期末综合冲刺卷·数学(十)-【步步维赢】2025-2026学年高一下学期数学期末综合冲刺卷

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（十） (满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,则△ABC 的形状为 ( 如 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 尔 2.已知非零向量m,n满足4m=3n,c0sm,m心-号，若nL(m十m),则实数：的值为 A.4 B.-4 c D.-9 3.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面 邻 积等于 A.2 2√22 4 B.2√2a2 D. 4.已知非零向量a,b,满足|a=2b且(a一b)⊥b,则a与b的夹角为 帕 A晋 B.哥 c n. 阳 5.已知三棱柱ABC一AB,C1,平面B截此三棱柱，分别与AC,BC,B,C1、A,C1交于点E,F, G,H,且直线CC1∥平面B.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面 B∥平面ABB,A1;③若三棱柱ABCA,B,C1是直棱柱，则平面3⊥平面A,B,C,.其中正 童 确的命题为 A.①② B.①③ C.①②③ D.②③ 10-1 6.某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋 进行检验，用系统拙样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是 A.6,12,18,24,30 B.2,4,8,16,32 C.2,12,23,35,48 D.7,17,27,37,47 7.复数的共钜复数是 C.-z D.+ 8.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据 标准，产品长度在区间[20,25)中为一等品，在区间[15,20)和[25,30)中为二等品，在区 间[10,15)和[30,35]中为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其 为二等品的概率是 频率 组距 0.06 0.04 0.03 0.02 01101520253035K度/毫米 A.0.09 B.0.45 C.0.35 D.0.15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是 A.若AM=2AB+2AC,则点M是边BC的中点 B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上 C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心 D,若Ai=xA店+yAC,且x十y=?,则△MBC的面积是△ABC面积的号 10-2 10.如图，在正三棱柱ABC-A1B,C1中，上、下底面为边长为2的等边三角形，高AA1=3, 现用一个截面把它分割为完全相同的两个小三棱柱，则两个小三棱柱的表面积之和比 原三棱柱增加了 A C A.√3 B.2√3 C.4√3 D.6√3 11.如图，四棱锥S一ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的 是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，平面a,β，y两两相交，a,b,c为三条交线，且a∥b,则a与c,b与c的位置关系 是 13.下列说法：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等； ④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量 是共线向量.其中说法错误的是 .（填序号) 14.已知在四面体P一ABC中，PA=PB=4,PC=2,AC=2√5，PB⊥平面PAC,则四面体 P一ABC外接球的体积为 10-3 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文宇字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设x=log(m-1)+ilog2(5-m)(m∈R). (1)若之是虚数，求m的取值范围； (2)若x是纯虚数，求m的值. 10-4 16.(15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=4,A1A=5, 现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C,来获取食物，试画出它 B 的最短爬行路线，并求其路程的最小值 10-5 17.(15分)甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩 ,忄分数 16 甲： 情况如图所示. 15 乙： 14 13 (1)分别求出两人得分的平均数与方差； 12 11 10 0第第第第第次数 四五 次次次次次 (2)根据图和(1)算得的结果，对两人的训练成绩做出评价 10-6 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60°，PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1CD AE; (2)PD⊥平面ABE. 10-7 19.(17分)如图，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠ACB= 90°，∠BAC=60°，PA=AC,M为PB的中点. M C (1)求证：PC⊥BC; (2)求二面角M-AC-B的大小. 10-8P(B)=1-0.2×0.1=0.98,即目标被击中的概率是 0.98. (4)设事件E=“至少有一人击中目标”， 因为E=(AB)U(BA)U(AB), 且A与B,B与A,A与B相互独立，AB,BA,AB彼 此互斥，所以P(E)=P[(AB)U(BA)U(AB)] =P(AB)+P(BA)+P(AB) =P(A)·P(B)+P(B)·P(A)+P(A)·P(B) =0.8×0.1+0.9×0.2+0.2×0.1=0.28. 故至多有一人击中目标的概率为0.28. 19.解：设圆锥形杯子的高为hcm,要使冰淇淋融化后不 会溢出杯子，则必须V圆雏≥V半球， Vg=号S=3h=子×4Xh. 1 3 候题高：晋×4×>日×智×， 解得h≥8， 即当圆锥形杯子杯口直径为8cm,高大于或等于 8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子. 又因为S回锥侧=元rl=π√2十r2, 当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小， 所以高为8cm时，制造的杯子最省材料. 高一下学期期未综合冲刺卷·数学（十） 1.A(OA-OC)·(OB+OC-2OA)=0,即CB· (AB+AC)=0,.AB-AC-CB...(AB-AC).(AB+ AC=0,即AB=|ACl,∴△ABC是等腰三角形.故选A 2.B由n⊥(tm+n)可得n·(tm+n)=0,即m·n+ n2=0,所以t=一n2 n2 m·nm·ncos<m,n) m×号-9x治--发n |n2 3.B根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则.可 以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积 S之间的关系是S=S,本题中直观图的面积为 4 42,所以原平面四边形的面积等于Q=22a3.故选B. √2 4 4.B设a与b的夹角为0， (a-b)⊥b,∴.(a-b)·b=0,即a·b-|b12=0. 又a·b=|ab·cos0,a=2|bl, .2b12cos0-b2=0,cos0=2 1 又0≤)=子故选B 5.B在三棱柱ABC-A1BC1中，平面B截此三棱柱，分 别与AC,BC,B1C1,A1C交于点E,F,G,H,且直线 CC∥平面3，则CC∥EH∥FG,且CC=EH=FG, ∴.四边形EFGH是平行四边形，故①正确； EF与AB不一定平行 ∴.平面3与平面AB1A1平行或相交，故②错误； 若三棱柱ABC一A1B1C1是直棱柱，则CC1⊥平 面A1B1C. .EH⊥平面A1B1C1, 又：EHC平面B, ∴.平面B⊥平面A1B1C,故③正确.故选B. 6.D 0由气-汁得号} 2一21，所以 共轭复数为2十故选D, 8.B由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5= 0.3,三等品的频率为0.02×5十0.03×5=0.25，所以二等 品的频率为1一(0.3十0.25)=0.45.用频率估计概率可得 随机抽出1件产品为二等品的概率为0.45.故选B. 9.ACDA.A应=号AB+号AC→2Ai-号A成 AC-2A立，即B成i-M心， 则，点M是边BC的中点； B.AM=2AB-AC,则点M在边CB的延长线上，所 以B错误. C.如图，设BC中点D,则AM=一 BM-CM=MB+M心=2MD,由重 心性质可知C成立. D.AM=xAi+yAC,且x+y=2 1 →2AM=2xAB+2yAC,2.x+2y=1,设AD=2AM, 所以AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D 三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的号 故选ACD】 10.BD若截面过AA1,BB1,CC1的中点时，两个小三 棱柱的表面积之和比原三棱柱的表面积增加了 2SAA=2××2=2B:若裁西过A4及B,C的 4 中点和BC的中，点时中，表面积增加了2倍的边长分别 为√和3的矩形的面积，即2X√X3=6√5.故选BD. 11.ABC对于选项A,由题意得SD⊥AC,AC⊥BD, SD∩BD=D,SD,BDC平面SBD,∴.AC⊥平面 SBD,故AC⊥SB,故A正确；对于选项B, AB∥CD,ABt平面SCD,CDC平面SCD, 9 ∴AB∥平面SCD,故B正确；对于选项C,由对称性 知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所 成的角相等，故C正确.故选ABC 12.解析：a∥b,aCa,ba,∴.b∥a. 又.bC3,a∩8=c,∴.a∥b∥c. 答案：a∥b∥c 13.解析：根据定义知，平行向量是方向相同或相反的两 个非零向量，平行向量也叫共线向量，并且规定零向 量与任何向量都共线.而相等向量是方向相同且长 度相等的向量，所以①②③⑤错误.如果两个非零向 量平行于一个零向量，而零向量的方向是任意的，那 么这两个非零向量就不一定是共线向量.所以⑥ 错误. 答案：①②③⑤⑥ 14.解析：，PA=4,PC=2,AC=25, .在△PAC中，PA2+PC2=20= AC2,可得AP⊥PC, 又PB⊥平面PAC,PA,PCC平面 PAC, .∴.PB⊥PA,PAPC. 以PA,PB,PC为长、宽、高，作长方体如图所示， 则该长方体的外接球就是四面体PABC的外接球. ,长方体的体对角线长为√/42十42十22=6， ∴.长方体外接球的直径2R=6,得R=3, 因此，四面体PABC的外接球体积为V=4R3 =36x. 答案：36元 15.解：(1)因为之是虚数，故其虚部log2(5-m)≠0， m-1>0, m应满足的条件是5-m>0,解得1<m5,且m≠4. 5一m≠1， (2)因为之是纯虚数，故其实部log(m一1)=0，虚部 log2(5-m)≠0， m-1=1, m应满足的条件是5-m>0,解得m=2. (5一m≠1， 16.解：把长方体的部分面展开，如图所示. A 3 B 5 B 丙 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长 分别为√90，√74，√80，由此可见乙是最短线路，所 20 以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E,再 在长方形BCCB1内由E到C1,也可以先在长方形 AAD1D内由A到F,再在长方形DCCD1内由F 到C1,其最短路程为74. 17.解：(1)甲、乙两人五次测试成绩如下表： 甲 10分 13分 12分 14分16分 13分14分 12分 12分14分 甲的平均得分为10+13+12+14+16=13. 乙的平均得分为13+14+12+12+14=13. 场=号[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+ (14-13)2+(16-13)2]=4, 2=号[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+ (12-13)2+(14-13)2]=0.8. (2)由昂>昆可知乙的成绩较稳定 从折线统计图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙 的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提 高，而乙的成绩无明显提高 18.证明：(1).PA⊥底面ABCD,∴.PA⊥CD 又AC⊥CD,PA∩AC=A,∴.CD⊥平面PAC. AEC平面PAC,∴.CD⊥AE. (2)AB⊥AD,PA⊥AB,∴.AB⊥平面PAD, .AB⊥PD 又AB=BC,且∠ABC=60°，∴.AC=AB=PA. E为PC的中点，∴AE⊥PC. 由(I)知AE⊥CD,∴.AE⊥平面PCD,.AE⊥PD. 又AB∩AE=A,∴.PD⊥平面ABE. 19.解：(1)证明：由PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC, 又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC,PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC (2)如图，取AB中点O,连接MO, 过点O作HO⊥AC于H, 连接MH, 因为M是BP的中点，所以MO∥PA, 又因为PA⊥平面ABC,所以MO⊥ 平面ABC. 所以∠MHO为二面角MACB的平面角，设AC=2, 则BC=25,MO=1,OH=√5， _MO3 在Rt△MHO中，tan∠MHO=HO-S, 所以二面角MACB的大小为30°.