期末综合冲刺卷·数学(一)-【步步维赢】2025-2026学年高一下学期数学期末综合冲刺卷（人教B版）

高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（一） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.点A(sin2019°，cos2019°)位于 ( A.第一象限 B.第二象限 如 C.第三象限 D.第四象限 金删 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=2C,则b= A.ccos C B.2ccos C C.ccos A D.2ccos A 3.在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,AB.AD=-1,点M在边CD上，则MA·MB 的最大值为 剂 A.2 B.√3-1 C.0 D.√2-1 4.已知某正三棱锥的侧校长大于底边长，其外接球体积为百，三视图如图所示，则其侧视 图的面积为 正视图 侧视图 -25 俯视图 柔 A. B.2 C.4 D.6 1-1 5.设1，m,n表示三条不同的直线，a,3,y表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若l⊥a,m⊥a,则l∥m; ②若mCB,n是l在平面3内的射影，l⊥m,则n⊥m; ③若mCa,n∥m,则n∥a; ④若y⊥a,y⊥B,则a∥B. 其中真命题为 A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④ 6.如图，已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2，点E为线段CD1的中点，则直线AE与 平面A,BCD,所成角的正切值为 ( B A号 3 2 D.2 ,已知复数三心2是虚数单位)，则之的实部为 A B号 c- D吉 8.若在△ABC中，W5sin-A-3sin(π-A),且cosA=-√3cos(x-B),则△ABC为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列命题中正确的是 A.对于任意向量a,b,有a十b≤a十b B.若a·b=0,则a=0或b=0 1-2 C.对于任意向量a·b,有a·b≤aIb D.若a,b共线，则a·b=士ab 10.如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 A.A=O心 B.A∥D C.AD=BE D.ACI=BE 11.已知i是虚数单位，a,b∈R,若(a十bi)2=2i,则复数x=a十bi对应的点为 A.(1,1) B.1,-1) C.(-1,-1) D.(-1,1) 12.已知函数f(x)=cos,则下列等式不成立的是 A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=f(x) C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x) 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设&，β∈[0，π]，且满足sin acos B-cos asin B=1,则sin(2a一B)+sin(a-23)的取值范围 为 14.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点， E,F分别是点A在PB,PC上的射影，给出下列结论： ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是 15.在△ABC中，SA=子(d2+6-2),b=1,a=J2,则c= 16.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另 一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x= 1-3 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤 17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2). (1)设c=4a十b,求(b·c)a; (2)若a十λb与a垂直，求入的值； (3)求向量a在b方向上的投影. 1-4 18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且osB+cosC=5sinA c 3sin C' (1)求b的值； (2)若cosB+√3sinB=2,求△ABC面积的最大值. 19.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4,O为AC的 中点. (1)证明：PO⊥平面ABC; 1-5 (2)若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离. 20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底 面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A,D, N的平面交PC于点M.求证： (1)EN∥平面PDC; (2)BC⊥平面PEB; 1-6 (3)平面PBC⊥平面ADMN. 21.(12分)已知f(r)=eos(nrtD）:sim(r(n∈. cos[(2n+1)π-x] (1)化简f(x)的表达式； (2)求f2s)+f(06)的值. 1-7 22.(12分)已知i为虚数单位，在复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2+i, 向量BA对应的复数为1+2i,向量BC对应的复数为3-i,求： (1)点C,D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积. 1-8参考答豸 高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（一） 1.C因为sin2019°=sin(11×180°+39) =-sin39°<0，cos2019°=cos(11×180°+39)= -cos39°<0，所以点A(sin2019°，cos2019°)位于第 三象限. 2.B由B=2C,可得sinB=sin2C=2 sin Ccos C,根据 正弦定理可得b=2 ccos C,故选B. 3.A,在平行四边形ABCD y 中，AB=2,AD=1,AB·AD 2 =-1,点M在边CD上， ∴.|AB·|AD|·cosA=-1,D I M ∴csA=-子dA=120以 O(A A为原点，以AB所在的直线 为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标 系，则A0.0.2.0.D(-号）) Mi=(2-,-9)MiM=(x-2)+是 2-2x+=(x-12-.设f)=(x-12- 则)在[合1)上单粥运减，在[1,2]上单满递 增∴fxm=fI)=子fx)ms=f(-合)=2， .MA.MB的最大值是2.故选A. 4.D设正三棱锥外接球的半径 为R, 则含R3=1哈5>R=号 6 由三视图可得底面边长为2√3， 底面正三角形的高为5×2后= E 3,底面三角形外接圆半径为子× 3=2由为股定理得（侵）=2 +(么含)得A=4. 侧视图西积为S6E=子X3X4=6,故选D. 5.A由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一 个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题；易得 ②为真命题：根据直线与平面平行的判定定理，平面 外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平 面平行，③中缺少条件n丈a,所以得到的结论可能为 n∥a,也可能为nCa,所以③为假命题；若a⊥Y,B⊥Y, 则得到的结论可能为B∥α，也可能为B,a相交，所以④ 为假命题. 6.A如图，连接AB1交A1B于点F,连接EF.因为 AF⊥A1B,AF⊥BC,所以AF⊥平面A1BCD1,所以 ∠PBA为所求线面角因为n∠PE1-茶-号-号， 案与详解 所以直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为 2 故选A. D 3 3(1+2i) 7.B0-20中2苑号+号1 的实部为子故选B。 8.B5sin(2-A）=3sin(x-A)化为5cosA=3sinA. 则anA-号，剥A=吾，osA=cs(x-B的化为 c0s吾=5cosB,即cosB=,所以B=子，故 △ABC为直角三角形，故选B. 9.ACD当a⊥b时，a·b=0也成立，故B错误.ACD 正确，故选ACD. 10.ABC设正六边形ABCDEF的边长为a,依次分析 各选项： 对于A,由正六边形的性质可得AB与OC平行且 相等， 则有A方=O心，故A正确； 对于B,由正六边形的性质可得AB与DE平行， 即AB∥DE,故B正确； 对于C,在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中 心O,则有AD=BE=2a, 即有AD1=|BE1,故C正确： 对于D,在正六边形ABCDEF中， AC=√5a,BE=2a, 则AC1≠|BE1,故D错误. 11.AC由a,b∈R,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,得 .所以侣份-故选A心 12.AB0对于A2x-x)=6o22=co(x-专） =-c0s号≠f(x),A不成立： 对于B,f2x十x)=cos2r寸=cos(x+受) 2 一c0s乞≠f(x),B不成立： 对于C,f-)=c0s2=cos受=f(x)≠-f, C不成立，D成立.故选ABC. l3.解析：因为sin acos B-cos asin B=sin(a一)=1，a, Be[0,x],所以a-月=受，可得a=受+Bc[0,x],所 以7+c[至]，又+9e[登]，所以+ c[子]，所以s(+)[-]所以 sin(2a-8)+sin(a-2B)=sin(B+x)+sin(-B)- cos B-sin=2cos(B+于)∈[-1,1]： 答案：[-1,1] 14.解析：①由于PA⊥平面ABC,因此PA⊥BC,又 AC⊥BC,因此BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF,由于 PC⊥AF,因此AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB;②因为 AE⊥PB,AF⊥PB,所以PB⊥平面AEF,因此 EF⊥PB:③在①中已证明AF⊥BC:④若AE⊥平面 PBC,由①知AF⊥平面PBC,由此可得出AF∥AE,这 与AF,AE有公共点A矛盾，故AE⊥平面PBC不 成立.故正确的结论为①②③. 答案：①②③ 1 15.解析：S△ABc=2 absin C, ∴2 abinC=(a2+b-e3). ∴.a2+b2-c2=2 absin C. 由余弦定理得，2 abcos C=2 absin C, ∴.tanC=1,∴.∠C=45°， .∴c=√/a2+b-2 abcos C-=√3-2=1. 答案：1 16.解析：如图所示，设蜘蛛原 来在O点，先爬行到A点， 0i05 再爬行到B点，易知在 △AOB中，AB=10cm, ∠OAB=75°，∠ABO=45°， 0 B 则∠AOB=60°.由正弦定 35 理知： x=AB·sim∠AB0_10Xsin45°_10 sin∠AOB sin 60 3 (cm). 答案：106 3 17.解：(1)a=(1,2),b=(2,-2), ∴.c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ..b·c=2×6-2×6=0, ∴.(b·c)a=0,a=0 (2)a+λb=(1,2)+(2,-2)=(2λ+1,2-2)， 由于a十b与a垂直， 2+1+22-2)=0A=号 以的位为号 (3)设向量a与b的夹角为0，向量a在b方向上的投 影al cos. ..lalcos0-a:b_1X2+2X(-2) b √22+(-2)7 2 2√2 21 18.解：(1)由题意及正、余孩定理得2十c2- a2+b-c2-3a 2abc 3c 2 业理将益受 b=√5 (2)由题意得cosB+5sinB=2sin(B+否)=2， sim(B+晋）=1. B∈(0，π)， B=子 由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B, ∴.3=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac, ∴ac≤3，当且仅当a=c=√5时等号成立. esin s=。 241 ·△ABC面积的最大值为3 4 19.(1)证明：因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点， 所以OP⊥AC,且OP=23. 连接OB,周为AB=BC-号AC, 所以△ABC为等腰直角三角形， 且OB⊥AC.OB=2AC=2. 由OP2+OB2=PB2知，OP⊥OB. 由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC. 01 B M (2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH, 所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离. 由题设可知0C=合AC=2.CM=号BC=4g, 31 ∠ACB=45. 所以oM-2.cH-MC:∠ACB_ OM 5 所以点C到平面POM的距离为45 51 20.证明：(1).AD∥BC,BCC平面PBC, AD亡平面PBC '.AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC =MN, .AD∥MN.又.AD∥BC,∴.MN∥BC. 又N为PB的中点，M为PC的中点， MN=专BC. :E为AD的中点，DE=2AD=号BC=MN, .DE LMN,∴.四边形DENM为平行四边形， ∴.EN∥DM.又ENt平面PDC,DMC平 面PDC, ∴.EN∥平面PDC. (2),四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°， E为AD中点，.BE⊥AD. 又PE⊥AD,PE∩BE=E,PE,BEC平面PEB, .AD⊥平面PEB :AD∥BC,.BC⊥平面PEB. (3)由(2)知AD⊥PB. 又PA=AB,且N为PB的中点，.AN⊥PB. .AD∩AN=A,AD,ANC平面ADMN,∴.PB⊥平 面ADMN. 又PBC平面PBC, ∴.平面PBC⊥平面ADMN. 21.解：(1)当n为偶数，即n=2k(k∈Z)时， f代x)=eos(2kx+x)·sin2(2kx-) cos2[(2×2k+1)x-x] =os2x·sin2(-x） cos2(π-x) =cosx·(-sinx)2 (-cos x)4 =sin2x; 当n为奇数，即n=2k+1(k∈Z)时， fx)=os[(2k+1)+x]·sin2[(2k+1)x-x] cos2{[2X(2k+1)+1]π-x -cos [2kx+(x)]sin2[2kx+(x)] cos2[2X(2k+1)π+（π-x)] =os(r+)·sin2(x-2 cos2(x-z) (-cos z)2sin2x (-cos x)2 =sin2z. 综上得f(x)=sin2x. (2由年f(2s)+/(0〉 siasin =sim20i8+sim'(受-20is】 =sim28+co2不=1 22.解：(1)向量BA对应的复数为1十2i,向量BC对应 的复数为3一i, ∴.向量AC对应的复数为(3-i)-(1十2i)=2-3i,设 O为坐标原点， OC=OA+AC,∴.点C对应的复数为(2+i)十(2 -3i)=4-2i. 在平行四边形ABCD中，AD=BC,∴.向量AD对应 的复数为3一i, .AD=(3,-1). 设D(x,y),则AD=(x-2,y-1)=(3,-1), 3.部裕8点D对应的复数 y=0." 为5. (2)BA.BC=BA BCI cos B, ..cos B=- BA·BC =3-2=1=2 1BA|BC15X√05√210 长长如-温8n=成 血B=5x而x得-7 高一第二学期期未综合冲刺卷·数学（二） 1.D 2.D根据题意可得：sina= 5,cos a=5 2√ ,c0s2a= 3.C 之=il+am=i+ai(1-边=-a+iD1-iD」 1+i(1+i)(1-i) 12+士安=2，解得0=3 2 2 4.Ccos∠ADC=cos(∠CBA+5)=-sin∠CBA= ,且AC=3,AD=反在△ACD中，由余弦定 理可得3②)2=3+CD-2xCD×(）解得 CD=3.在Rt△BCD中，易得BD=3√5，BC=3√2. 则S△c=×4X3Ex5=6厄.故选C 5.C将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B, C)DEF,如图.对于①，M,N分别为EF,AE的中 点，∴.MN∥AF,而DE与AF异面，故DE与MN不 平行，故①错误.对于②，BD与MN为异面直线，正确 (假设BD与MN共面，则A,D,E,F四点共面，与 ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与 MN异面).对于③，依题意，GH∥AD,MN∥AF, ∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确.对于 ④，连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上， .DE⊥平面AGF,.DE⊥AF,而AF∥MN, ∴.DE与MN垂直，故④正确.综上所述，正确命题有3个. A(B,C) H(N) M 6.C如图所示，因为E,F分别为AB,BC的中点，所 以BD⊥EF, 因为DA⊥AE,DC⊥CF,所以折叠后DP⊥ PE,DP⊥PF, 所以DP⊥平面PEF,所以①正确： 由DP⊥平面PEF,EFC平面PEF,所以DP⊥EF, 所以②正确： 由DP⊥平面PEF,根据过一，点有且只有一条直线垂 直于一个平面， 所以DG⊥平面PEF是不正确的，所以③不正确； 由PE⊥PF,PE⊥DP,可得PE⊥平面DPF,又 DFC平面DPF, 所以PE⊥DF,所以④正确； 由PE⊥平面DPF,又PEC平面PDE,所以平面 PD⊥平面DPF,所以⑤正确， 综上可知，正确的结论序号为①②④⑤，故选C. P(A,B,C) D