期末综合冲刺卷·数学(七)-【步步维赢】2025-2026学年高一下学期数学期末综合冲刺卷

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（七） (满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知向量a=(1,0),b=√2，a与b的夹角为45°，若c=a十b,d=a-b,则c在d方向上 的投影为 ( A.3 B. 5 C.1 D.-1 如 2.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+ 尔 AB AC 7 ,λ∈[0，十∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( AB AC A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3.已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则MA·MB的取值 范围是 ( n A.[-1,0] B.[-1,2] C.[-1,3] D.[-1,4] 郑 4.若直线1与平面α相交，则 A.平面α内存在直线与l异面 B.平面α内存在唯一一条直线与l平行 C.平面α内存在唯一一条直线与l垂直 戡 翻 D.平面a内的直线与l都相交 5.某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1,2,3,4,5的五个形状、大小 完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖，否则不中奖， 则中奖的概率P为 爵 1 A.10 B 1-5 c. D 25 7-1 6.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2, ∠ACB=90°，F,G分别是线段AE,BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为 A. 3 6 B.-3 C D. √3 6 3 3 7.设=计2i,则到= A.0 C.1 D.√2 8.2020年暑假里，甲、乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4 个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是() A品 B日 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.用一张长、宽分别为8cm和4cm的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长 为 ( A.√6cm B.2√6cm C.32 cm D.√/66cm 10.下列结论正确的是 ( A.过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行 B.过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行 C.过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D.过不在直线上的一点，有且只有一个平面与这条直线平行 11.下列事件中是随机事件的有 A.如果a,b是实数，那么b+a=a十bB.某地1月1日刮西北风 C.当x是实数时，x2≥0 D.一个电影院某天的上座率超过50% 7-2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积 的最小值为 13.已知向量a=(m,2),b=(-1,n)(n>0),且a·b=0,点P(m,n)在圆x2+y2=5上，则 |2a+b等于 1,若复数-4的实部为3，则：的虚部为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知向量a=(1,√3)，b=(一2,0). (1)求a一b的坐标以及a一b与a之间的夹角； 7-3 (2)当t∈[一1,1]时，求a一b的取值范围. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形， 侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点. (1)求证：BG⊥平面PAD. 7-4 (2)求证：AD⊥PB. (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并 证明你的结论 7-5 17.(15分)(1)已知复数之在复平面内对应的点在第四象限，之=1，且之十之=1，求之； ②已知复数之5m（1十Dm3(2+D为纯屋效，求实数m的值 7-6 18.(17分)某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至 多参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占 10%.登山组的职工占参加活动总人数的4，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老 年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样 法从参加活动的全体职工中抽取200人进行调查，试确定： (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人应分别抽取的人数 7-7 19.（17分)复数与2十i的面积是2-16i,复数满足·。-（7-16m-一1，如果复 1 数x1的辐角主值是a,之2的辐角主值是B,求a十B的值. 7-8(3)因为r=/(-1)2+0=1,cos0=-1,sin0=0, 所以0=元， 所以-1=cosx十isin元. 17.解：(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生 互不影响，因此事件A与B相互独立.事件A,B能 同时发生，不是互斥事件， (2)设两个白球为a,b,两个红球为1,2，则从袋中取 两个球的所有取法为2={(a,b),(a,1),(a,2), （.1D.,2.1.21,则PA)=音-号PB=吾 PAB)-号 因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互 独立事件，事件A,B能同时发生，不是互斥事件， 18.证明：(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩 形，所以AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线， 所以AA1⊥平面ABC. 因为直线BCC平面ABC,所以AA1⊥BC. 又AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交 的直线，所以BC⊥平面ACCA1. (2)如图，取线段AB的中，点M,连小 接AM,MC,AC,AC1, 设O为A1C,AC1的交，点. 由已知，O为AC1的中，点. 连接MD,OE,则MD,OE分别为 △ABC,△ACC的中位线， 所以MDL号AC.OE号AC 因此MD LOE. 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形， 则DE∥MO. 因为直线DE过平面A1MC,MOC平面A,MC, 所以直线DE∥平面A]MC, 即线段AB上存在一点M(即线段AB的中点)，使直 线DE∥平面AMC. 19.证明：(1)BC∥平面PAD,而BCC平面ABCD, 平面ABCD∩平面PAD=AD,∴.BC∥AD. AD吐平面PBC,BCC平面PBC, .AD∥平面PBC. (2:PA=PB=AB,满足PA2+PB=AB, 2 .PA⊥PB. 由∠ABC=90°知BC⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, ∴.BC⊥平面PAB. 又.PAC平面PAB,∴.BC⊥PA. 又PB∩BC=B,PBC平面PBC,BCC平面PBC, ..PA⊥平面PBC. 又.PAC平面PAD,∴.平面PBC⊥平面PAD. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（七） 1.D依题意得a=1,a·b=1×/2×cos45°=1， |d1=√(a-b)2=Wa2+b2-2a·b=1,c·d=a2-b2 =-1,因此c在d方向上的授彩等于=-1 故选D. 2.B ,所以点 P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过 △ABC的内心.故选B. 3.C如图，由题意可得：点M所 在的圆的方程为：(x一1)2十(y -1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2). 可设点M(x,y),A(0,0), B(2,0). .MA·MB=(-x,-y)· (2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1, 由W(x-1)2+y2∈[0,2]， .MA·MB∈[-1,3].故选C 4.A当直线1与平面a相交时，这条直线与该平面内 任意一条不过交，点的直线均为异面直线，故A正确： 该平面内不存在与直线！平行的直线，故B错误；该平 面内有无数条直线与直线1垂直，所以C错误，平面α 内的直线与l可能异面，故D错误.故选A. 5.C由题意得试验的所有基本事件有(1,2)，(1,3)， (1,1),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本 事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)共3个，由古典概型的概率 公式可知P=品故选C. 6.A延长CD至点H,使DH=1,连接HG,HF,则 HF∥AD,且HF=DA=2√2，又GF=√6，HG=1o, cos∠HFG=8+6-10=E 2XV6X86故选A. .c-岸+2i=-i计i=i1=1.故选C 8.D最后一个景，点甲有6种选法，乙有6种选法，共有 36种，他们选择相同的景点有6种，所以P=希=日 故选D. 3 9.BD分两种情况：(1)以4cm的长为高，则正四棱柱 底面是边长为2cm的正方形，因此对角线长1= √22+22+42=2√6(cm).(2)以8cm长为高，则正四棱 柱底面是边长为1cm的正方形，因此对角线长2= √/2+1+8=√/66(cm).故选BD. 10.AC对于A,过不在平面内的一点，有且只有一 个平面与这个平面平行，正确：对于B,当已知直 线与平面相交时，不存在过该直线的平面与已知 平面平行，错误；对于C,过不在直线上的一点， 有且只有一条直线与这条直线平行，正确；对于 D,过不在直线上的一点，有无数个平面与已知 直线平行，错误.故选AC. 11.BDA,C是必然事件，B,D是随机事件.故选BD. 12.解析：包装盒的体积最小时，球状 巧克力与圆锥体状包装盒相切.球 与圆锥的组合体的轴截面如图.设 ∠OCD=0,.OD=3,∴.CD= a0g:∠ACD=2∠0CD=20, AD=CD.tan20,∴.V=x.9 3 tan20 ·CD·tan28= 1am1-an0当n9-号时，Vn=72x:故包装 18π 盒的体积的最小值为72π. 答案：72π 13.解析：因为向量a=（m,2),b=(-1,n)(n>0),且 a·b=0,P(m,n)在圆x2+y2=5上， -m+2n=0, .{ 解得m=2,n=1, m2+n2=5, ∴.2a+b=(3,5), ∴.|2a+b|=34. 答案：√34 14.解析：=7)十a=7+ai(2+D 2-i(2-i)(2+i) =14-a+(7+2a)i 5 由题意知140=3，即a=一1 5 ∴虚部是7+24=1. 5 答案1 15.解：(1)a-b=(1W3)-(-2,0)=(3,√3)， 所以a一b的坐标为(3，√3). 设a一b与a之间的夹角为0， 则cos0=（a-b)·a=3X1+5×,5=5 a-ba√9+3×√+32' 而0≤≤π，故0=交 6 14 (2)因为a-b=(1,5)-t(-2,0)=(1+2t,5), 所以Q-b1=√0+20+3=√4(+号)/+3. 在[-1，]上道减，在[合1]小上通增， 所以t=- 时，口-取我小值为后。 t=1时，a一b|取最大值为2√3，故a一b|的取值范围为 [5,2. 16.解：(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为 AD的中点，所以BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD =AD, 所以BG⊥平面PAD. (2)证明：如图，连接PG,因为△PAD为正三角形，G 为AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD, 又PG∩BG=G,所以AD⊥平面PGB. 因为PB军平面PGB,所以AD⊥PB. (3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面AB CD. 证明：取PC的中点F,连接DE、EF、DF. 在△PBC中，FE∥PB,在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE手平面DEF,DE手平面DEF,EF∩DE=E, PB平面PGB,GB平面PGB,PB∩GB=B,所以 平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD,PG平面PAD,所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD,AD∩BG=G, 所以PG⊥平面ABCD 又PG军平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD, 所以平面DEF⊥平面ABCD. 17.解：(1)设之=a+bi(a,b∈R), 1a2+b2=1, 由题意得2a=1. 解得a=分b=土 1 21 ,复数之在复平面内对应的点在第四象限， .= 5=- 2 22 5m2 (2)x=-2-(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+ (2m2-5m-3)i,依题意，m2-m-6=0,解得m=3 或-2. 又.2m2-5m-3≠0，.m≠3. ∴.m=-2. 18.解：(1)设登山组人数为x,则游泳组人数为3x,再设 游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a,b,c. 则有·40%+3xb=47.5%,·10%+3=10%, Ax 解得b=50%,c=10%, 故a=1-50%-10%=40%. 所以游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分 别为40%，50%，10%. (2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×3×40% 4 =60(人)， 抽取的中年人人数为200×子×50%=75（人），抽取 的老年人人数为200×是×10%=15（人） 1解：由已知得=号--3么 将其代入另一个条件， 变形得2=717=1十5i. -3-2i ∴.z2=1-5i, a=arg1=arg(一3-2i),π<a<r, B-arg arg(1-5i) ÷暨<a+< 7x 又21·2=(-3-2i)(1-5i)=-13+13i, a十B是之1·之2的一个辐角， 且1ame+0=是=-1， atg- 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（八） l.C非零向量a≠e,e=1,且对任意的实数t∈R, 都有a-te≥a-e|,.a-e|2≥a-e2,t2-2a·t +2a·e-1≥0，关于t的一元二次不等式的 △=(2a·e)2-4(2a·e-1)≤0，即(a·e-1)2≤0，故 a·e-1=0,a·e-1=a·e-e2=e(a-e)=0.故 选C. 2.C由题意得，AO=AC+Cò，点O在线段CD上且不 与端点重合，所以存在k(0<k<1),使得CO=kCD: 又BC-=3Ci,所以Ci=号BC=子(A衣-Ai),所以 A0=AC+Gi=AC+冬(AC-Ai)=-专A店+ (1+冬)AC.又A6=xA店+(1-x)AC,所以 x=-冬所以-子<x<0.故选C 19 3.C对于①，棱柱的侧面不一定全等，故①错；对于②， 截面与底面不一定平行，故②错；对于④，棱台的侧棱 延长后相交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④ 错，由面面垂直的判定及性质知③正确.故选C. 4.C:M为AB的中点，△ACB为直角三角形， ∴.BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC, .'.Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC, 故PA=PB=PC.故选C. 5.D连接AC交BE于点G,连接FG(图略)，因为 PA∥平面EBF,PAC平面PAC,平面PAC∩平面 EBF=PG,所以PA∥FG,所以E=瓷月为 AD/BC.AD=BC,E为AD的中点，所以瓷=能 -合所以器-合载速D 6.C已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南 瓜相克.现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中 任意选取两种，基本事件总数1=C号=10， 它们相克的能率为p品故选C 7.C设事件A在一次试验中发生的概率为p,则事件 A在一次试验中不发生的概率为1一p.在三次独立重 复试验中，事件A至少发生一次的对立事件是在三次 独立重复试验中，事件A一次也没有发生，即(1一p)3 -1一船解得p=子则事件A格好发生一次的栀手 P=Cx×(0-）-品戴选C 8C用为-效-效-号+红 所以|=√/0十12.故选C. 9.AD已知∠C=x, 4,c=AB=2,b=AC=6. 由正弦定理可得nBnC b 得sinB= 2 21 :0<∠B<∠B=吾点号元 当∠B=受时，0sB=:当∠B=号x时， cosB=-2,故选AD. 10.ABD对于A,根据正方体的性 质，有DB1⊥平面ACD1,又 DB1C平面PB1D,则平面 PB1D⊥平面ACD1,故A正确； 对于B,连接A1B,A1C1,易证明 平面BA1C∥平面ACD1.又