3.1.1 椭圆及其标准方程（第1课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，课前通过要点梳理和“入木三分”深度解析构建基础，课时学案以题型为支架，从定义理解到方程推导再到参数应用，形成连贯学习脉络。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心，通过定义条件对比表、分层题型及探究总结，帮助学生深化概念理解和提升运算能力，为教师提供系统教学资源和分层练习设计。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 (第1课时) 素养目标 1.理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)2.掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)3.会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算) 课前自学 4 要点1　椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____________________的点的轨迹叫做椭圆，这______________叫做椭圆的焦点，_______________________叫做椭圆的焦距，焦距的______________称为半焦距． 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 一半 第页 要点2　椭圆的标准方程 b2＋c2 第页 (1)这里的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴． (2)为了计算上的方便，有时将椭圆方程写为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)在椭圆的两种标准方程中，若x2的分母大，则焦点就在x轴上；若y2的分母大，则焦点就在y轴上． 第页 1．对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解： 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 第页 2.怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 答：看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2的分母大，那么焦点就在x轴上；如果y2的分母大，那么焦点就在y轴上． 3．椭圆方程中的a，b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？ 答：椭圆方程中，a表示椭圆上任意点到两焦点间距离的和的一半．可借助图形(如图)帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距，a，b，c始终满足关系式a2＝b2＋c2. 返 回 课时学案 10 例 1 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆　　　　　　 　 B．直线 C．圆 D．线段 √ 题型一　 椭圆的定义 【解析】　∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，∴由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆． 第页 11 不变 第页 探究1 (1)椭圆定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|＞0)． (2)本例(2)中的三角形周长恒为4a. 第页 4 第页 例 2　求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆过点(5，0)； 题型二　 椭圆的标准方程 第页 15 第页 第页 第页 第页 探究2 第页 思考题2　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10； 第页 第页 第页 第页 第页 例 3 题型三　 应用椭圆的标准方程求参数的取值范围 第页 26 (2)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1) √ 第页 探究3 (1)解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆两种标准方程的特点，将非标准形式化为标准形式，然后建立不等式(组)求解． (2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示椭圆，m，n中哪一个小，焦点就相应地在哪个轴上，如若0＜m＜n，则焦点在x轴上． 第页 思考题3　(1)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．若曲线C 是焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是____________． 第页 √ 返 回 课后巩固 31 √ 第页 √ 第页 第页 4．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程 是________________． 第页 5．已知椭圆过点(2，－6)，且a＝2b，则椭圆的标准方程为_______ ____________________________________． 第页 返 回 请做：课时作业（二十九） 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝______________ 【解析】　∵a2＝3，∴a＝eq \r(3). ∴△ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4eq \r(3)，且当B，C在椭圆上移动时，△ABC的周长不变． (2)已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的左焦点，且椭圆的右焦点F2在BC边上，则△ABC的周长是__________；当B，C在椭圆上移动时，△ABC的周长__________(填“变”或“不变”)． 4eq \r(3) 【解析】　连接PF2，则OM是△F1F2P的中位线， 由|OM|＝1，得|PF2|＝2. 由椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，得a2＝9，即a＝3， 则|PF2|＋|PF1|＝2a＝6. ∴|PF1|＝4. 思考题1　设O为原点，F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝1，则P点到椭圆左焦点的距离为________． 【解析】　(1)方法一(定义法)：椭圆的焦点在x轴上，由定义知2a＝|5－4|＋|5－(－4)|＝10， ∴a＝5，∵c＝4，∴b＝3， ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. 方法二(待定系数法)：∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． ∴eq \f(25,a2)＝1. ∴a＝5，又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. 【解析】　(2)∵焦距是8，即2c＝8，∴c＝4. ①若焦点在x轴上，则b＝2eq \r(6). ∴a2＝b2＋c2＝24＋16＝40.∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,24)＝1. ②若焦点在y轴上，则a＝2eq \r(6). ∴b2＝a2－c2＝24－16＝8.∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,24)＋eq \f(x2,8)＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,24)＝1或eq \f(y2,24)＋eq \f(x2,8)＝1. (2)焦距为8，经过点P(0，2eq \r(6))； 【解析】　(3)方法一：由题设知两焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，连接MF1，MF2.由椭圆定义知2a＝|MF1|＋|MF2|＝eq \r(（3＋\r(5)）2＋22)＋eq \r(（3－\r(5)）2＋22)＝eq \r(18＋6\r(5))＋eq \r(18－6\r(5))＝eq \r(15)＋eq \r(3)＋eq \r(15)－eq \r(3)＝2eq \r(15). ∴a＝eq \r(15).∵c＝eq \r(5)，∴b＝eq \r(10). ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1. (3)与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点，且过点M(3，－2)． 方法二：由题意设所求方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－5)＝1(a2>5)． ∵椭圆过M(3，－2)，∴eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1. 解得a2＝15或a2＝3(舍)． ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1. (1)求椭圆的标准方程的方法：①定义法．②待定系数法． (2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤如下： ①作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能． ②设方程：当焦点在x轴上时，设方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)；当焦点在y轴上时，设方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)；当焦点不确定时，可设其方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ③寻关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组． ④得方程：解方程组，代入所设方程即为所求． 【解析】　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. 【解析】　(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． 方法一：由椭圆的定义知2a＝eq \r(（4－0）2＋（3\r(2)＋2）2)＋eq \r(（4－0）2＋（3\r(2)－2）2)＝6＋eq \r(2)＋6－eq \r(2)＝12，解得a＝6. 又c＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(2). 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. 方法二：因为所求椭圆过点(4，3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1(a>b>0)． 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32， 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3eq \r(2))； 【解析】　(3)方法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)． 由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1； (3)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))). 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． 由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝8.)) 则a2<b2，与a>b>0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 方法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入椭圆的一般方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 【解析】　由方程eq \f(x2,k－2)＋eq \f(y2,5－k)＝1表示椭圆， 可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－2>0，,5－k>0，,k－2≠5－k，))解得2<k<5且k≠eq \f(7,2). 即当2<k<eq \f(7,2)或eq \f(7,2)<k<5时， 方程eq \f(x2,k－2)＋eq \f(y2,5－k)＝1表示椭圆． 　(1)若方程eq \f(x2,k－2)＋eq \f(y2,5－k)＝1表示椭圆，求实数k的取值范围． 【解析】　由(5－m)x2＋(m－2)y2＝8，得m≠5且m≠2，则eq \f(x2,\f(8,5－m))＋eq \f(y2,\f(8,m－2))＝1.因为椭圆的焦点在x轴上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8,5－m)>\f(8,m－2)，,\f(8,5－m)>0，,\f(8,m－2)>0，))解得eq \f(7,2)<m<5. 所以m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，5)). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，5)) 【解析】　将曲线C的方程化为eq \f(x2,5－k)＋eq \f(y2,k－3)＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3>5－k>0，即4<k<5，故“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件． (2)已知曲线C：eq \f(x2,k－5)＋eq \f(y2,3－k)＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由椭圆的定义可知椭圆上任意一点到两焦点的距离和等于2a，由a2＝7得a＝eq \r(7)，∴2a＝2eq \r(7).故选C. 1．椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,7)＝1上任意一点到两个焦点的距离之和为(　　) A．2eq \r(3)　　　　　　　　 B．4 C．2eq \r(7) D．2eq \r(10) 解析　由题意得a>4，且2eq \r(a－4)＝4eq \r(3)，解得a＝16. 2．已知焦点在y轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a)＝1的焦距为4eq \r(3)，则a＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．52 解析　首先将方程变形为eq \f(x2,2m)＋eq \f(y2,1－m)＝1. ∵它表示焦点在y轴上的椭圆， ∴1－m>2m>0，∴0<m<eq \f(1,3). 3．若方程eq \f(x2,2m)－eq \f(y2,m－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) 解析　由已知得2c＝4，a＝6，所以c＝2，则b2＝a2－c2＝36－4＝32，所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1. eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 解析　①若椭圆的焦点在x轴上，由a＝2b，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)．因为椭圆过点(2，－6)， 所以eq \f(4,4b2)＋eq \f(36,b2)＝1，所以b2＝37.所以a2＝148.此时椭圆的标准方程为eq \f(x2,148)＋eq \f(y2,37)＝1. eq \f(x2,148)＋eq \f(y2,37)＝1或eq \f(y2,52)＋eq \f(x2,13)＝1 ②若椭圆的焦点在y轴上，因为a＝2b，所以设椭圆的标准方程为eq \f(y2,4b2)＋eq \f(x2,b2)＝1(b>0)．由椭圆过点(2，－6)，得eq \f(36,4b2)＋eq \f(4,b2)＝1，所以b2＝13，所以a2＝52.此时椭圆的标准方程为eq \f(y2,52)＋eq \f(x2,13)＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,148)＋eq \f(y2,37)＝1或eq \f(y2,52)＋eq \f(x2,13)＝1. $