专题05 圆（解决问题专项训练）数学人教版六年级上册（新教材）

（新教材）人教版六年级数学上册解决问题专项训练 专题05：圆 考点01：圆的周长 1．我国神话传说中哪吒的“乾坤圈”可以任意地变大或缩小。如果哪吒把乾坤圈变为一个半径是18厘米的圆，那么这个圆的周长是多少厘米？ 2．一辆自行车轮胎的外直径是0.7米，每分钟转80圈。小明骑这辆自行车从家到学校需要5分钟，他从家到学校有多少米？ 3．欢欢家为了迎接新年，购置了一张崭新的圆形餐桌，寓意着团团圆圆。这张餐桌的半径是0.6米。她想给餐桌的边缘贴上一圈喜庆的装饰带，这圈装饰带至少需要多少米？（得数保留两位小数） 4．哥哥用一根铁丝围成一个半径是6厘米的圆（铁丝刚好用完），弟弟用同样长的铁丝围成一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米？ 5．一个半径为4分米的圆从左侧墙沿直线滚到右侧墙，滚动了3圈（如图）。左、右两侧墙之间的距离是多少分米？ 考点02：半圆的周长 6．张爷爷靠围墙建了一个“畜禽饲养舍”（如图），他用篱笆把“畜禽饲养舍”围成了一个半圆形，其直径为5米。他建这个“畜禽饲养舍”需要多长的篱笆？ 7．李奶奶用31.4米长的篱笆在房前的空地上围了一个圆形鸡舍（如图1），现在由于养鸡数量的增加，她利用一面墙和原来的篱笆将鸡舍改成了一个半圆形（如图2），改变后面积增加了吗？若增加，则增加了多少？ 8．一个鸡舍依墙而建，呈半圆形，半径是10米，修这个鸡舍需要多长的栅栏？ 9．山里养殖户王大叔利用山体当天然屏障，打算依山搭建一个半圆形鸡舍，已知鸡舍的直径规划为8米，搭建这个鸡舍至少需要准备多长的篱笆？ 10．张大爷用竹篱笆靠墙围了一个半圆形的小花园，篱笆的长度约为6.28m，你知道围在花园里的墙的长度约是多少m吗？ 考点03：含圆的组合图形的周长 11．篮球场的三分线由一段圆弧和两条线段组成（如下图）。三分线长多少米？（π取3） 12．将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 13．有一根绳子将两个相同的瓶子捆在一起（如下图），瓶子的底面半径是5厘米，正好捆了两圈，这根绳子长多少厘米？ 14．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人以其外观较小，强大的自主感知、规划能力，已经成为新时代人们日常生活的重要助手，受到越来越多的消费者的青睐。如图，一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米。请你计算扫地机器人的底面圆心走过的路线长是多少分米？ 15．有一种公交车站牌（如下图），制作这种站牌的外围用的是钢管。制作这样一个站牌的外围需要多长的钢管？ 考点04：圆的面积 16．文体中心有一个圆形表演台，周长是43.96m。现在把舞台的半径增加1m，现在表演台的面积是多少平方米？ 17．庭院里种了一棵苹果树，奇奇用软尺绕树一周测得苹果树的横截面的周长是25.12厘米，请你计算出这棵苹果树横截面的面积。 18．给下面的水缸加一个圆形木盖，已知缸口内直径为72厘米，木盖的直径要比缸口内直径长8厘米。木盖的面积是多少平方厘米？ 19．公园里有一块圆形草坪，周长是50.24m。工作人员要在草坪的正中心安装一个自动喷水装置，现有射程8m和射程10m的两种喷水装置。 （1）请你帮忙算一算，选哪种喷水装置更合适？ （2）这块圆形草坪的面积是多少平方米？ 20．六·一儿童节当日，为了更好展示儿童玩具，金鹰商场用盆花围成一个周长大约62.8米的圆形活动场地，你知道这个圆形场地的面积大约是多少平方米？ 考点05：圆环的面积 21．某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 22．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 （1）如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ （2）在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 23．如图，爸爸买了一个周长为6.908米的圆桌，圆桌正中间还摆放着一个直径1.8米的圆形玻璃转盘。 （1）圆桌边缘与玻璃转盘边缘的最近距离是多少米？ （2）圆桌上没有被玻璃转盘覆盖的面积是多少平方米？ 24．郑州市潮河上的桥，是国内首座跨径最大的圆环形独塔双索面斜拉桥，因中间为一个大大的圆环，而被人们称为“戒指桥”。圆环的外圆半径是28米，内圆半径是24米。 （1）沿这座桥的内圆铺设一圈彩灯，至少需要多少米的灯带？（接头处忽略不计） （2）如果只看这个完整的圆环，圆环正面的面积是多少平方米？ 25．安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 考点06：求最大面积 26．下面是一个长6厘米、宽4厘米的长方形，请你在这个长方形内画一个最大的圆，再计算它的面积。（要求留下找圆心的痕迹） 27．如图，在墙边点A处拴着一只小狗，绳子的长度是5米。如果绳子长度增加1米，小狗的最大活动范围增加多少平方米？（绳扣部分长度不计） 28．小明要用一根长是62.8厘米的铁丝围成一个平面图形，这个图形的面积最大是多少平方厘米？ 29．用一根绳子把一只羊拴在一棵树上，拴上羊后，两个结扣之间的绳长为3米，羊可以吃到草的最大面积是多少平方米？ 30．如图，把小羊A和小羊B拴在围墙边上（两面墙均形成直角），绳长都是8米。哪只小羊吃到的草的面积大？大多少平方米？ 考点07：方中圆和圆中方的面积问题 31．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 32．我国古代建筑与现代装饰常采用“外方内圆再嵌方”的几何结构（如图）：一款边长4dm的正方形装饰画框，框内画最大圆形底色，圆内再画最大正方形图案。求圆的面积是多少？圆内正方形的面积是多少？ 33．2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 34．奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 35．为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 考点08：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 36．如图是由两个相同的半圆叠拼成的。三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝8cm，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3） 37．施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 38．在南城门古建筑修复过程中，工人师傅为了得到（下图阴影部分）木板图案，在直径20厘米的圆形木板上设计、裁取。仔细观察并计算出木板图案的面积是多少平方厘米？ 39．图中的直角三角形ABC，是禅城非遗“木版年画”里的一个构图元素，已知阴影①的面积比阴影②少28平方厘米，AB＝40厘米，π取3.14，求BC的长度是多少？ 40．六（1）班的同学在学校开展的以“德馨如雨润少年，智慧如光照未来”为主题的班级文化建设中，将文化墙的版面设计如图，展现自我的版面是多少平方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ （新教材）人教版六年级数学上册解决问题专项训练 专题05：圆 考点01：圆的周长 1．我国神话传说中哪吒的“乾坤圈”可以任意地变大或缩小。如果哪吒把乾坤圈变为一个半径是18厘米的圆，那么这个圆的周长是多少厘米？ 【答案】113.04厘米 【分析】根据圆的周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×18×2 ＝56.52×2 ＝113.04（厘米） 答：这个圆的周长是113.04厘米。 2．一辆自行车轮胎的外直径是0.7米，每分钟转80圈。小明骑这辆自行车从家到学校需要5分钟，他从家到学校有多少米？ 【答案】879.2米 【分析】先根据圆的周长公式，求出轮胎的周长，再根据每分钟转80圈，求出轮胎每分钟转动的距离，最后再求出5分钟总共的行驶距离，据此解答。 【详解】3.14×0.7×80×5 ＝2.198×80×5 ＝175.84×5 ＝879.2（米） 答：他从家到学校有879.2米。 3．欢欢家为了迎接新年，购置了一张崭新的圆形餐桌，寓意着团团圆圆。这张餐桌的半径是0.6米。她想给餐桌的边缘贴上一圈喜庆的装饰带，这圈装饰带至少需要多少米？（得数保留两位小数） 【答案】3.77米 【分析】给圆形餐桌边缘贴装饰带，装饰带的长度等于圆形餐桌的周长。已知圆的半径r=0.6米，根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数值计算，最后按“四舍五入”法将结果保留两位小数。 【详解】2×3.14×0.6 ＝6.28×0.6 ＝3.768 ≈3.77（米） 答：这圈装饰带至少需要3.77米。 4．哥哥用一根铁丝围成一个半径是6厘米的圆（铁丝刚好用完），弟弟用同样长的铁丝围成一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米？ 【答案】9.42厘米 【分析】因为铁丝长度相同，所以正方形的周长等于圆的周长。圆周长：C＝2πr（其中r是圆的半径，π取3.14）。已知圆的半径是6厘米，代入公式即可求出圆的周长；再根据正方形的边长＝周长÷4，即可解答。 【详解】2×3.14×6÷4 ＝37.68÷4 ＝9.42（厘米） 答：这个正方形的边长是9.42厘米。 5．一个半径为4分米的圆从左侧墙沿直线滚到右侧墙，滚动了3圈（如图）。左、右两侧墙之间的距离是多少分米？ 【答案】83.36分米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出圆的一周的长度；根据题意可知，圆从左侧墙沿直线滚到右侧墙，滚动了3圈，左、右两侧墙之间的距离等于圆的周长×3，再加上直径的长度，据此解答。 【详解】3.14×4×2×3＋4×2 ＝12.56×2×3＋8 ＝25.12×3＋8 ＝75.36＋8 ＝83.36（分米） 答：左、右两侧墙之间的距离是83.36分米。 考点02：半圆的周长 6．张爷爷靠围墙建了一个“畜禽饲养舍”（如图），他用篱笆把“畜禽饲养舍”围成了一个半圆形，其直径为5米。他建这个“畜禽饲养舍”需要多长的篱笆？ 【答案】7.85米 【分析】由题意可知，求篱笆的长度就是求直径为5米的圆的周长的一半，根据圆的周长公式：C＝πd，据此进行计算即可。 【详解】3.14×5÷2 ＝15.7÷2 ＝7.85（米） 答：他建这个“畜禽饲养舍”需要7.85米的篱笆。 7．李奶奶用31.4米长的篱笆在房前的空地上围了一个圆形鸡舍（如图1），现在由于养鸡数量的增加，她利用一面墙和原来的篱笆将鸡舍改成了一个半圆形（如图2），改变后面积增加了吗？若增加，则增加了多少？ 【答案】增加了；78.5平方米 【分析】由题意可知，原来小圆的周长和现在半圆形的周长都等于篱笆的长度，先根据“”求出小圆的半径，并根据“”求出小圆的面积，再根据“”求出大半圆的半径，并根据“”求出大半圆的面积，最后求出它们的面积之差就是增加的面积，据此解答。 【详解】小圆的半径：31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 小圆的面积：3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 大半圆的半径：31.4÷3.14＝10（米） 大半圆的面积：3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（平方米） 因为157平方米＞78.5平方米，所以改变后面积增加了。 157－78.5＝78.5（平方米） 答：改变后面积增加了，增加了78.5平方米。 8．一个鸡舍依墙而建，呈半圆形，半径是10米，修这个鸡舍需要多长的栅栏？ 【答案】31.4米 【分析】解答这道题的核心是理解鸡舍栅栏的长度指的是半圆的弧长，也就是圆的周长的一半。题目中已知半径是10米，知道半径求圆的周长的一半用公式：，据此解答。 【详解】2×3.14×10÷2 ＝6.28×10÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（米） 答：修这个鸡舍需要31.4米的栅栏。 9．山里养殖户王大叔利用山体当天然屏障，打算依山搭建一个半圆形鸡舍，已知鸡舍的直径规划为8米，搭建这个鸡舍至少需要准备多长的篱笆？ 【答案】12.56米 【分析】由题意知，鸡舍是个依山的半圆形，要求出搭建这个鸡舍至少需要准备多长的篱笆，即要求出这个圆周长的一半即可。由题知直径是8米，那么由圆的周长公式（其中C表示圆的周长，d表示圆的直径，通常没有特殊要求的情况下取3.14）可求出圆的周长，取其中的一半便为篱笆的长度。 【详解】由分析知： 圆周长： （米） 篱笆长：（米） 答：搭建这个鸡舍至少需要准备12.56米长的篱笆。 10．张大爷用竹篱笆靠墙围了一个半圆形的小花园，篱笆的长度约为6.28m，你知道围在花园里的墙的长度约是多少m吗？ 【答案】4m 【分析】用竹篱笆靠墙围了一个半圆形的小花园，篱笆的长度约为6.28m，墙不用围，所以篱笆的长度就是圆周长的一半，用圆周长的一半乘2，求出积就是圆的周长，然后根据“d＝C÷π”来求出直径，也就是花园里的墙的长度。 【详解】6.28×2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（m） 答：花园里的墙的长度约是4m。 考点03：含圆的组合图形的周长 11．篮球场的三分线由一段圆弧和两条线段组成（如下图）。三分线长多少米？（π取3） 【答案】23.4m 【分析】根据题意，三分线的长度由半径为6.75米的半圆弧线和两条长1.575米的线段组成，半圆弧线的长度为，三分线的长度为，据此解答。 【详解】 答：三分线长23.4m。 12．将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 【答案】114.24厘米 【分析】观察截面可知，一圈的长度由四个直径和一个整圆周长组成，根据外圈直径为8厘米，圆的周长＝圆周率×直径，代入数据可算出一圈的长度，再乘2即为捆扎2圈的铁丝长度。 【详解】（3.14×8＋4×8）×2 ＝（25.12＋32）×2 ＝57.12×2 ＝114.24（厘米） 答：捆扎2圈至少需要114.24厘米长的铁丝。 13．有一根绳子将两个相同的瓶子捆在一起（如下图），瓶子的底面半径是5厘米，正好捆了两圈，这根绳子长多少厘米？ 【答案】102.8厘米 【分析】如图所示，瓶子的底面半径是5厘米，捆一圈的长度＝瓶子底面的周长的一半×2＋底面直径×2，据此计算捆一圈的绳子长度再乘2即可。 【详解】（3.14×5×2＋5×2×2）×2 ＝（31.4＋20）×2 ＝51.4×2 ＝102.8（厘米） 答：这根绳子长102.8厘米。 14．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人以其外观较小，强大的自主感知、规划能力，已经成为新时代人们日常生活的重要助手，受到越来越多的消费者的青睐。如图，一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米。请你计算扫地机器人的底面圆心走过的路线长是多少分米？ 【答案】76.82分米 【分析】通过观察图形可知扫地机器人的底面圆心走过的路线等于半径是（5＋1.5）分米的圆的周长加上2个18分米，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【详解】2×3.14×（5＋1.5）＋18×2 ＝6.28×6.5＋36 ＝40.82＋36 ＝76.82（分米） 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长是76.82分米。 15．有一种公交车站牌（如下图），制作这种站牌的外围用的是钢管。制作这样一个站牌的外围需要多长的钢管？ 【答案】 答：制作这样一个站牌的外围需要605.6厘米的钢管。 【分析】由图可知，钢管的长等于直径为80厘米的圆周长的一半加上下方长方形的2条宽，根据圆的周长公式，列式计算即可。 【详解】 答：制作这样一个站牌的外围需要605.6厘米的钢管。 考点04：圆的面积 16．文体中心有一个圆形表演台，周长是43.96m。现在把舞台的半径增加1m，现在表演台的面积是多少平方米？ 【答案】200.96 【分析】已知这个圆的周长是43.96米，根据圆的周长：C＝πd，d＝2r，先求出增加前圆的半径r；再根据圆的面积：S＝π，求出现在表演台的面积，据此解答。 【详解】表演台增加前的半径是： 43.96÷3.14÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 现在表演台的半径是：7＋1＝8（米） 现在表演台的面积是： ×3.14 ＝8×8×3.14 ＝64×3.14 ＝200.96（平方米） 答：现在表演台的面积是200.96平方米。 17．庭院里种了一棵苹果树，奇奇用软尺绕树一周测得苹果树的横截面的周长是25.12厘米，请你计算出这棵苹果树横截面的面积。 【答案】50.24平方厘米 【分析】苹果树的横截面是一个圆，它的周长是25.12厘米，根据周长公式：，则r＝C÷2π计算出横截面的半径，再根据圆的面积公式：，代入数据计算出苹果树横截面的面积即可。 【详解】25.12÷（2×3.14） ＝25.12÷6.28 ＝4（厘米） 3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方厘米） 答：这棵苹果树横截面的面积是50.24平方厘米。 18．给下面的水缸加一个圆形木盖，已知缸口内直径为72厘米，木盖的直径要比缸口内直径长8厘米。木盖的面积是多少平方厘米？ 【答案】5024平方厘米 【分析】由题意可知，木盖的直径＝缸口内直径＋8厘米，木盖的半径是直径的一半，先求出木盖的半径，再利用“”求出木盖的面积，据此解答。 【详解】（72＋8）÷2 ＝80÷2 ＝40（厘米） 3.14×402 ＝3.14×1600 ＝5024（平方厘米） 答：木盖的面积是5024平方厘米。 19．公园里有一块圆形草坪，周长是50.24m。工作人员要在草坪的正中心安装一个自动喷水装置，现有射程8m和射程10m的两种喷水装置。 （1）请你帮忙算一算，选哪种喷水装置更合适？ （2）这块圆形草坪的面积是多少平方米？ 【答案】（1）50.24÷3.14÷2＝8（m） 答：选射程8m的喷水装置更合适。 （2） 答：这块圆形草坪的面积是200.96平方米。 【分析】（1）根据题意，圆形草坪的周长是50.24m，依据圆的周长公式，求出圆形草坪的半径，再和喷水装置的射程进行比较即可； （2）由（1）可得圆的半径，根据圆的面积公式，列式计算即可。 【详解】（1） 答：选射程8m的喷水装置更合适。 （2） 答：这块圆形草坪的面积是200.96平方米。 20．六·一儿童节当日，为了更好展示儿童玩具，金鹰商场用盆花围成一个周长大约62.8米的圆形活动场地，你知道这个圆形场地的面积大约是多少平方米？ 【答案】314平方米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，算出圆的半径；再根据圆的面积公式，代入数值计算即可求出这个圆形场地的面积。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：这个圆形场地的面积大约是314平方米。 考点05：圆环的面积 21．某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【答案】1727元 【分析】根据题意可知鹅卵石路的面积是环形面积，根据环形面积公式：，把数据代入可求出鹅卵石路的面积，然后用所求面积乘每平方米鹅卵石路需要的价钱，即可解答。 【详解】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 34.54×50＝1727（元） 答：铺完这条鹅卵石路共需要1727元。 22．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 （1）如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ （2）在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 【答案】(1)25.12米 (2)1413元 【分析】（1）求篱笆的长，即为求圆的周长。根据C＝πd计算。 （2）根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，圆的面积＝πr2，内圆的半径为8÷2，外圆的半径比内圆的半径多1米，计算鹅卵石小路的面积，小路的面积×50即为铺路花的钱。 【详解】（1）3.14×8＝25.12（米） 答：至少需要篱笆25.12米。 （2）8÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×52－3.14×42 ＝3.14×25－3.14×16 ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 28.26×50＝1413（元） 答：铺完这条小路大约需要1413元。 23．如图，爸爸买了一个周长为6.908米的圆桌，圆桌正中间还摆放着一个直径1.8米的圆形玻璃转盘。 （1）圆桌边缘与玻璃转盘边缘的最近距离是多少米？ （2）圆桌上没有被玻璃转盘覆盖的面积是多少平方米？ 【答案】(1)0.2米 (2)1.256平方米 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出圆桌的半径，根据r＝d÷2，求出玻璃转盘的半径，然后求出圆桌半径与玻璃转盘半径的差即可解答； （2）根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】（1）6.908÷3.14÷2＝1.1（米） 1.8÷2＝0.9（米） 1.1－0.9＝0.2（米） 答：圆桌边缘与玻璃转盘边缘的最近距离是0.2米。 （2）3.14×（1.12－0.92） ＝3.14×（1.21－0.81） ＝3.14×0.4 ＝1.256（平方米） 答：圆桌上没有被玻璃转盘覆盖的面积是1.256平方米。 24．郑州市潮河上的桥，是国内首座跨径最大的圆环形独塔双索面斜拉桥，因中间为一个大大的圆环，而被人们称为“戒指桥”。圆环的外圆半径是28米，内圆半径是24米。 （1）沿这座桥的内圆铺设一圈彩灯，至少需要多少米的灯带？（接头处忽略不计） （2）如果只看这个完整的圆环，圆环正面的面积是多少平方米？ 【答案】(1)150.72米 (2)653.12平方米 【分析】（1）根据圆的周长＝2πr，代入数据求出内圈圆的周长，即所需灯带的长度； （2）根据环形面积＝，R是外圈圆半径，r是内圈圆半径，代入数据即可求出圆环正面的面积。 【详解】（1）2×24×3.14＝150.72（米） 答：至少需要150.72米的灯带。 （2） ＝3.14×（784－576） ＝3.14×208 ＝653.12（平方米） 答：圆环正面的面积是653.12平方米。 25．安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 【答案】0.628平方米 【分析】求红色油漆的面积，就是求圆环的面积；根据半径＝直径÷2，据此求出指示牌的半径；再用指示牌的半径－油漆圈的宽度，求出小圆的半径，即不刷红色油漆的面积，根据圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答，注意单位换算。 【详解】120÷2＝60（厘米） 60－20＝40（厘米） 3.14×（602－402） ＝3.14×（3600－1600） ＝3.14×2000 ＝6280（平方厘米） 6280平方厘米＝0.628平方米 答：红色油漆的面积是0.628平方米。 考点06：求最大面积 26．下面是一个长6厘米、宽4厘米的长方形，请你在这个长方形内画一个最大的圆，再计算它的面积。（要求留下找圆心的痕迹） 【答案】图见详解；12.56平方厘米 【分析】由题意可知，在这个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，两条对角线交叉的点即可确定为圆心，依据圆的基本画法，即可画出符合要求的圆，再根据圆的面积公式：，将数据代入公式计算即可。 【详解】 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：这个长方形内最大的圆的面积为12.56平方厘米。 27．如图，在墙边点A处拴着一只小狗，绳子的长度是5米。如果绳子长度增加1米，小狗的最大活动范围增加多少平方米？（绳扣部分长度不计） 【答案】17.27平方米 【分析】原本小狗的运动面积以A点为圆心，半径为5米的半圆面积；当绳子增加1米，则小狗的运动面积变为以A点为圆心，半径为5＋1＝6米的半圆面积； 根据圆的面积＝，半圆的面积将圆的面积除以2，将增加后的面积减去原来的运动面积即可求出小狗的最大活动范围增加多少平方米。 【详解】5＋1＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：小狗的最大活动范围增加17.27平方米。 28．小明要用一根长是62.8厘米的铁丝围成一个平面图形，这个图形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】314平方厘米 【分析】铁丝的长度相当于平面图形的周长，周长相等的平面图形中，图形越接近圆形面积越大，则这个图形为圆形时面积最大，先根据“”求出圆的半径，再利用“”求出最大图形的面积，据此解答。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 答：这个图形的面积最大是314平方厘米。 29．用一根绳子把一只羊拴在一棵树上，拴上羊后，两个结扣之间的绳长为3米，羊可以吃到草的最大面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】由题意知：“用一根绳子把一只羊拴在一棵树上”，羊能跑的范围是一个圆。“两个结扣之间的绳长为3米”，即这个圆的半径是3米。根据圆的面积公式：代人数据求解即可。 【详解】羊能吃草的最大面积： （平方米） 答：羊可以吃到草的最大面积是28.26平方米。 30．如图，把小羊A和小羊B拴在围墙边上（两面墙均形成直角），绳长都是8米。哪只小羊吃到的草的面积大？大多少平方米？ 【答案】小羊A吃到的草的面积大，大37.68平方米。 【分析】根据图意可知，小羊A能吃到的草的面积是半径为8米的圆面积的； 小羊B能吃到的草的面积是半径为8米的圆面积的一半加上半径为4米的圆的，根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据解答。 【详解】小羊A： （平方米） 小羊B： （平方米） 150.72＞113.04   小羊A吃到的草的面积大 150.72－113.04＝37.68（平方米） 答：小羊A吃到的草的面积大，大37.68平方米。 考点07：方中圆和圆中方的面积问题 31．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 【答案】0.5平方米 【分析】外圆内方中间的正方形对角线长度等于外圆的直径，正方形可以看成两个以对角线为底、半径为高的三角形。已知圆的周长，根据圆的周长公式，求出圆的直径与半径，再根据，求出一个三角形面积，三角形面积乘2即为正方形面积。 【详解】3.14÷3.14＝1（米） 1÷2＝0.5（米） 1×0.5÷2×2 ＝0.5÷2×2 ＝0.25×2 ＝0.5（平方米） 答：需要糊纸部分的面积为0.5平方米。 32．我国古代建筑与现代装饰常采用“外方内圆再嵌方”的几何结构（如图）：一款边长4dm的正方形装饰画框，框内画最大圆形底色，圆内再画最大正方形图案。求圆的面积是多少？圆内正方形的面积是多少？ 【答案】12.56平方分米；8平方分米 【分析】观察图片，在大正方形里画最大的圆，圆的直径等于大正方形边长4dm，那么半径r＝4÷2＝2dm，根据圆的面积公式S＝πr²，π取3.14，可求出圆的面积。 圆内最大正方形的对角线是圆的直径4分米，把圆内最大的正方形沿对角线分成两个相等的等腰直角三角形，三角形的底是直径4分米，高是直径的一半，即4÷2＝2（分米）。根据三角形面积公式S＝ah，求出一个三角形的面积，再乘2得到小正方形的面积。 【详解】圆的面积：3.14×（4÷2）² ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 圆内正方形的面积：×4×（4÷2）×2 ＝×4×2×2 ＝2×2×2 ＝8（平方分米） 答：圆的面积是12.56平方分米，圆内正方形的面积是8平方分米。 33．2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】168.56平方厘米 【分析】解答这道题需明确：正方形的面积＝边长×边长；圆的面积。在正方形里面画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。题目中已知小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片，则圆的直径为28厘米，利用求出圆的半径后求出圆的面积。求出正方形面积后，用正方形面积减去圆的面积即可。 【详解】求圆的面积： （厘米） （平方厘米） 求正方形面积： （平方厘米） 求剩余部分面积： （平方厘米） 答：正方形纸剩余部分的面积是168.56平方厘米。 34．奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】98平方厘米 【分析】圆周长＝2r＝d，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【详解】如图： 43.96÷3.14＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝98÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：中间最大正方形的面积是98平方厘米。 35．为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 【答案】41.04平方米 【分析】圆形的面积＝πr²，代入数字可计算出圆形面积，将正方形面积如图沿对角线分成两个三角形，三角形的底为圆的直径，高为圆的半径，据此根据三角形面积＝（底×高）÷2算出三角形面积之后再乘2可算出正方形面积；用圆面积－正方形面积就是种太阳花的面积。 【详解】3.14×62－（6×2）×6÷2×2 ＝3.14×36－12×6÷2×2 ＝113.04－72 ＝41.04（平方米） 答：种太阳花的面积有41.04平方米。 考点08：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 36．如图是由两个相同的半圆叠拼成的。三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝8cm，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3） 【答案】16平方厘米 【分析】阴影部分的面积等于直径是8厘米的圆的面积减去三角形ABC的面积，据此解答。 【详解】3×（8÷2）2－8×8÷2 ＝3×16－64÷2 ＝48－32 ＝16（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是16平方厘米。 37．施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 【答案】10.28平方厘米 【分析】这个四叶花瓣状装饰图由4个以正方形边长为直径的半圆和中间的正方形组成，先用正方形的边长除以2求出半圆的半径，再把4个半圆转化为2个完整的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出它们的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，求出中间正方形的面积，最后将2个圆的面积与正方形的面积相加，即可求出这个装饰图的总面积。 【详解】3.14×（2÷2）2×2＋2×2 ＝3.14×12×2＋2×2 ＝3.14×1×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（平方厘米） 答：这个装饰图的面积是10.28平方厘米。 38．在南城门古建筑修复过程中，工人师傅为了得到（下图阴影部分）木板图案，在直径20厘米的圆形木板上设计、裁取。仔细观察并计算出木板图案的面积是多少平方厘米？ 【答案】157平方厘米 【分析】观察图形可知，木板图案的面积等于大圆面积减去两个小圆的面积（四个小半圆可拼成两个小圆）。先根据大圆直径20厘米求出大圆半径，再求出小圆半径。根据圆的面积公式S＝πr2，先分别求出大圆的面积和两个小圆的总面积，再用大圆的面积减去两个小圆的总面积，即可求出木板图案的面积。 【详解】3.14×（20÷2）2－3.14×（20÷2÷2）2×2 ＝3.14×102－3.14×52×2 ＝3.14×100－3.14×25×2 ＝314－78.5×2 ＝314－157 ＝157（平方厘米） 答：木板图案的面积是157平方厘米。 39．图中的直角三角形ABC，是禅城非遗“木版年画”里的一个构图元素，已知阴影①的面积比阴影②少28平方厘米，AB＝40厘米，π取3.14，求BC的长度是多少？ 【答案】32.8厘米 【分析】已知阴影①比阴影②少28平方厘米，即S②－S①＝28。 给两个阴影都加上中间共同的空白部分，可得：S三角形ABC－S半圆＝28平方厘米（差不变原理）。根据圆的面积＝，求出半圆的面积后加上28得到三角形的面积，再根据三角形的高＝三角形面积×2÷底，求出三角形的高即BC的长度。 【详解】AB是半圆的直径，AB＝40厘米，因此半圆半径r＝40÷2＝20（厘米）。 半圆面积： S半圆＝÷2 ＝3.14×400÷2 ＝1256÷2 ＝628（平方厘米） S三角形面积＝S半圆＋28 ＝628＋28 ＝656（平方厘米） BC长度为： 656×2÷40 ＝1312÷40 ＝32.8（厘米） 答：BC的长度是32.8厘米。 40．六（1）班的同学在学校开展的以“德馨如雨润少年，智慧如光照未来”为主题的班级文化建设中，将文化墙的版面设计如图，展现自我的版面是多少平方米？ 【答案】3.29平方米 【分析】由图知，展现自我的面积＝长方形面积－科技强国的面积－思政润心的面积。其中长方形面积＝长×宽，长为4米，宽为2米；思政润心的面积是半径为2米的圆的面积，科技强国的直径加上思政润心的半径是长方形的长，所以科技强国的直径是2米，科技强国是直径为2米的圆的面积，分别代入圆面积公式（）计算即可。 【详解】长方形面积：（平方米） 科技强国面积： ＝3.14×[2÷2]2× ＝ ＝ ＝1.57（平方米） 思政润心面积： ＝ ＝3.14（平方米） 展现自我面积： ＝6.43－3.14 ＝3.29（平方米） 答：展现自我的版面是3.29平方米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $