期末综合冲刺卷·数学(三)-【步步维赢】2025-2026学年高一下学期数学期末综合冲刺卷

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（三） (满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,P是BC边的中点，若cAC+aPA+ bPB=0,则△ABC的形状为 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2.在△ABC中，点M是BC的中点，点V在AC上且AV=2NC,AM交BN于点P,设 如 AP=入AM,则入的值为 () A.4 B号 c. D 邮 3.已知向量a,b满足|a=1,(a十b)·(a一2b)=0,则b的取值范围为 A.[1,2] B.[2,4] c[】 .[2] 4.若异面直线m,n所成的角是60°，则以下三个命题： ①存在直线1，满足l与m,n的夹角都是60°； ☒ ②存在平面a,满足mCa,n与a所成角为60°； ③存在平面a,β，满足mCa,nCB,a与B所成锐二面角为60°. 北 其中正确命题的个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.如图，在正方体ABCD-AB,C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED,交棱 AA1于点F.则下列命题： ①存在点E,使得AC1∥平面BED,F; ②存在点E,使得B,D⊥平面BED,F; ③对于任意的点E,平面A,C,D⊥平面BED1F; ④对于任意的点E,四棱锥B,一BED,F的体积均不变. 蕾 其中真命题有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3-1 6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是号，则正视图中的x的值是 () 正视图 侧视图 俯视图 A.2 9 B. c D.3 5 7.已知复数x=12i是虚数单位)，则：的实部为 A.3 C.- 8.已知n个数x1x2,…,xn的平均数为x,方差为s2,则数据3x1,3x2,…,3xn的平均数和方 差分别为 ) A.I,2s B.3x,52 C.3x,2 D.3x,9s2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量a=(1,0),b=(cos0,sin0),0∈ [一受，引，则a+b的值可以是 ( A.√2 B.√3 C.2 D.22 10.关于空间几何体的结构特征，下列说法正确的是 A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 11.用样本估计总体，下列说法正确的是 A.样本的结果就是总体的结果 B.样本量越大，估计就越精确 C.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态 D.数据的方差越大，说明数据越不稳定 3-2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.在△ABC中，AB=√2，BC=8,∠B=45°，D为△ABC所在平面内一点且满足 (AB·AD)·(AC·AD)=4,则AD长度的最小值为 13.若a=1,|b1=2,a与b的夹角为60°，若(3a十5b)⊥(ma一b),则m的值为 14.如图，AB,CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD,CD BD,从甲楼顶部A处测 得乙楼顶部C处的仰角α=30°，测得乙楼底部D处的俯角3=60°，已知甲楼 高AB=24m,则乙楼高CD= m. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(13分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6c的全等的 等腰直角三角形 主（正）视图 左（侧）视图 (1)根据图中所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； 3-3 (2)求PA. 16.(15分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2). (1)若PA+PB+PC=0,求OP的坐标； 3-4 (2)若OP=mAB+nAC(m,n∈R),且点P在函数y=x十1的图象上，试求m-n. 17.(15分)如图，在△ABC中，AQ=QC,A成=号A店，BQ与CR相交于1， AI的延长线与边BC交于点P. (1)用AB和AC分别表示BQ和CR; 3-5 (2)如果Ai=AB+λBQ=AC+4CR,求实数入和u的值； (3)确定点P在边BC上的位置. 3-6 18.(17分)甲、乙、丙三人在同一间办公室工作，办公室里只有一部电话机，设经该机打进的 电话打给甲、乙、丙的概率依次为后，日，公若一段时间内打进三个电话，且各个电话相 互独立，求： (1)这三个电话是打给同一个人的概率； (2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率. 3-7 19.(17分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知√3 bcos C=csin B. (1)求角C的大小； (2)若c=2√7，△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长. 3-8频率为30十30=0.3，故P(B)的估计值为0.3. 200 (3)由所给数据得 保费0.85a 1.25a1.5a1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+ a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a× 0.10+2a×0.05=1.1925a,因此，续保人本年度平 均保费的估计值为1.1925a. 19.证明：(1)：GH是△A1B1C1的中位线， ∴.GH∥B1C. 又B1C1∥BC,.GH∥BC, B,C,H,G四点共面. (2)E,F分别为AB,AC的中点， ∴.EF∥BC. 又EF丈平面BCHG,BCC平面BCHG, ,.EF∥平面BCHG :AG∥EB且AG=EB, .四边形A1EBG是平行四边形，∴.A1E∥GB. .A1Et平面BCHG,GBC平面BCHG, .A1E∥平面BCHG. :A1EC平面EFA1,EFC平面EFA1,且AE∩EF =E, .平面EFA1∥平面BCHG. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（三） 1.B如图，由cAC+aPA+ bPB=0知，c(PC-PA)+ aPA-bPC=(a-c)PA+ (c-b)PC=0,而PA与P元为 不共线向量，∴.a-c=c-b=0,.a=b=c. ∴.△ABC的形状为等边三角形.故选B. 2.D 3.D由题意知b≠0，设向量a,b的夹角为0，因为(a十b)· (a-2b)=a2-a·b-2b2=0,又|a|=1,所以1 1bcos0-2|b2=0,所以|b|c0s0=1-21b|2,因为 -1≤cos≤1，所以-|b≤1-2|b12≤|b1,所以 合≤1，所以b的取值范因是[合1]小，故连D 4.D异面直线m,n所成的角是60°，在①中，由异面直 线m,n所成的角是60°，在m上任取一，点A,过A作 直线n'∥，在空间中过点A能作出直线1，使得1与 n,n'的夹角均为60°，∴.存在直线l,满足l与m,n的夹 角都是60°，故①正确；在②中，在n上取一点B,过B 作直线m'∥m,则以m,m'确定的平面a,满足mCa,n 与a所成的角是60°，故②正确；在③中，在n上取一点 C,过C作直线m∥m',m,m'确定一个平面a,∴.过n 能作出一个平面B,满足mCa,nCB,a与3所成锐二 面角为60°，故③正确.故选D. 5.D当点E为棱CC1的中点时，A1C1∥EF,可得 A1C∥平面BED1F:因为B1D与BD1不垂直，因此 B1D⊥平面BED1F不成立：因为正方体的体对角线 BD1与平面A1C1D垂直，因此平面A1C1D⊥平面 BED1F;四棱锥B1-BED1F的体积等于2VB,-BED, 2VD,Ea,=2X号·D1C·之·BB·BC为定值， 故选D. 6.C依题意，由三视图还原出原几何体的直观图如图所示， 原几何体为四棱锥，且其底面积为？×2X1十2)=3，高为 所以共你积V号×=号所以一子故途C D C 3 3(1+2i)316: 7.Bx=1202201+20=5+51 的实部为后故选B 8.D :=1十2十…十x :31+32++32=3元. :g2=x1-x)2+(x2-)2++(xw-)2 :.3x1-3)2+(3x2-3z)2+…+(3xm-32 =9X1-x)2+(x2-z)2++(xn-x)2 9s2. 故选D 9.ABC a+b=(1+cos 0)2+sin20=2+2cos 0. 因为0 [-音音】，所以mseo,1山 所以a十b∈[√2,2].结合选项可知选ABC. 10.ACD根据棱锥的结构特征，知棱锥的侧棱长不一 定都相等.故选ACD. 11.BD选项A显然不成立；用样本估计总体时，样本 容量越大，估计就越精确，选项B成立；样本的标准 差可以近似地反映总体的稳定状态；数据的方差越 大，说明数据越不稳定，选项D成立.故选BD. 12.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得 B(-1,-1),C(7,-1).设点D(x,y),所以AB= (-1,-1),AC=(7,-1),AD=(x,y),所以(AB· AD)·(AC.AD)=(-x-y)·(7x-y)=4,即 (x+y)·(y-7x)=4.令 {x十y=m,则 y-7x=n, x=8（m-n), mn=4,所以AD=√2+y=↓ 8 y= 8(7m+), V(m-w)(7m- ·√/50m2+2n2+12mn 号V5m++2≥号.V0m+2i=E,当且 仅当5m=n=士2√5时，等号成立，所以AD的最小 值为√2. 答案：2 13.解析：由题意知(3a+5b)·(ma-b)=3ma2+(5m- 3)a·b-5b2=0,即3m+(5m-3)×2×c0s60° 5X4=0,解得m=号 答案号 14.解析：如图，AE⊥CD,垂足为点E,则 C ED=AB=24 m, A E AE=,ED=24=8原(m. tan60°√3 在Rt△ACE中，CE=AE·tan30° =85x5=8(m, 3 所以CD=CE+ED=8+24=32(m). 答案：32 15.解：(1)该四棱锥的俯视图为（内含对角 P(C) B 线)边长为6cm的正方形，如图，其面积 为36cm2. (2)由左视图可求得PD=√PC2+CD=√62+62 6√2. 由主视图可知AD=6,且AD⊥PD, 所以在Rt△APD中， PA=√/PD2+AD=√(6√2)2+62=6V35cm. 16.解：(1)设点P的坐标为(x,y), 因为PA+PB+P心=0， 又PA+Pi+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+ (3-x,2-y)=(6-3.x,6-3y), 6 6-3x=0, （x=2, 所以 16-3y=0, 解得 y=2. 所以点P的坐标为(2,2)， 故O2=(2,2). (2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3), C(3,2),所以AB=(2,3)-(1,1)=(1,2),AC= (3,2)-(1,1)=(2,1). 因为OP=mAi+nAC, 所以(x0y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m十21,2m十n), 所以 |x0=m十2n, y0=2m+n, 两式相减得m一n=y0一x0. 又因为点P在函数y=x十1的图象上， 所以y0-x0=1,所以m-n=1. 1解：1)由Aà-AC. 可得脑-Bi+夜=-Ai+2A花 :A旅=子A范， ∴C求=Ci+A成=-AC+}A成 (2)将Bà=-AB+2AC.C成=-A心+}A 代入Ai=AB+xBQ=AC+uC求， 则有A+A(-AB+?AC)=AC+(-AC+3A), 即(1-)Ai+之xAC=3A+1-w)心， 又AB与AC不共线， .1 1-λ=34， 4 解得 28=1-4, 3 =5 (3)设B=mBC,AP=nAi, 由(2)知Ai=号Ai+号AC, B驴=-办-B=Ai-=(号+子AC- =0,A心+（号-）成=m成=m花-mA。 AB与AC不共线， -m=号-1， m= 2 3 解得 m= 2n 5 51 n=3' 市-号脚肥-2. 点P在BC的三等分点且靠近点C处 18.解：(1)由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件 同时发生的能率公式得，所求的概率为（信）》十 (G)'+(日)= (2)设第i个电话打给甲为事件A:(i=1,2,3), 则这三个电话中恰有两个是打给甲的事件为A1A2A3 +A1A2A3+A1A2A3, .其概率为P(A1A2A3十AA2A3十A1A2A3) =P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3) =P(A1)·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P(A2)· P(A3)+P(A)·P(A2)·P(A3) =日×日×(-6)+日×(1-8)×日十 1吉)×古×片品 19,解：1由正弦定里BC 得√3 sin Bcos C=sin Bsin C, 在△ABC中，因为sinB≠0， 所以W3cosC=sinC,故tanC=√3，又因为0<∠C<π， 所以∠C=子 (2)由已知，得2 alsin C=6.又∠C=吾，所 以ab=24. 由已知及余弦定理，得a2+b2-2 abcos C=28, 所以a2+b2=52,从而(a+b)2=100.即a+b=10, 又c=2√7，所以△ABC的周长为10十2√7. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（四）】 1.D知图，Di=AE-AD=AB +B眩-2AC=AB+}BC 2AC=A花+A衣-A》-0 AC=号A店日Ad.故选D 2.C(AB-2AC)⊥AB→(AB-2AC)·AB=0,即 AB.AB-2 AC.AB=0. (AC-2AB)⊥AC→(AC-2AB)·AC=0,即 AC.AC-2 AB.AC=0...AB.AB=AC.AC= 2A店·AC,即1Ai=AC,而co∠A=A店.A ABIACI =方：∠A=60,△ABC为等边三角形，故连C 3.C如图，以PB,PC为邻边 作平行四边形PBDC,则PB +PC=Pi.因为PB+PC +2PA=0,所以PB+PC -2PA,即PD=-2PA,由 此可得P是△ABC的边BC上的中线AO的中点，点 P到BC的距离等于点A到BC的距离的2，所以 S△PC=2S△Ac,将一粒黄豆随机撒在△ABC内， 剥黄豆落在△PBC内的概率PSAC=2:故 选C. 4.B由几何体的三视图可得该几何体是一个侧视图为 平行四边形的四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取 两个顶，点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当 于一个长宽高分别为2,1,1的长方体对角线，故d= √/22+12+1z=√6.故选B. 5.C设O是正方形对角 B 线AC,BD的交点，将 正方形ABCD沿对角 B' 线AC折起， 可得当BO⊥平面ADCA 0 时，点B到平面ADC D 的距离等于BO,而当 BO与平面ADC不垂直时，点B到平面ADC的距离 为d,且d<BO,由此可得当三棱锥B一ACD体积最 大时，BO⊥平面ADC.设B是B折叠前的位置，连接 B'B,因为AD∥B'C,所以∠BCB就是直线AD与BC 所成角，设正方形的边长为a,因为BO⊥平面ADC, OB'C平面ADC,所以BO⊥OB', 周为B0=B0=号AC-号，所以BB=BC=BC =0, 得△BBC是等边三角形，∠BCB=牙， 所以直线AD与BC所成角为于，故选C. 6.D对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点， 所以，点N∈平面CDDC1,点M庄平面CDD]C1,所 以直线MN是平面CDD1C1的交线， 又因为直线C,D1在平面CDD,C1内，故直线MN与 直线C1D1不可能平行，故选项A不对； 对于选项B.正方体中易知NB|≠|NC|,因为点M 是BC1的中，点，所以直线MN与直线BC1不垂直，故 选项B不对； 对于选项C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD.