2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第三章 3.1 3.1.2 第2课时　直线与椭圆的位置关系

该高中数学课件聚焦直线与椭圆的位置关系，涵盖位置判断、弦长公式、中点弦问题等核心内容，通过复习椭圆方程与性质，结合“小试身手”实例，搭建从点与椭圆位置关系到直线与椭圆位置关系的学习支架。 其亮点在于以“探究点”驱动问题解决，结合高考真题培养数学思维与数学眼光，如弦长公式推导、中点弦的点差法与根与系数关系法，总结“设而不求”技巧。学生能提升运算与推理能力，教师可借助分层训练提高教学效率。

第2课时　直线与椭圆的位置关系 [目标导航] 课标要求 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用 2.掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系 3.初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.点与椭圆的位置关系 > 2.直线与椭圆的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,椭圆方程为f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. 设Δ=b2-4ac. ①Δ 0时,直线和椭圆相交于不同两点; ②Δ 0时,直线和椭圆相切于一点; ③Δ 0时,直线和椭圆没有公共点. = < 3.椭圆的弦 直线与椭圆相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦, 就是弦长,简单地说,椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段. 线段的长 (3)椭圆上的点与焦点的距离 椭圆上的点中,到其焦点的距离最大和最小的点都是长轴的端点,同侧的长轴的端点到焦点的距离最小,异侧的长轴的端点到焦点的距离最大. 小试身手 2 (1,3)∪(3,+∞) 课堂探究·素养培育 直线与椭圆位置关系的判断 C 判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 弦长问题 求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. 中点弦问题 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 直线与椭圆的综合问题 (2)若直线BD的斜率为0,求t的值. 解决直线与椭圆的综合问题,一般采取“设而不求”的方法,即设出直线与椭圆的交点的坐标,直线方程与椭圆方程联立,消元,利用“根与系数的关系”转化为所求参数的方程(或函数)问题,从而解决问题. 椭圆中的一组斜率定值问题 当堂即练·素养达成 当堂即练 C A ±1 1.直线与椭圆的位置关系,可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程,利用“Δ”进行判定.求弦长时可利用根与系数的关系,中点弦问题考虑使用“点差法”. 2.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧,在解题中要注意运用,避免求解浪费时间或造成不必要的失分.通过对直线与椭圆位置关系的学习,达成了培养数学运算核心素养的目的. 课堂小结 3.直线和椭圆相交时切记Δ>0是求参数范围(值)的前提条件,因此不要忽略通过Δ>0所求得的参数范围. 4.与三角形面积等有关的最值问题一般转化为函数最值或利用数形结合思想求解.通过此类问题的学习,达成了培养直观想象核心素养的目的. 感谢观看 点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系: 点P在椭圆上⇔+=1; 点P在椭圆内部⇔+<1; 点P在椭圆外部⇔+>1. 由消元, (1)弦长公式 设直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2), 则弦长|AB|= =. (2)弦长公式的推导 设直线l的斜率为k,方程为y=kx+b,设端点A(x1,y1),B(x2,y2). 则|AB|===· =·,其中,x1+x2,x1x2的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程得到. 或|AB|==|y1-y2|=. 当k=0时,直线平行于x轴,所以|AB|=|x1-x2|. 解析:直线y=kx+1-k是恒过(1,1)的直线系,由于+<1, 所以(1,1)是椭圆内部的一点, 所以直线与椭圆恒有2个交点. 1.直线y=kx+1-k与椭圆+=1的公共点个数为　　　　.  2.直线y=x+1被椭圆+=1所截得的弦的中点坐标是　　　　　　　.  (-,) 解析:联立 消去y,得3x2+4x-2=0, 设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-, 故AB的中点横坐标x0==-. 纵坐标y0=x0+1=-+1=. 3.直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是　　 　　　.  解析:由消去y得(m+3)x2+4mx+m=0. 因为直线与椭圆有两个公共点, 所以Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m=12m2-12m>0,解得m>1或m<0. 又因为m>0且m≠3,所以m>1且m≠3. 4.过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆+=1所截得线段的长度为　　　　.  解析:过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3). 设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程代入椭圆方程得+=1, 即x2-3x-8=0.所以x1+x2=3,x1x2=-8. 所以|AB|=·==. 解:由消去y,得+(x+m)2=1,整理得5x2+8mx+4m2-4=0. Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). 当-<m<时,Δ>0,直线与椭圆相交; 当m=-或m=时,Δ=0,直线与椭圆相切; 当m<-或m>时,Δ<0,直线与椭圆相离. [例1] 对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=1的位置关系. 解析:因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点, 所以>3,即m2+n2<9,所以+≤+<1,即点(m,n)在椭圆+=1内, 所以过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为2个. 故选C. 即时训练1-1:若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为(　　) A.1个 B.至多一个 C.2个 D.0个 [例2] 已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F,交椭圆于A,B两点,求|AB|. 解:设A(x1,y1),B(x2,y2), 由椭圆方程可知,右焦点F(,0). 因为直线斜率为1, 所以可设直线l的方程为y=x+m. 因为直线过点F(,0),所以0=+m,所以m=-,所以直线方程为y=x-.(*) 把(*)代入+y2=1并整理得5x2-8x+8=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 所以|AB|= =· =· =. 变式训练2-1:将本例中的“直线l过椭圆+y2=1的右焦点F”改为“直线l过椭圆+=1的下焦点F”,其他条件不变,求|AB|. 解:设A,B坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2), 由椭圆方程知a2=8,b2=4,所以c==2, 所以椭圆的下焦点F的坐标为(0,-2), 所以直线l的方程为y=x-2. 将其代入+=1,化简整理得3x2-4x-4=0, 所以x1+x2=,x1x2=-, 所以|AB|= = = =× =. 变式训练2-2:若将本例改为“直线l:y=kx+1与椭圆 +y2=1交于A,B两点,当|AB|=时,求直线l的方程”. 解:设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得(1+4k2)x2+8kx=0. 所以x1+x2=,x1·x2=0. |AB|=·=, 整理得7k4-9k2+2=0,解得k2=1或k2=. 所以k=±1或k=±,经检验符合题意. 所以直线l的方程是y=±x+1或y=±x+1, 即x-y+1=0或x+y-1=0或x-7y+7=0或x+7y-7=0. (2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式:|P1P2|==·,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. [例3] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,求直线l的 方程. 解:法一　由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4), 而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆的方程得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0. 所以x1+x2==8,所以k=-.所以直线l的方程为y-2=-(x-4), 即x+2y-8=0. 法二　设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)·(y1-y2)=0. 又x1+x2=8,y1+y2=4, 所以=-,即k=-. 所以直线l的方程为x+2y-8=0. 解:法一　(1)根据题意,椭圆+=1的长轴长为4,且短轴长是长轴长的一半. 即2a=4,则a=2,2b=×2a=2,则b=1, 故椭圆的方程为+y2=1. 法二　(1)同解法一 即时训练3-1:已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴长为4,且短轴长是长轴长的一半. (1)求椭圆的方程; 解:法一　(2)由(1)得椭圆的方程为+y2=1, 设直线l的方程为y-=k(x-1),将直线y-=k(x-1)代入椭圆方程, 得(1+4k2)x2-4k(2k-1)x+(2k-1)2-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,M(1,)恰好是线段AB的中点,x1+x2=2,即=2,解得k=-.则直线l的方程为y-=-(x-1),变形可得x+2y-2=0. (2)经过点M(1,)作直线l,交椭圆于A,B两点,如果M恰好是线段AB的中点,求直线l的方程. 法二　(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①-②整理得=-×, 又M(1,)为A,B中点,所以x1+x2=2,y1+y2=1. 所以=-,即kAB=-,所以直线l的方程为y-=-(x-1). 即x+2y-2=0. (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 +=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则 由①-②,得(-)+(-)=0,变形得=-·=-·,即kAB=-. [例4] (2024·北京卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率; 解:(1)由题意知b=c==, 从而a==2, 所以椭圆的方程为+=1,离心率为e=. 解: (2)直线AB斜率不为0,否则直线AB与椭圆无交点,矛盾, 从而设AB:y=kx+t(k≠0,t>),A(x1,y1),B(x2,y2). 由化简并整理,得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0. 由Δ=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-t2)>0,得4k2+2-t2>0, 所以x1+x2=,x1x2=. 若直线BD斜率为0,由椭圆的对称性可设D(-x2,y2), 所以AD:y=(x-x1)+y1.在直线AD的方程中令x=0, 得yC====+t==1,所以t=2, 此时k应满足 即k应满足k<-或k>. 综上所述,t=2满足题意,此时k<-或k>. 解:(1)因为长轴长为4,故a=2. 又离心率为,所以c=, 故b=,故椭圆C的方程为+=1. 即时训练4-1:(2025·全国Ⅱ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; 解: (2)由题知直线AB的斜率存在且不为0, 故设直线l:x=t(y+2)(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由可得(t2+2)y2+4t2y+4t2-4=0, 故Δ=16t4-4(t2+2)(4t2-4)=4(8-4t2)>0,即-<t<且t≠0, (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为,求|AB|. 所以y1+y2=-,y1y2=, 故S△OAB=×|2t|×|y1-y2| =|t|==, 解得t=±, 故|AB|=|y1-y2|=×=×=. 在椭圆E:+=1(a>b>0)中, (1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l′,设其斜率为k0,则k0·k=-. 注:(1)常变形为:椭圆+=1上任意一点(x0,y0)处的切线方程为+=1. 证明:(1)首先由椭圆的对称性知l∥l′. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为+=1,则k0=-. 又k=,则k0·k=·()=-(切线问题). (2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,点P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-. 证明:(2)设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),P(x,y),x≠±x0,则+=1,+=1, 则+=0,所以k1·k2=·==-(中心弦问题). (3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,点P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-. 注:(3)常变形为:椭圆+=1内以任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=-·. 证明:(3)如图所示,连接BO并延长,交椭圆E于另一点Q,连接AQ,因为点P为AB的中点,由椭圆的对称性知点O为BQ的中点,则OP为△BAQ的中位线,所以k0=kAQ, 又k=kAB,所以由结论(2)知,kAQ·kAB=-,即k0·k=-(中心弦问题). [典例] 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+ =1于P,A两点,其中点P在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为点C,连接AC,并延长交椭圆于点B,连接PB,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB. 证明:设P(x0,y0), 则A(-x0,-y0),C(x0,0),kAC==. 又kPA==k,所以kAC=. 由kBA·kBP=-知, kBP·kBA=kBP·kAC=·kPB=-. 所以kPB·k=-1, 即PA⊥PB. 1.若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是(　 　) A. B.- C.± D.± 解析:把y=kx+2代入+=1, 得(2+3k2)x2+12kx+6=0, 由于Δ=0,所以k2=,所以k=±.故选C. 解析:由已知得F(-1,0),直线l:y=(x+1), 联立可得A(0,),B(-,-),所以|AF|=2,|BF|=, 所以+=.故选A. 2.过椭圆C:+=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A,B两点,则+等于(　 　) A. B. C. D. 3.椭圆x2+2y2=2与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为　　　　.  解析:设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得3x2+4mx+2m2-2=0,则x1+x2=-,x1x2=, |AB|=|x1-x2|===. 可得m2=1,即m=±1. 4.中心在原点,焦点坐标为(0,±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为　　　　　　　.  +=1 解析:椭圆焦点在y轴上,可设方程为+=1(a>b>0), 设直线3x-y-2=0交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则x1+x2=1,y1+y2=3(x1+x2)-4=-1,且 ①-②得+=0, =-, 所以-=-,====3,所以a2=75,b2=25, 所以椭圆方程为+=1. $