期末综合冲刺卷·数学(四)-【步步维赢】2025-2026学年高一下学期数学期末综合冲刺卷

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（四） (满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则DE= A.号AB+日AC B号A店日AC cA+号Ad D号A店gAd 如 2.已知AB,AC是非零向量且满足(AB-2AC)⊥AB,(AC-2AB)LAC,则△ABC的形状 为 金删 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.已知P是△ABC所在平面内一点，PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC内的概率是 () c D. 剂 4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离 的最大值为 ( 1 ←1* 正视图 侧视图 -! 1 俯视图 A.3 B.√6 C.23 D.2√6 5.将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时， 异面直线AD与BC所成的角为 ( 蕾 A. B c. D. 2 4-1 6.在正方体ABCD一A,B,C1D,中，MN分别是BC,,CD1的中点，则 A.MN∥C,D B.MN⊥BC C.MN⊥平面ACD D.MN⊥平面ACC 7.已知i为虚数单位，复数=i+a心的虚部为2，则实数a 1+i A.1 B.2 C.3 D.4 8.为了普及环保知识，增强学生环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试， 得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m。,众数为m,平均值为元，则() 个频数 10 10 6 8910得分 A.m.=m。=x B.m。=m。<x C.m.<m。<x D.m,<m.<元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，在△ABC中，点D,E是线段BC上两个动点，且AD十AE= xAB+yAC,则x,y可取 x=1 A. B. y=2 y=1 x=2 y=0 10.下列描述中，是棱柱的结构特征的是 A.有一对面互相平行 B.侧面都是四边形 C.相邻两个侧面的公共边都互相平行 D.所有侧棱都交于一点 4-2 11.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2018年1月至 2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. ↑月接待游客量（万人） 45 30 25 012345678901i21234方67890i21234567890i立 2018年 2019年 2020年 根据该折线图，下列结论正确的是 ( A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，M为DC的中点，若N为 菱形内任意一点（含边界），则AM·AV的最大值为 13.设x,y∈R,向量a=(x,2),b=(1,y),c=(2,一6)，且a⊥c,b∥c,则 1a-b= 14.计算：3+4i 1+2i 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5,E中只 CD=2√2，AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表 面积及体积. 4-3 16.(15分)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AMi=AB+AC (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB中点，AM与CN交于点O,设BO=xBM+yBN,求xy的值. 4-4 17.(15分)某城市有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个 底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为 △ABC,△ABD,如图所示，测得AD=BD=14,BC=10,AC=16, ∠C=∠D. (1)求AB的长度； (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建 造费用较低，请说明理由 4-5 18.(17分)在棱长是a的正方体ABCD-A,B1C1D,中，M,N分别是AA1,D1C1的中点，过 D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线1. (1)画出交线l; (2)设l∩AB,=P,求PB,的长； (3)求点D,到l的距离. 4-6 19.(17分)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年每名销售员都有1400万元的年 度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元） 内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)， [6,10),[10,14),[14,18),[18,22],并绘制出如图的频率分布直方图. 频率 组距 0.09 0.08 0.02 026051822完成销售额1百万元 (1)求a的值，并计算完成年度任务的人数； 4-7 (2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取一个容量为25的样本，求这5组分别应 抽取的人数； (3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此 奖励的2名销售员在同一组的概率. 4-8(G)'+(日)= (2)设第i个电话打给甲为事件A:(i=1,2,3), 则这三个电话中恰有两个是打给甲的事件为A1A2A3 +A1A2A3+A1A2A3, .其概率为P(A1A2A3十AA2A3十A1A2A3) =P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3) =P(A1)·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P(A2)· P(A3)+P(A)·P(A2)·P(A3) =日×日×(-6)+日×(1-8)×日十 1吉)×古×片品 19,解：1由正弦定里BC 得√3 sin Bcos C=sin Bsin C, 在△ABC中，因为sinB≠0， 所以W3cosC=sinC,故tanC=√3，又因为0<∠C<π， 所以∠C=子 (2)由已知，得2 alsin C=6.又∠C=吾，所 以ab=24. 由已知及余弦定理，得a2+b2-2 abcos C=28, 所以a2+b2=52,从而(a+b)2=100.即a+b=10, 又c=2√7，所以△ABC的周长为10十2√7. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（四）】 1.D知图，Di=AE-AD=AB +B眩-2AC=AB+}BC 2AC=A花+A衣-A》-0 AC=号A店日Ad.故选D 2.C(AB-2AC)⊥AB→(AB-2AC)·AB=0,即 AB.AB-2 AC.AB=0. (AC-2AB)⊥AC→(AC-2AB)·AC=0,即 AC.AC-2 AB.AC=0...AB.AB=AC.AC= 2A店·AC,即1Ai=AC,而co∠A=A店.A ABIACI =方：∠A=60,△ABC为等边三角形，故连C 3.C如图，以PB,PC为邻边 作平行四边形PBDC,则PB +PC=Pi.因为PB+PC +2PA=0,所以PB+PC -2PA,即PD=-2PA,由 此可得P是△ABC的边BC上的中线AO的中点，点 P到BC的距离等于点A到BC的距离的2，所以 S△PC=2S△Ac,将一粒黄豆随机撒在△ABC内， 剥黄豆落在△PBC内的概率PSAC=2:故 选C. 4.B由几何体的三视图可得该几何体是一个侧视图为 平行四边形的四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取 两个顶，点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当 于一个长宽高分别为2,1,1的长方体对角线，故d= √/22+12+1z=√6.故选B. 5.C设O是正方形对角 B 线AC,BD的交点，将 正方形ABCD沿对角 B' 线AC折起， 可得当BO⊥平面ADCA 0 时，点B到平面ADC D 的距离等于BO,而当 BO与平面ADC不垂直时，点B到平面ADC的距离 为d,且d<BO,由此可得当三棱锥B一ACD体积最 大时，BO⊥平面ADC.设B是B折叠前的位置，连接 B'B,因为AD∥B'C,所以∠BCB就是直线AD与BC 所成角，设正方形的边长为a,因为BO⊥平面ADC, OB'C平面ADC,所以BO⊥OB', 周为B0=B0=号AC-号，所以BB=BC=BC =0, 得△BBC是等边三角形，∠BCB=牙， 所以直线AD与BC所成角为于，故选C. 6.D对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点， 所以，点N∈平面CDDC1,点M庄平面CDD]C1,所 以直线MN是平面CDD1C1的交线， 又因为直线C,D1在平面CDD,C1内，故直线MN与 直线C1D1不可能平行，故选项A不对； 对于选项B.正方体中易知NB|≠|NC|,因为点M 是BC1的中，点，所以直线MN与直线BC1不垂直，故 选项B不对； 对于选项C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD. 因为M是BC1的中点， 所以MC=|MD1|.这与|MC|≠|MD1|矛盾.故假 设不成立.所以选项C不对： 对于选项D,分别取B1C,CD1的中点P,Q,连接 PM、QN、PQ(图略).因为点M是BC1的中点，所以 PM/cC且PM1=名1CC.同理QN/CG且 IQNI=ICCl. 所以PM∥QN且|PM=|QN|,所以四边形PQNM 为平行四边形. 所以PQ∥MN. 在正方体中，CC⊥PQ,PQ⊥AC 因为AC∩CC=C,ACC平面ACC,CC1C平 面ACC, 所以PQ⊥平面ACC.因为PQ∥MN,所以MN⊥平 面ACC. 故选项D正确.故选D」 7.c文=i1+am=i1+ai1-D_（-a+iD1-边 1+i (1+i)(1-i) 2 122+1生去2=2，解得a=8故选C 2 8.D由条形图可知，中位数为me=5.5,众数为m=5, 平均值为x≈5.97，所以m<m<x.故选D. 9.AB由图可设AD=λAB+(1-λ)AC,AE=:AB十 (1-)AC,其中入，∈(0,1)，则AD+AE=(入+)AB 十(2-入-u)AC.由题知，x=入十4，y=2-入-4，所以 有x十y=2,且0<x<2,故选AB. 1O.ABC由棱柱的结构特征知选ABC 11.BCD对于选项A,由图易知，月接待游客量每年7， 8月份明显高于12月份，故A错误； 对于选项B,观察折线图的变化趋势可知，年接待游 客量逐年增加，故B正确； 对于选项CD,由图可知显然正确.故选BCD. 12.解析：由向量的几何意义可知AM=AD+号A店.因 为点N为菱形ABCD内任意一点，所以可设AN xAD+yAB(0≤x≤1,0≤y≤1)，则AM·AN= (Ai+?AB)）·(xAD+yA)=xAD1?+ 2y到A前+(3x+y)店：A市=5x+4.又因为 0≤x≤1， x,y满足 所以由线性规划知识可知，当 0≤y≤1， x=1,y=1时，AM·AV取得最大值9. 答案：9 13.解析：根据题意，向量a=(x,2),b=(1,y),c=(2,-6), 由a⊥c,得2x-2X6=0,解得x=6,即a=(6,2). 又由b∥c,得2y=1×(-6),解得y=-3, 即b=(1,-3), 所以a-b=(5,5), 所以a-b=√52+5=5√2. 答案：5√瓦 1解折：+器=名+8把=牛 :=(3+4)(3-4D 32+42 11+2i=11+2 2525T25 答案+元 15.解：由已知得：CE=2,DE=2,CB=5, S表面积=S国台侧十S圆台下底十S圆维侧=x(2十5)X5 +xX25+x×2×2√2=(60+4√2)π，V=V国台- Va0=3x:2+x,52+2:5)X4-日x× 22X2=148 16.解：)由A方=子Ai计A心， 可知M,B,C三点共线 如图，令BM=入BC, 则AM=Ai+BM=Ai+入BC -AB+A(AC-AB) =(1-)AB+AAC, .S△ABM=1 即△ABM与△ABC面积之比为1：4. (2)由Bd=xBM+yBd, 得Bò=xBi+yBA,Bò=无BC+yBN, 由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线， 4 x=7 得 解得 +y=1, 6 y=7 17.解：(1)在△ABC中，由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC.BCcos C =162+102-2×16×10cosC,① 在△ABD中，由余弦定理及∠C=∠D易得 AB2=AD2+BD2-2AD.BDcos D =142+142-2×142cosC,② 由①②得142+142-2×142cosC =162+102-2×16×10cosC, 解得ce0sC-子 因为∠C为三角形的内角，又cosC>0, 所以0<∠C<受，所以∠C=吾， 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD是等边三角形， 故AB=14. (2)小李的设计建造费用较低.理由如下： SMAD BDsin D.SAAC BCin C. 因为AD·BD>AC·BC,∠C=∠D: 所以S△ABD>S△ABC, 因为建造环境标志的费用与用地面积成正比，所以 小李的设计建造费用较低. 18.解：(1)如图，延长DM交D1A1 的延长线于点Q,则点Q是平 面DMN与平面A1B1CD1的 一个公共点.连接QN,则直线 QN就是两平面的交线l. 0 (2).M是AA1的中点，MA1∥DD1, .A1是QD1的中点. 又A1P∥D1N, .AP-ZDiN. :N是D1C的中点， AP=DC=÷, ∴PB=AB-AP=是a (3)过点D1作D1H⊥PN于点H,则D1H的长就 是点D1到1的距离. QD1=2A1D1=2a,DN=号， .·D。QD1·DN227 QN √a2+ 17a, 即点D到1的距离是厘。 17a. 19.解：(1)(0.02+0.08+0.09+2a)×4=1, ,∴.a=0.03,完成年度任务的人数为2a×4×200=48. (2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25=2， 第2组应抽取的人数为0.08×4×25=8， 第3组应抽取的人数为0.09×4×25=9， 第4组应抽取的人数为0.03×4×25=3， 第5组应抽取的人数为0.03×4×25=3， (3)(2)中完成年度任务的销售员为第4组的3名和 第5组的3名.记第4组的3名销售员分别为A1, A2,A3;记第5组的3名销售员分别为B1,B2,B3· 从这6名销售员中随机选取2名，所有的样本点为 A1A2,A1A3,A1 B1,A1B2,AB3,A2A3,A2B1, A2 B2,A2 B3,A3 B1,A3B2,A3 B3,B1B2,BB3,B2B3, 共15个. 获得此奖励的2名销售员在同一组的样本点有6个， 故所求概率为号导 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（五） 1.D对于A,DA-DC=CA,错误；对于B,DA十DC 2D0,错误；对于C,OA-OB+AD=BA+AD=BD, 错误；对于D,AO+OB+BC=AB+BC=AC,正确 故选D. 2.C BD=2 BO.BE=BA+BD,..BE=BA+ 2BO.:E为线段AO的中点，.B正=？(BA+ BO),根据平面向量基本定理得到对应系教相等，入 =2,2r=,解得以=子以-以=子故选C 3.D向量OA,OB在向量OC方向上的投影相同，.OA· OC=OB·OC,A(a,1),B(2,b),C(3,4),.3a+ 4=6+4b,∴.3a-4b=2,(a,b)在直线3.x-4y-2=0 上，a2+b2的最小值为原，点到直线3x一4y一2=0距 离的平方d=号02+6的最小值为是故选D 4.B由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面 相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球 的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进 去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R=号，该 球的体积最大Vx号R3-×号-要故选B 5.B不妨设AD=4,如图，延长BC至点M,使得CM= BC,连接B1M,AM,易证直线AB1与直线A1D所成 的角等于∠AB1M或其补角. 易知AB1=2√5，B1M=4√2，AM= √/AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=2√W7, 所以cos∠AB,M=AB+BM-AM3VN 2AB1·B1M 20 则直线AB1与直线AD所成角的余弦值为3C 20 故选B. B D B M 6.A5=1+4=2+3,和为5的概率为名=2=1 C￥1051 故选A. 7.C周为=1+2°-1=2i-1-21)1-D=-1-3i 1+i1+i 2 = 昌所以复数x对应的点在第三象限故选C