根与系数关系的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神. 3.情感态度与价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心. 4.重点：一元二次方程根与系数的关系. 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述. 一元二次方程根与系数关系 方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：，. 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 注意点：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写.（4）注意使用前提为a≠0,△≥0 题型01 利用根与系数的关系直接求方程的根 【典例】若关于的方程的两根之和与两根之积相等，则方程的根为________． 【变式】若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________． 题型02 利用根与系数的关系直接求代数式的值 【典例】已知是关于的方程的根，则代数式的值为（    ） A．4040 B．4041 C．2022 D．2023 【变式】设是一元二次方程的两个根，则______． 题型03 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值 【典例】已知a，b是一元二次方程的两根，则代数式的值为____________． 【变式】已知是方程的两个实数根，则的值是______． 题型04 利用根与系数的关系降次求代数式的值 【典例】已知关于x的的两根为，，则的值为（    ）． A．－8 B．－7 C．－14 D．－2 【变式】已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 题型05 利用一元二次方程两根求代数式的值 【典例】若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值为_______，方程的根为_______． 【变式】在解方程时，甲同学看错了，解得方程的根为，；乙同学看错了，解得方程的根为，，则方程中的________，________． 题型06 利用根与系数的关系构造一元二次方程求代数式的值 【典例】若两个不同的实数m、n满足，，则______． 【变式】已知实数、满足，，且，则的值是___________． 题型07 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根 【典例】若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 【变式】已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值为（    ） A．3或 B．或29 C．3或 D．3或29 题型08 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用 【典例】菱形的边长为5，两条对角线、相交于点，且，的长分别是关于的方程的两根，求的值． 【变式】已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是_____． 题型09 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围 【典例】已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 _____． 【变式】若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型10 一元二次方程新定义问题 【典例】定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【变式】新定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)方程是否为“差1方程”？答：___________（填“是”或“不是”） (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求出的最大值． 【巩固训练】 1．若、是方程的两个根，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是（    ） A．2 B．3 C． D． 3．设，是的两个实数根，则的值是__________． 4．已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D．方程的根有可能为0 5．已知实数分别满足和，那么的值是____________． 6．若，，且，则的值是______． 7．设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为__________． 8．已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 9．已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 10．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明由： ①； ②； (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数）是“差1方程”，设，若的值为9，求此时和的值． 【强化训练】 1．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 2．若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（  ） A．8 B．16 C． 32 D．16或40 4．实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝___． 5．已知关于的一元二次方程，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_________． 6．有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 7．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 8．已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值. 9．已知关于的一元二次方程． (1)试证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若原方程的两根，满足，求值． 10．（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程根与系数的关系 1.知识与技能：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一 元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差. 2.过程与方法：通过根与系数关系的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神. 3.情感态度与价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心. 4.重点：一元二次方程根与系数的关系. 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述. 一元二次方程根与系数关系 方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：，. 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 注意点：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写.（4）注意使用前提为a≠0,△≥0 题型01 利用根与系数的关系直接求方程的根 【典例】若关于的方程的两根之和与两根之积相等，则方程的根为________． 【答案】 ， 【分析】将已知方程化简成一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，列出关于m的方程，解出方程，求出m的值，再将m代入原来方程，解出方程． 【详解】解：将已知方程化简可得：3x2＋（9－7m）x＋6m＝0， 根据一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝2m， 根据已知条件可得∶＝2m， 解出：m＝9， 将m＝9代入化简后的方程可得：x2－18x＋18＝0， 化成完全平方得：（x－9）2＝63， 解得x＝9±． 故答案为∶ ，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与一元二次系数的关系，解此题的关键是掌握一元二次方程的根与一元二次系数的关系． 【变式】若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程两根分别是，，再解题即可． 【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为t， 则 ， 解得， 故答案为 题型02 利用根与系数的关系直接求代数式的值 【典例】已知是关于的方程的根，则代数式的值为（    ） A．4040 B．4041 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握韦达定理是解题的关键．把代入可得：，利用韦达定理得到，代入代数式运算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， 故选：B． 【变式】设是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】2023 【分析】根据方程解的定义、根与系数关系，得，，对待求解代数式变形，用已知的代数式表示求解． 【详解】解：由题意，得， ∴． ∴． 故答案为：2023 【点睛】本题考查方程解的定义，一元二次方程根与系数关系；掌握根与系数关系是解题的关键． 题型03 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值 【典例】已知a，b是一元二次方程的两根，则代数式的值为____________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系、求代数式的值等知识．根据一元二次方程根的定义得到，根据一元二次方程根与系数关系得到，利用整体代入即可求出代数式的值． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，且， ∴． ． 故答案为：1 【变式】已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 将代入方程，得， 即， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 题型04 利用根与系数的关系降次求代数式的值 【典例】已知关于x的的两根为，，则的值为（    ）． A．－8 B．－7 C．－14 D．－2 【答案】C 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握根与系数的关系求是解题的关键． 先根据根与系数的关系求得a、b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 故选C． 【变式】已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 题型05 利用一元二次方程两根求代数式的值 【典例】若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值为_______，方程的根为_______． 【答案】 【分析】若一元二次方程的两个根为，则． 【详解】解：整理方程得： 由题意得： ∴ 故两个根为： 故答案为：； 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键． 【变式】在解方程时，甲同学看错了，解得方程的根为，；乙同学看错了，解得方程的根为，，则方程中的________，________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．根据题意可知，由两根之积等于常数项可求得q值，由两根之和等于一次项系数的相反数可求得p的值． 【详解】解：∵解方程时，甲同学看错了，解得方程的根为，， ∴， ∵乙同学看错了，解得方程的根为，， ∴，即， 故答案为：；． 题型06 利用根与系数的关系构造一元二次方程求代数式的值 【典例】若两个不同的实数m、n满足，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键． 【详解】解：由题可得：，， ∴m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式】已知实数、满足，，且，则的值是___________． 【答案】 【分析】由题意可知实数、关于x的方程的两个不相等的实数根，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵实数、满足，，且， ∴实数、关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确得到是解题的关键． 题型07 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根 【典例】若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程 的另一个根，设，根据方程 的根代入求值即可得到答案； 【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为m，设方程另一根为n， ∴， 解得：， 设，方程变形为， 由一元二次方程 的根可得， ，， ∴，， ∴，， 故答案为：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解． 【变式】已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值为（    ） A．3或 B．或29 C．3或 D．3或29 【答案】B 【分析】设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根，利用根与系数的关系均得到与的关系，进而消去，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到，，的值，相加即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 方程有整数根， 设其中，为整数，且， 则方程的两根为，， ，， 两式相加，得， 即， 或， 解得或， 又，，， 或，，， ，，或者，，， 或， 故或29， 故选：B． 【点睛】主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键，消去后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点． 题型08 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用 【典例】菱形的边长为5，两条对角线、相交于点，且，的长分别是关于的方程的两根，求的值． 【答案】． 【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=−(2m−1)，AO∙BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，即可求得m的值． 【详解】解：∵，的长分别是关于的方程的两根， 设方程的两根为和，可令，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中：由勾股定理得：， ∴，则， 由根与系数的关系得：，， ∴， 整理得：， 解得：， 又∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【变式】已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是_____． 【答案】1<c<5　 【详解】∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴x1+x2=5，x1x2=6 ∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1 ∴x1﹣x2=1，又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，∴1＜c＜5． 故答案为1＜c＜5． 题型09 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围 【典例】已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根和系数的关系可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【变式】若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于的方程的解中，仅有一个正数解， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到． 题型10 一元二次方程新定义问题 【典例】定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； （2）解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； （3）解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式】新定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)方程是否为“差1方程”？答：___________（填“是”或“不是”） (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求出的最大值． 【答案】(1) 不是 (2) 或 (3) 9 【分析】本题考查一元二次方程的解法和“差1方程”的定义，解决本题的关键是熟练掌握新定义以及一元二次方程的解法． （1）通过解方程判断两根差是否为1； （2）先解方程得到根，再根据两根差为1求m的值； （3）利用求根公式表示两根差，结合定义得到与a的关系，代入t表达式后求最大值即可． 【详解】（1）解：解方程， 因式分解得，， 解得或， ∵， ∴ 不是“差1方程”； 故答案为：不是； （2）解：解方程， 因式分解得，， 解得或， ∵方程是“差1方程”， ∴， 即， 则有或， 解得或； （3）解：方程（）是“差1方程”， 两根差为， 则， ∵，则， 则， ∴，即， ∴， ∴当时，t最大值为9． 【巩固训练】 1．若、是方程的两个根，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识点，掌握、是一元二次方程的两个根，则，成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得、，再根据完全平方公式可得，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴、， ∴． 故选∶C． 2．已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】把代入计算的n，运用根与系数关系定理计算另一个根． 【详解】设方程的另一个根为， 把代入，得， 解得， ∴变形为， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，根与系数关系定理，熟练掌握方程的根，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键． 3．设，是的两个实数根，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．利用整体代入法是本题的关键． 【详解】解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D．方程的根有可能为0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意． 【详解】解：A、根据根与系数的关系可得出，结论A正确，不符合题意； B、根据根与系数的关系可得出，结论B不一定正确，符合题意； C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论C正确，不符合题意； D、由，故方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键. 5．已知实数分别满足和，那么的值是____________． 【答案】2或16 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当时，；当时， a和b是方程的两个根，再由根与系数的关系求出和，再将变形为，即可求解． 【详解】解：分两种情况： 当时，； 当时， ， ， ， 又 ， ， a和b是方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或16． 6．若，，且，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意可以得到和b是方程的两根，然后解方程即可． 【详解】解：由题意得： ，， ∴和b是方程的两根， 解得： ∴ 故答案为：． 7．设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得，代入可得，同理可得，两式相减即可得的值，进而可得的值． 【详解】解：由根与系数的关系得，，两式相加得．     因为是方程的根，所以，又， 所以①             同理可得②             ①-②得． 因为，所以，所以． 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键． 8．已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：的两根满足． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，对展开式进行代入计算即可． （2）先将根代入原方程，得到，移项后得，再代入，最后利用两根之和再代入即可求得结果． 【详解】（1）解：根据题意，得， ． ； （2）∵，是一元二次方程的两实数根， ∴， ∴． ∴     1 ． 9．已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； （2）和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 10．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明由： ①； ②； (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数）是“差1方程”，设，若的值为9，求此时和的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程”；理由见解析 (2)或 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． （1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为 1 ，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为 1 ，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【详解】（1）解：①解方程， ∴， ∴或， 解得：或 6 ， ， 不是“差1方程”； ②解方程， ∴， ， ， 是“差1方程”． （2）解：解方程（是常数）得：， ∴或， ∵方程是常数）是“差1方程”， 或， ∴或； （3）解：由题可得：， 解方程得， ∵关于的方程是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， 解得：， ． 【强化训练】 1．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 【答案】D 【分析】设方程的两根为，方程的两根为．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出，，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出，利用不等式的性质以及完全平方公式得出，即可判断B与D． 【详解】解：方程的两根为，方程的两根为． 根据题意，得，， 故A与C都错误，不符合题意； 由方程有两个实数根，由根的判别式得出， ∴， ∴， ∴， 故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，不等式的性质，完全平方公式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键． 2．若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式及两根之积为负数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数， ∴ 解得：， ∴实数m的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于”是解题的关键． 3．关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（  ） A．8 B．16 C． 32 D．16或40 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得或，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可． 【详解】解：一元二次方程 或 当时， 原一元二次方程为 ， ， 当时，原一元二次方程为 原方程无解，不符合题意，舍去， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝___． 【答案】 【分析】将变形为，因为且 xy≠1，则实数、可看作是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系得到，，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， 即， 实数、可看作方程的两实数根， ，， 原式 ． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的变形应用以及根与系数的关系．根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 5．已知关于的一元二次方程，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_________． 【答案】①③④ 【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵一元二次方程， ∴； ∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确； 当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误； 抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确； 由，则，解得：或；故④正确； ∴正确的结论有①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题． 6．有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 7．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】 （1）证明：∵ ， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）0，-2 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案. 【详解】(1)略 (2)由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得，． 【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题. 8．已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值. 【答案】（1）；（2）1. 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可； （2）将m=2代入原方程可得：x2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论． 【详解】（1）△= ∵原方程有实根，∴△= 解得 （2）当m=2时，方程为x2+3x+1=0， ∴x1+x2=-3，x1x2=1， ∵方程的根为x1，x2， ∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0， ∴（x12+2x1）（x22+4x2+2） =（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2） =（-1-x1）（-1+x2+2） =（-1-x1）（x2+1） =-x2-x1x2-1-x1 =-x2-x1-2 =3-2 =1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 9．已知关于的一元二次方程． (1)试证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若原方程的两根，满足，求值． 【答案】(1)证明过程见解答 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解本题的关键． （1）方程整理为一般形式，表示出一元二次方程根的判别式，利用非负数的性质判断，即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）证明：方程整理得：， ， ， 所以该方程总有两个实数根； （2）解：由根与系数的关系得：， 已知等式整理得：， 代入得：， 解得：． 10．（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可； （2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即． 【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根， ∴，， ∴， 整理，得：， 解得：，． 当时，， ∴此时原方程没有实数根， ∴不符合题意； 当时，， ∴此时原方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意， ∴的值为1； （2）①∵， ∴． ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，； ②猜想：． 证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①， 同理可得：②， 由①+②，得：， ∵，，， ∴，即． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $