期末综合冲刺卷·数学(二)-【步步维赢】2025-2026学年高一下学期数学期末综合冲刺卷（人教B版）

高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（二） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.在△ABC中，BC=a,CA=b,AB=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 2.角α的终边与单位圆交于点 √525 5,5 ,则cos2a= 如 A. 5 C. D.- 的 3.已知i为虚数单位，复数-i+aD的虚部为2，则实数a= ( 1+i A.1 B.2 C.3 D.4 4.在△ABC中，点D为边AB上一点，若BCLCD,AC=32,AD=3,sin∠ABC=5,则 动 △ABC的面积是 92 2 B.152 2 C.62 D.12√2 5.如图是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点.在这个正四 帕 面体中：①DE与MN平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与 翻 MN垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是 爵 A.1 B.2 C.3 D.4 2-1 6.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，G是EF的中点，沿DE,EF,FD 将正方形折起，使A,B,C重合于点P,构成四面体，则在四面体P一DEF中，给出下列结 论：①PD⊥平面PEF;②PD⊥EF;③DG⊥平面PEF;④DF⊥PE;⑤平面PDE⊥平面 PDF.其中正确结论的序号是 A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.②④⑤ 7.函数f(x)=sinx·os(x+否)的图象的一条对称轴方程是 A广 Bx=晋 C.= 4 D.x=背 8.函数y=sinx的图象是 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知复数=4，b+4十(6仁R)的实部为一1，i为虚数单位，则复数一b在复平面内对 2 2 应的点不可能位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.设a,b,c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是 A.0·a=0 B.(a·b)c=a(b·c) C.a·b=0→a⊥b D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 2-2 11.下列命题正确的是 ( A.若复数，之2的模相等，则之1，之2是共轭复数 B.之1,2都是复数，若1十之2是虚数，则之2不是2的共轭复数 C.复数之是实数的充要条件是之=z(之是x的共轭复数) D.已知复数心1=一1十2i,2=1一i,3=3一2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A, B,C,O为坐标原点，若O心=xOA+yOB(x,y∈R),则x十y=1 12.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若tana=3,a∈(0，），则cosa-F) 14.若a,b,c均为单位向量，且a·b=0,(a一c)·(b一c)≤0，则a十b一c的值可能为 ①√2-1 ②1 ③√2 ④2 15.在△ABC中，∠A=牙，b=4,c=2V3,则∠B= ,△ABC的面积等于 (本题第一空2分，第二空3分)》 16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代建筑中首创的榫卯结构，这 种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观 看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上 看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正 方形的边长为1，现将该鲁班锁表面涂色，则需要涂色的面积为 2-3 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤 17.(10分)若角0的终边过点P(一4a,3a)(a≠0)， (1)求sin0+cos0的值； (2)试判断cos(sin0)·sin(cos0)的符号. 18.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且 ∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD; 2-4 (2)求证：AD⊥PB. 19.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,bc,且cosB=专，=2. (1)当∠A=30°时，求a的值； (2)当△ABC的面积为3时，求a十c的值. 2-5 20.(12分)E知cos(看+ajos(-a=-,e(5,) (1)求sin2a的值； 1一的值. (2)求tana-tana 2-6 21.12分E知。w=一+为脂数单位)，求。 (1)(w十2w)2+(2w+w2)2； (2)w2+1 (3)类比i(i=一1)，探讨w(w3=1,w为虚数)的性质，求w”(n∈R)的值. 2-7 22.(12分)如图，在三棱柱ABCA1B,C1中，E,F,G,H分别是AB,AC,A C A1B1,AC1的中点.求证： (1)B,C,H,G四点共面； (2)平面EFA,∥平面BCHG. 2-8∴.EN∥平面PDC. (2),四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°， E为AD中点，.BE⊥AD. 又PE⊥AD,PE∩BE=E,PE,BEC平面PEB, .AD⊥平面PEB :AD∥BC,.BC⊥平面PEB. (3)由(2)知AD⊥PB. 又PA=AB,且N为PB的中点，.AN⊥PB. .AD∩AN=A,AD,ANC平面ADMN,∴.PB⊥平 面ADMN. 又PBC平面PBC, ∴.平面PBC⊥平面ADMN. 21.解：(1)当n为偶数，即n=2k(k∈Z)时， f代x)=eos(2kx+x)·sin2(2kx-) cos2[(2×2k+1)x-x] =os2x·sin2(-x） cos2(π-x) =cosx·(-sinx)2 (-cos x)4 =sin2x; 当n为奇数，即n=2k+1(k∈Z)时， fx)=os[(2k+1)+x]·sin2[(2k+1)x-x] cos2{[2X(2k+1)+1]π-x -cos [2kx+(x)]sin2[2kx+(x)] cos2[2X(2k+1)π+（π-x)] =os(r+)·sin2(x-2 cos2(x-z) (-cos z)2sin2x (-cos x)2 =sin2z. 综上得f(x)=sin2x. (2由年f(2s)+/(0〉 siasin =sim20i8+sim'(受-20is】 =sim28+co2不=1 22.解：(1)向量BA对应的复数为1十2i,向量BC对应 的复数为3一i, ∴.向量AC对应的复数为(3-i)-(1十2i)=2-3i,设 O为坐标原点， OC=OA+AC,∴.点C对应的复数为(2+i)十(2 -3i)=4-2i. 在平行四边形ABCD中，AD=BC,∴.向量AD对应 的复数为3一i, .AD=(3,-1). 设D(x,y),则AD=(x-2,y-1)=(3,-1), 3.部裕8点D对应的复数 y=0." 为5. (2)BA.BC=BA BCI cos B, ..cos B=- BA·BC =3-2=1=2 1BA|BC15X√05√210 长长如-温8n=成 血B=5x而x得-7 高一第二学期期未综合冲刺卷·数学（二） 1.D 2.D根据题意可得：sina= 5,cos a=5 2√ ,c0s2a= 3.C 之=il+am=i+ai(1-边=-a+iD1-iD」 1+i(1+i)(1-i) 12+士安=2，解得0=3 2 2 4.Ccos∠ADC=cos(∠CBA+5)=-sin∠CBA= ,且AC=3,AD=反在△ACD中，由余弦定 理可得3②)2=3+CD-2xCD×(）解得 CD=3.在Rt△BCD中，易得BD=3√5，BC=3√2. 则S△c=×4X3Ex5=6厄.故选C 5.C将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B, C)DEF,如图.对于①，M,N分别为EF,AE的中 点，∴.MN∥AF,而DE与AF异面，故DE与MN不 平行，故①错误.对于②，BD与MN为异面直线，正确 (假设BD与MN共面，则A,D,E,F四点共面，与 ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与 MN异面).对于③，依题意，GH∥AD,MN∥AF, ∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确.对于 ④，连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上， .DE⊥平面AGF,.DE⊥AF,而AF∥MN, ∴.DE与MN垂直，故④正确.综上所述，正确命题有3个. A(B,C) H(N) M 6.C如图所示，因为E,F分别为AB,BC的中点，所 以BD⊥EF, 因为DA⊥AE,DC⊥CF,所以折叠后DP⊥ PE,DP⊥PF, 所以DP⊥平面PEF,所以①正确： 由DP⊥平面PEF,EFC平面PEF,所以DP⊥EF, 所以②正确： 由DP⊥平面PEF,根据过一，点有且只有一条直线垂 直于一个平面， 所以DG⊥平面PEF是不正确的，所以③不正确； 由PE⊥PF,PE⊥DP,可得PE⊥平面DPF,又 DFC平面DPF, 所以PE⊥DF,所以④正确； 由PE⊥平面DPF,又PEC平面PDE,所以平面 PD⊥平面DPF,所以⑤正确， 综上可知，正确的结论序号为①②④⑤，故选C. P(A,B,C) D n2x-1上2-5n2z+s2- sin'r=B 4 }合n(+)子 x)=sin(2z+吾）厂 令2z+百=受十x(∈Z),解得x=吾+经(k∈ 6 Z),k=0时1=否，故选B 8.D由于函数y=sinx2是一个偶函数，选项A、C的 图象都关于原点对称，所以不正确；选项B与选项D 的图象都关于y轴对称，在选项B中，当2=士受时， 函教y=in2<1,显然不正确，当x=士√受时， )=m=1,而V层<受故选D 9.ABD复数8=1+生6ER)的实布为-1，则 4b=-1,即b=6,∴x=-1+5i, 2 .之=-1-5i. 复数x一b=一1一5i-6=-7-5i,在复平面内对应的 点的坐标为(-7，一5)，位于第三象限.故选ABD. 10.AB 11.BC对于A,之1，之2可能是相等复数，故A错误；对 于B,若1和之2是共轭复数，则相加为实数，不会为 虚数，故B正确；对于C,由a十i=a一bi得b=0,故 C正确，对于D,由题可知A(-1,2),B(1,-1), C3,-2》,建这子式22年好我D 错误. 12.BD对于A,由AB与CE所成角为45°，可得直线 AB与平面CDE不垂直：对于B,由AB⊥CE, AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;对 于C,由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平 面CDE不垂直；对于D,由ED⊥平面ABC,可得 ED⊥AB,同理，EC⊥AB,可得AB⊥平面CDE.故 选B、D. 13.解析：sina+cos2a=1,∴.tan2a+1= cos2a' 1 ∴.cos2a= tan2a+1 又：ae(0,受)tana=3, 1 cosa3十110，解得c0sa= 10 10 于是sma=-osa1-()】 10 cos(e-）-号(csa+sin=2 案 14.①② 15,解析：在△ABC中，由正弦定理得sinB=bsin A a Xm受-L 2√5 又∠B为三角形的内角心∠B=受， .c=√0-a=√42-(25)2=2， “SaBc=2×2X2,F=25. 答案：父25 16.解析：由题图可以转化为求6个组合 体（如图）的表面面积的和，所以需要 涂色的面积为6×[1×2+2.5×1×2 +(2×2.5-1×0.5)×2]=96. 2.5 答案：96 0.5 17.解：(1)因为角0的终边过点 05 P(-4a,3a)(a≠0)， 05 所以x=-4a,y=3a,r=5a, 当a>0时，r=5a,sin0+cos0=一 1 当a<0时，r=-5a,sin0+cos0=5 (2)当>0时，sm0=∈(0，受) ms9=-∈（0） 则cos(sin)·sin(cos) =os子sm(-)<0: 当a<0时，sin0=- e(-吾o cos0=号∈(0，受）· 则cas(sin0)·sin(cos0)=cos(-号）·sin号>0. 综上，当a>0时，cos(sin)·sin(cos)的符号为负： 当a<0时，cos(sin0)·sin(cos8)的符号为正. 18.证明：(1)在菱形ABCD中，G为AD的中点， ∠DAB=60°. .BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD =AD, BG⊥平面PAD. (2)连接PG,如图， ,△PAD为正三角形，G为AD的 中点，.PG⊥AD 由(1)知BG⊥AD,PG∩BG=G, AD⊥平面PGB, PBC平面PGB,∴AD⊥PB 19,解：1)因为c0sB=号>0，∠BE0,90. 所以如B=子 理品AB可得n0号 由正弦定理a 10 所以u= (2)因为△ABC的面积S=ac·sinB,snB=号 所以3 0ac=3,ac=10. 由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B, 即4=a2+c2-号ac=a2+c2-16,即u+c2=20 所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 因为a十c>0,所以a十c=2WI0. 20.解：1)rcos(+a)cos(号-a) =cos(g+a）小·sin(答+a） sin(2a+晋）=子sin(a+吾）=-2 :ae(g,受）∴2a+5∈(x,) ∴os(a+）=5, sin2a=sin[(2a+）-晋] =sm(2a+晋)ms登-os(a+管)m音-2 (2:ae(肾，受）∴2a∈(x), 又由(1)知sin2a= 2,'.cos 2a= 2 1 ∴.tana一 sin a cos asin'a-cos'a tan a cos a sin a sin acos a 3 -2c0、2a=-2X2=25. sin 2a 1 2 81解：aw=子+9w2=一令 22 i=0,w3=1, w2+w+1=0,w·0=1, ∴.(uw+2w2)2+(2w+w2)2=w2+4a3+4w+4w2+ 4w3+w=5w2+5w+8=3. (22+2=0+1_+1-g2=-1. w w (3)由1可知w2=子 i=0,w3=1, 1,n=3k, w”=w,n=3k-2,k∈Z. w,n=3k-1. 22.证明：(1)GH是△A1B1C1的中位线， .GH∥B1C. 又：B1C1∥BC,∴.GH∥BC, B,C,H,G四点共面. (2)E,F分别为AB,AC的中点， .EF∥BC. 又EFt平面BCHG,BCC平面BCHG, .EF∥平面BCHG .AG∥EB且A1G=EB, ∴.四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ,AEt平面BCHG,GBC平面BCHG, .AE∥平面BCHG. ,AEC平面EFA1,EFC平面EFA1, 且A1E∩EF=E, .平面EFA1∥平面BCHG 高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（三） 1.B角a的终边过点(-1,2)， ∴.cosa= /5 -5 2a=2aw。-1=2x(- )-1=-故选B 2.3cos+cos(-）=cosz+cosos sin xsin=3cos 3 (分m+gsr）=6s(-晋)-x号-1. 故选B. 3.B因为a=2,c=√2， 2 √ 所以由正弦定理可知，snA一simC 故sinA=√2sinC. 又B=x-(A十C), sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C =sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C =(sin A+cos A)sin C =0. 又C为△ABC的内角， 故sinC≠0， 则sinA+cosA=0,即tanA=-1. 又A∈(0，x,所以A=要 从两simC=。simA=马x2-是 √ 2 2=2 由A-3还知C为锐角，故C=,故选B, 4 4.D异面直线m,n所成的角是60°，在①中，由异面直 线m,n所成的角是60°，在m上任取一点A,过A作 直线n'∥n,在空间中过点A能作出直线l,使得1与 n,n的夹角均为60°，∴.存在直线l,满足1与m,n的夹 角都是60°，故①正确：在②中，在n上取一点B,过B 作直线m'∥m,则以m,m'确定的平面a,满足mCa, n与a所成的角是60°，故②正确：在③中，在n上取一 点C,过C作直线m∥m',m,m'确定一个平面a, ∴.过n能作出一个平面B,满足mCa:nCB,a与B所 成锐二面角为60°，故③正确.故选D. 5.D当点E为棱CC1的中点时，A1C∥EF,可得 A1C1∥平面BED1F;因为B1D与BD1不垂直，因此 B1D⊥平面BED1F不成立：因为正方体的体对角线 BD1与平面A1C1D垂直，因此平面A1CD⊥平面 BED1F;四棱锥B1-BED1F的体积等于2VB,-BED,= 2YD,-E,=2X号·D1C·2·BB1·BC为定值， 故选D. 6.C依题意，由三视图还原出原几何体的直观图如图所示， 原几何体为四棱维，且其底面积为2×2X1十2)=3，高为 所以共体积-子X3一号所以一号 3 D B 3 3(1+2i) 5 的实那为子，故选B 8.C AB2-AB.AC=BA.BC+CA.CB, AB (AB-AC)=BC.(BA-CA), 即AB·CB=BC·BC,