3.1.1椭圆及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及应用，从定义的文字与符号语言描述入手，通过辨析2a与焦距关系、体验新知题等导入，衔接坐标系建立与方程推导，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光抽象椭圆定义本质，通过“名师点睛”明确要点，用“一题多解”（如例1设方程两种方法）和变式训练培养数学思维，结合椭圆定义与余弦定理解决面积问题（例3）提升推理能力。学生能深化概念理解，教师可依托系统资源实施分层教学，提高课堂效率。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1.1　椭圆及其标准方程 学 习 目 标 1.能用文字语言和符号语言描述椭圆的定义. 2.能根据建立的坐标系推导椭圆的标准方程. 3.会求椭圆的标准方程. 4.能灵活运用椭圆的定义、标准方程解决相关问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1 椭圆的定义 1.定义 此条件不可忽略  我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于　　　　(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.　　　　　 这两个定点叫做椭圆的　　　　,两焦点间的距离叫做椭圆的　　　,焦距的　　　称为半焦距. 即为|F1F2|,常用符号2c表示  2.定义的集合语言表述 椭圆就是下列点的集合:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}. 　 距离之和这个常数常用2a表示 常数 焦点 焦距 一半 AI·思考辨析 1.在平面内有一定点F,若动点M满足|MF|=2a(常数),那么点M的轨迹是什么? 提示 点M的轨迹是以F为圆心,2a为半径的圆. 提示 当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,不存在这样的点M. 2.在椭圆的定义中,如果2a=|F1F2|,那么点M的轨迹是什么?2a<|F1F2|呢? 体验新知 1.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=5,则点P的轨迹是 (　　)　　　　　　　　 A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 A 解析 因为F1(0,-2),F2(0,2),所以|F1F2|=4,所以|PF1|+|PF2|=5>|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.故选A. 2.将椭圆放置于平面直角坐标系中,使焦点F1(-2,0),F2(2,0)落在x轴上,若点M(0,2)为椭圆上一点,如图所示,则焦距为　　,半焦距为　　　,2a=　　　. 4 2 知识点2　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a>b>0) 　　　　 　　  图形     焦点坐标 　 　　　　　  F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的 关系 a2=b2+c2 该关系中蕴含:①a>b,a>c;②可知二求一 F1(-c,0),F2(c,0) 思考辨析 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 提示 不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定. 体验新知 1.(2026北京西城高二期中)已知椭圆=1过点(,1),则该椭圆的焦距为(　　) A.2　　　 B.2　　　 C.4　　　 D.2 C 解析 由椭圆=1过点(,1),得=1,解得m2=2,故椭圆的方程为=1,设椭圆的半焦距为c,则c2=6-2=4,则c=2,所以该椭圆的焦距为2c=4.故选C. 2.(北师大版教材习题)椭圆 =1上一点P到该椭圆的一个焦点的距离为6,则点P到另一个焦点的距离为　　　　　.  4 3.(人教B版教材习题)分别根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)a= ,b=1,焦点在x轴上; (2)b=3,经过点(0,-4),焦点在y轴上. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　求椭圆的标准方程 【例1】 根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)经过点P,两焦点间的距离为2,焦点在x轴上; (2)经过点A(,-2)和点B(-2,1). 解 (1)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0), 因为焦点在x轴上,焦距2c=2,所以a2=b2+1. 又椭圆经过点P,所以=1, 解得b2=3,所以a2=4. 所以椭圆的标准方程为=1. (2)(方法1)①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为=1. ②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 依题意有解得 因为不满足a>b>0,所以无解. 综上可知,所求椭圆的标准方程为=1. (方法2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为=1. 变式训练1　(2026江苏苏州高二期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是F1(-2,0),F2(2,0),并且经过点; (2)经过两点P1(,1),P2(-,-). 解 (1)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则c==2,① 将点的坐标代入椭圆方程得到=1,② 联立①②解得a2=10,b2=6, 所以椭圆的标准方程为=1. (2)设椭圆的标准方程为=1(m>0,n>0,m≠n), 则解得 所以椭圆的标准方程为=1. 能力提升点二　对椭圆标准方程的理解 【例2】 已知方程=1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆,求实数m的取值范围; (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆,求实数m的取值范围; (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆,求实数m的取值范围. 解 (1)依题意,有解得8<m<25. 故实数m的取值范围为(8,25). (2)依题意,有解得-9<m<8. 故实数m的取值范围为(-9,8). (3)依题意,有解得-9<m<25,且m≠8, 故实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25). 变式训练2　(1)(2026湖北武汉高二期中)若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(　　) A.[3,5) B.(1,5) C.(1,3) D.(3,5) D 解析 依题意,有m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以m的取值范围是(3,5).故选D. (2)已知椭圆mx2+=1的焦距为2,则实数m=(　　) A. B. C. D.或1 D 解析 焦距为2,即c=1. 当焦点在x轴上时,得m=; 当焦点在y轴上时,得m=1. 综上,m=或m=1.故选D. 能力提升点三　椭圆的定义及应用 【例3】 (2026陕西西安高二期中)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上的动点,且|PF1|-|PF2|=2. 求:(1)|PF1|; (2)△PF1F2的面积. 解 (1)椭圆C:=1,则a=, 所以|PF1|+|PF2|=2a=2. 又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=+1. (2)由c2=11-2=9,得c=3, 所以|F1F2|=2c=6.如图所示,由(1)可知|PF1|=+1,|PF2|=-1, 所以cos∠F1PF2==-. 则sin∠F1PF2=, 故△PF1F2的面积为|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×(+1)×(-1)×=4. 变式训练3　已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点. (1)若焦距为4,点P的坐标为(-3,1),求椭圆C的标准方程; (2)若∠F1PF2=,且△F1PF2的面积为,求b的值. 解 (1)已知|F1F2|=4,所以2c=4,即c=2. 由于点P(-3,1)在椭圆上,将其坐标代入椭圆方程=1(a>b>0), 可得=1,即=1. 又因为c2=a2-b2,所以a2-b2=8. 联立整理得b4-2b2-8=0,解得b2=4或b2=-2(舍去). 所以a2=b2+c2=4+8=12,故椭圆C的标准方程为=1. (2)因为∠F1PF2=,所以△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|sin, 则|PF1||PF2|=2. 根据椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a. 根据余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos, 整理得|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos, 代入得4c2=4a2-6,即a2-c2=b2=,得b=. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)椭圆的定义及其应用; (2)椭圆的标准方程. 2.方法归纳:定义法、待定系数法. 3.常见误区:(1)忽视椭圆定义中a,b,c的关系;(2)混淆椭圆的两种标准方程. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.(2026江苏南京高二期中)已知方程=1(m∈R)表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为(　　) A.(-2,1) B.(1,4) C.(-2,4) D.(-∞,-2) A 解析 根据题意,方程=1表示焦点在x轴上的椭圆, 则必有解得-2<m<1. 即m的取值范围是(-2,1).故选A. 1 2 3 4 2.(2026河北石家庄高二期中)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,若A是椭圆C上一动点,则△AF1F2的周长为(　　) A.2+2 B.2+2 C.4+2 D.4+2 C 解析 在椭圆C中,a=,b=,c==2, 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2, 则△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2+4. 故选C. 1 2 3 4 3.[2024天津红桥期末]椭圆 上一点M到左焦点F1的距离为6,则M到右焦点F2的距离为　　　　　.  2 由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=6+|MF2|=2a=8, 所以|MF2|=2. 1 2 3 4 4.(北师大版教材例题)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且经过点P ,求椭圆的标准方程. 1 2 3 4 1 2 3 4 本 课 结 束 4 =1 =1(a>b>0) 解析 设所求距离为x.在=1中,a2=25, 所以a=5,所以x+6=5×2,所以x=4. 解 (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0), 且a=,b=1,故椭圆的标准方程为+y2=1. (2)由题意可设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),且b=3, 把点(0,-4)的坐标代入=1,可得a=4, 故椭圆的标准方程为=1. =1 解析 由=1可得a2=16,所以a=4. 解 (方法1)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以可设它的标准方程为=1(a>b>0). 根据椭圆的定义知 2a==2, 从而a=. 又c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6. 所以椭圆的标准方程为=1. 其图形如图所示. (方法2)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以可设它的标准方程为=1(a>b>0). 因为点P在椭圆上, 又c=2,所以 解得b2=6或b2=-(舍),则a2=10. 所以椭圆的标准方程为=1. $