2024-2025学年单县一中高一数学下学期期末考前模拟试卷综合提升4

**基本信息** 高一期末模拟卷，涵盖向量、概率、立体几何等，以租车费用、BMI分析等现实情境题和奔驰定理创新题，考查数学眼光、思维与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题77分|解三角形、概率统计、立体几何、创新定理应用|第16题结合低碳生活情境，第19题引入奔驰定理，体现探究性与应用意识|

单县一中高一期末考前模拟试卷综合提升4 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是(     ) A. B. C. D. 2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用按比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有和名学生，则正确的(     ) A. 高中部产生个样本 B. 初中部产生个样本 C. 不同级部每个学生被抽取的可能性不相同 D. 可以从两个级部各抽取个样本 3.已知为虚数单位，若复数，则下列四个选项正确的是(     ) A. 复数 B. 若是复数的共轭复数，则 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点位于第一象限 4.现有双不同的鞋子，从中随机取出只，则取出的鞋都是左脚的概率是(     ) A. B. C. D. 5.已知的周长为，面积为，，则边的长为(     ) A. B. C. D. 6. 已知向量满足，则(　　) A． B． C．0 D．1 7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 8.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则(     ) A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.已知等边的边长是，是其重心，为边上一点，且，则能得到(     ) A. B. C. D. 10.小明在一次面试活动中，位评委给他的打分分别为：、、、、、、、、、则下列说法正确的有(     ) A. 这个分数的中位数为 B. 这个分数的第百分位数为 C. 这个分数的平均数大于中位数 D. 去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小 11.在三棱锥中，两两垂直，，点分别在侧面和棱上运动且为线段的中点，则下列说法正确的是(     ) A. 三棱锥的内切球的半径为 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 点到底面的距离的最小值为 D. 三棱锥的体积的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为          ． 13.在中，，，点O是的外心，则__________. 14.如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，若，，有以下结论： 直线与所成角的大小为； 二面角的大小为； 三棱锥的体积为； 直线与平面所成角的正弦值为则正确结论的序号为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.本题分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求A； 若，，求周长． 16.本题分本着健康、低碳的生活理念，景区租赁自行车骑游也成为旅游景区内的一大特色．某景区自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时． (1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． 17.本题分 BMI(身体质量指数)是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：中国成人的BMI数值参考标准为：BMI<18.5为偏瘦；BMI<24为正常；24BMI<28为偏胖；BMI为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的BMI值，整理得到如下的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； (2)估计该公司员工的BMI值的众数，中位数； (3)已知样本中60名男员工BMI值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工BMI值的平均数． 18.本题分如左图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，为的中点，如右图． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求证：平面平面； Ⅲ线段上是否存在点，使得平面？说明理由． 19.分  奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.   (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 单县一中高一期末考前模拟试卷综合提升4数学答案和解析 1.B  2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.ABD 10.ABD 11.BC 12. 13. 14. ①②④ 7.A 解：因为 ， 由正弦定理得，则， 所以，又，所以， 由，得， 所以 ，又，， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为 ．故选A． 8.C 解：对于在中，，则，，，故圆锥的体积，故A错误； 对于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为，弧长为， 故圆锥的侧面积为，故B错误； 对于取中点，连接，则， 则为二面角的平面角，即， 在中，，故， 在中，， 故，故C正确； 对于，，，故D错误．故选C． 9.ABD 解：对，因为，所以， 则，故A对； 对，因为为等边三角形的重心， 所以，故B对； 对，因为，所以，则，故C错； 对因为，所以， 则故D对．故选ABD． 11.BC 解：对于，因为  两两垂直，  ， 所以  ，  ，  ， 所以  ， 设三棱锥  的内切球的半径为  ，则  ， 所以  ， 解得  ，所以A错误， 对于，因为  两两垂直，所以将三棱锥  补成如图所示的长方体， 则长方体的体对角线等于三棱锥  外接球的直径， 设三棱锥  外接球半径为  ，则  ，解得  ， 所以三棱锥  的外接球的表面积为  ，所以B正确， 对于，因为  ，  ，  平面  ， 所以  平面  ， 因为  平面  ，所以  ，所以 ， 因为  为线段  的中点，所以  ， 所以点  的轨迹是以  为球心，为半径的  球面， 设点  到平面  的距离为  ， 因为  ，所以  ， 所以  ，解得  ， 所以点  到底面  的距离的最小值为  ，所以C正确， 对于，由选项C可知点  的轨迹是以  为球心，为半径的  球面， 因为  的面积为定值，所以当点  到底面  的距离最大时，三棱锥  的体积最大，设球面分别交  于点  ， 因为  ，所以当点  与点  或  重合时，点  到底面  的距离最大，设为  ，则有  ，得  ， 所以三棱锥  的体积的最大值为  ，所以D错误，故选BC． 13. 解：故答案为 14.①②④  解：过作，且，连接，，如图， 则四边形是平行四边形，即且， 所以是直线与所成角或其补角， 因为，，则，，而，，平面， 所以平面，平面，所以，  ，所以，故正确； 因为，即，又，则是二面角的平面角， 又，因此，即是等边三角形， 所以，故正确；因平面，，则平面平面， 在平面内过作于，平面平面，平面，于是得， ，而，   ，故不正确； 连接，因，则是直线与平面所成角，  ，故正确．故答案为①②④ ． 15.(分解：：，， 又， (5分) (2) 由正弦定理可知结合得 ，而， (8分) (3) 由得(9分) 则的周长为 (13分) 16. 【答案】解：分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件，，  则，  甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，．  记两人所付的租车费用之和小于元为事件，所付租车费之和为元、元、元的概率分别为、、，  则，  ，   甲、乙两人所付的租车费用之和小于元的概率为 17.（1）由题意得，，解得：， 由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为； （2）由频率分布直方图可得，众数为， 因为，， 故中位数在，设为，则； （3）设样本平均数为，则由频率分布直方图可得； ， 又，即，解得：． 18.(分Ⅰ证明：如图，取线段的中点，连接，． 因为在中，，分别为，的中点，所以 ，． 因为，分别为，的中点，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形，(3分) 所以 ．又因为 平面，平面， 所以 平面．(5分) Ⅱ证明：因为在中，，分别为，的中点，， 所以 ，所以E.又为的中点，所以 ． 因为平面平面，且平面，平面平面， 所以 平面，(7分) 因为平面，所以 在中，，， 所以根据勾股定理逆定理可得，(9分) 又因为，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面．(11分) Ⅲ解：线段上不存在点，使得平面理由如下： 假设线段上存在点，使得平面， 连接，，则必有 ，且． 在中，由为的中点，，得为的中点． 在中，因为，所以，这与，矛盾． 所以线段上不存在点，使得平面． (17分) 19.（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为， 由可得，即， 由，不妨设，故， 设，则,故, 由于与共线，而与不共线，因此必然，故，   （2）设外接圆的半径为, 则由得， 即， 由于，所以, 因此，又， 所以 , 由于三角形为锐角三角形，所以，解得，故, 故当时，取最小值， 当或时，，故. 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $