专题04 根的判别式（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

专题04 根的判别式 1.熟练运用根的判别式判别方程解的情况 2.综合运用根的判别式解决几何图形相关问题 一、根的判别式 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 归纳 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. Δ＞0 方程有两个不等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 注意点：1.用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式. 2.运用根的判别式要注意判别二次项系数不为0 题型01判别不含参数的一元二次方程根的情况 【典例】下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式】方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 题型02 判别含参数的一元二次方程根的情况 【典例】有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于的方程的根的情况说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式】已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 题型03 由一元二次方程根的情况确定字母的值或取值范围 【典例】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式】若方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 题型04证明一元二次方程根的情况 【典例】已知关于的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求的值和它的另一根； （2）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式】关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 题型05由根的判别式求值的取值范围 【典例】已知实数满足，设，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为______． 题型06 根的判别式与三角形的综合运用 【典例】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值． 【变式】关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（    ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 题型07 根的判别式与四边形的综合运用 【典例】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，该方程的两个根分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的面积． 【变式】已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为1，求的值； (2)当为何值时，是矩形． 题型08 根的判别式与方程、不等式、函数的综合运用 【典例】若整数使得关于的一元二次方程有两个实数根，并且使得关于的分式 方程有整数解，则符合条件的整数的个数为（  ） A． B． C． D． 【变式】一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型09 根的判别式与一元二次方程新定义问题 【典例】新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【变式】对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 题型10 根的判别式与一元二次方程多结论问题 【典例】已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【变式】关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则关于x的方程必有一个根为； ②当时，则关于x的方程必有实数根； ③若，则方程一定有两个不相等的实数根； ④若和有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中正确的是______________（填序号） 【巩固训练】 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 6．设一元二次方程．在下面的三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，；②，；③，． 7．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的积为12，求的值． 8．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1和x2若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值． 10．已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程的两个实数根． （1）求m的值； （2）求正方形的面积． 【强化训练】 1．已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 2．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的一元二次方程，并且该方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 4．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程组对每一个实数都有实数解，那么正整数的值为____________． 7．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 8．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 9．已知分式． (1)化简分式； (2)若关于的方程有两个实数根，且为正整数，求分式的值． 10．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 根的判别式 1.熟练运用根的判别式判别方程解的情况 2.综合运用根的判别式解决几何图形相关问题 一、根的判别式 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 归纳 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. Δ＞0 方程有两个不等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 注意点：1.用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式. 2.运用根的判别式要注意判别二次项系数不为0 题型01判别不含参数的一元二次方程根的情况 【典例】下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】先计算出∆＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2），然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：2x2﹣5x﹣2＝0， 因为Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】此题考查利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，正确掌握计算公式及一元二次方程的根的三种情况是解题的关键． 【变式】方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C 题型02 判别含参数的一元二次方程根的情况 【典例】有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于的方程的根的情况说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，观察数轴可知：，，，则，即可求解． 【详解】解： ∵在方程中，， 观察数轴可知：，，． ∴ ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式】已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． （）把，代入方程可求出的值，利用根和系数的关系可求出方程的另一个根； （）求出的值即可判断求解； 【详解】（1）解：把，代入方程，得， 解得， 设方程的另一个根为， 由根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 题型03 由一元二次方程根的情况确定字母的值或取值范围 【典例】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式． 一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且． 其中， ∴， 解得． 又∵， ∴且． 故选：C． 【变式】若方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即，代入数值计算求解即可． 【详解】解：∵该方程有两个相等实根， ∴， 解得； 故答案为：C． 题型04证明一元二次方程根的情况 【典例】已知关于的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求的值和它的另一根； （2）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），另一个根是；（2）见解析 【分析】（1）根据一元二次方程解的意义，将代入原方程即可求得的值，设另一根为，根据根与系数的关系可得，进而求得另一根； （2）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入 得，解得： 设另一根为，则，即 另一个根是． （2）解：依题得 不论取何值， 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根)的意义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 【变式】关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，分类讨论思想是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据求根公式得到，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 题型05由根的判别式求值的取值范围 【典例】已知实数满足，设，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由原式得，．将看成关于的一元二次方程，根据方程有实数解，所以，可得，进而得出结论． 【详解】解：将两个等式相加得：，则． 要求的最大值，只需求出的最大值． 将看成关于的一元二次方程，整理得：． 根据方程有实数解，所以． 可得，即的最大值为4． 所以当时，的最大值为5． 故选：C 【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键． 【变式】已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质．由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入代数式，进而即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 设此方程的一个实数根为， ， ， ， ，即． 故答案为：． 题型06 根的判别式与三角形的综合运用 【典例】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先计算出的值，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用因式分解法求出方程的解，再分类讨论当或时为等腰三角形，然后求出m的值． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵ ∴， ∴，， 不妨设，， 当时，为等腰三角形，则，解得， 此时， 由于，这不能围成三角形，则不符合题意； 当时，为等腰三角形，则，解得， 此时，， 由于，这能围成三角形，符合题意； ∴当是等腰三角形时，． 【变式】关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（    ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型07 根的判别式与四边形的综合运用 【典例】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，该方程的两个根分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的面积． 【答案】(1) 证明：， ， 无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明； （2）求出一元二次方程的两个根，根据菱形的面积公式进行解答即可； 此题考查菱形的性质、一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）当时，原方程为， ， ， ∴， ∴     【变式】已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为1，求的值； (2)当为何值时，是矩形． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定． （1）将代入方程，求出的值即可； （2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根， ∴当的长为1时，， 解得：； （2）∵的两对角线，， ∴当时，是矩形， 方程有两个相等的实数根， ， 解得，即的值为1． 题型08 根的判别式与方程、不等式、函数的综合运用 【典例】若整数使得关于的一元二次方程有两个实数根，并且使得关于的分式 方程有整数解，则符合条件的整数的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于关于x的一元二次方程有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=（）2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a为：-1，0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=，而y≠3，则≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a的个数． 【详解】解：∵整数a使得关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴a-2≠0且2a+3≥0且△=（）2-4（a-2）≥0， ∴且a≠2， ∴整数a为：-1，0，1，3，4，5； 去分母得3-ay+3-y=-2y， 解得y=， 而y≠3，则≠3，解得a≠3， 当a=-1，0，4时，分式方程有整数解， ∴符合条件的所有a的个数是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【变式】一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：由根与系数的关系可知：，， ∴ ∴一次函数解析式为：， 故一次函数的图象一定不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质． 题型09 根的判别式与一元二次方程新定义问题 【典例】新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解． 【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为 ∵， ∴有两个不相等实数根，故该选项符合题意； D.当“共同体数”为时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式】对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】/ 【分析】先根据新运算规则将转化为一元二次方程，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围．本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程中与根的关系是解题的关键． 【详解】解：根据新运算，对于，有： 整理为 因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式 即 解得 题型10 根的判别式与一元二次方程多结论问题 【典例】已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的定义求出，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论． 【详解】解：∵是关于x的方程的实数根， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴，即； ①， ∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确； ②∵， ∴当时，一定有，故②说法错误； ③∵是关于x的方程的实数根．且， ∴也是关于x的方程的实数根．故③说法正确； ④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误； 所以，正确的结论是①③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键． 【变式】关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则关于x的方程必有一个根为； ②当时，则关于x的方程必有实数根； ③若，则方程一定有两个不相等的实数根； ④若和有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中正确的是______________（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据时，得到即可判断①；根据当时，将 代入得出判别式的符号，即判断②；根据若，即可分类讨论得出，即可判断③；将和代入方程即可判断④． 【详解】①当时，则，关于x的方程必有一个根为；故此选项错误； ②当时，，∴关于x的方程必有实根；故此选项正确； ③当时，， 若，则，又，，此时方程一定有两个不等实根； 若，则，又，，，此时方程一定有两个不等实根； 若，则，此时方程一定有两个不等实根； 故此选项正确； ④当时，代入得，代入得， 当时，代入得，代入得， ∴和有一个相同的根，那么这个根可以是，也可以是．故此选项错误； 综上分析可得，正确的有：②③． 故答案为：②③． 【点睛】此题综合考查了根的判别式与一元二次方程，试题在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒等变形求解． 【巩固训练】 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根． 【详解】解：A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意； B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意； C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意； D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意． 故选：D． 2．关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根， ∴ ， 解得：且． 故选：D． 3．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 4．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 6．设一元二次方程．在下面的三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，；②，；③，． 【答案】选②，方程的解为，；选③，方程的解为， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握当方程有两个不相等的实数根时，判别式．先根据判别式得出可选择的组，然后解方程即可． 【详解】解：使这个方程有两个不相等的实数根， ，即 ②③均可， 当选②解方程时： ， ， 或， ，； 当选③解方程时： ， ， ， ， ，． 7．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的积为12，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）利用因式分解法可得，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得，计算即可求出m的值． 【详解】（1）证明：， ， 无论取何值时，，即， 原方程总有两个实数根； （2）解：，即：， ， 该方程的两个实数根的积为12 ， ， ， ． 8．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1和x2若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值． 【答案】（1）见详解；（2）k的值为或． 【分析】（1）先把方程变为一元二次方程一般式，然后确定，再计算即可； （2）将方程因式分解得，得出方程的解，然后分两种情况2k＜3与2k＞3，分别根据勾股定理建构方程求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0． ∴， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）将方程因式分解得， 解得， ∵以2k，1，3为三边长的三角形是直角三角形， ∴当2k＜3时，则，解得(舍去)； 当2k＞3时，则，解得(舍去)； 以1，2k，3为三边长的三角形是直角三角形，k的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理是解题关键． 10．已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程的两个实数根． （1）求m的值； （2）求正方形的面积． 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）先解一元二次方程可得，再利用正方形的面积公式即可得． 【详解】解：（1）在正方形中，， 由题意得：关于的方程的根的判别式等于0， 即， 解得， ， 舍去， 故的值为2； （2）由（1）得：方程为， 解得， ， 则正方形的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 【强化训练】 1．已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式组、不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用根的判别式判断方程根的情况是解题的关键． 先解不等式组得到解集，根据有且仅有4个整数解的条件，确定a的取值范围为；再计算一元二次方程的判别式，结合a的范围得出，从而判断方程无实数根． 【详解】解：不等式组 ， 由①得：， 由②得：， ∴该不等式组的解集为． ∵该不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为4，5，6，7， ∴． 对于方程 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程无实数根． 故选C． 2．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的一元二次方程，并且该方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】利用新定义得到，然后利用且可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得， 该方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根． ， 解得：， 该方程有实数根时，且 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 4．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可知☆， 整理得． ， 关于的方程☆（是任意实数）有两个不相等的实数根． 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 6．已知关于的方程组对每一个实数都有实数解，那么正整数的值为____________． 【答案】1，2 【分析】本题考查了整体思路解一元二次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想．先将二元二次方程组整理成一元二次方程，由于方程存在实根得到，，即可解答． 【详解】解：由题意可知，得， ， 即， ∵对每一个实数n都有实数解， ∴， 解得：， 其中m的正整数解为1，2． 故答案为：1，2． 7．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【详解】略 8．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 9．已知分式． (1)化简分式； (2)若关于的方程有两个实数根，且为正整数，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的运算法则即可求解； （2）根据一元二次方程有两个实数根可得的取值范围，由为正整数，可得的值，再根据分式有意义的条件确定，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∵要使分式有意义， ， ∴当时，原式． 10．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $