高一下学期期末复习综合演练1-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

中学生表理化葵资卓演绮6车6月 高一下学期期末复习综合演练1 ■刘中亮（特级教师） 一、选择题 C.相互独立 D.相等 1.如图1，已知M是四面体OABC的棱 5.已知一组样本数据：8,9,9,11,12,13， BC的中点，点N在线段OM上，点P在线 15,16,17,18,18,20,则这组样本数据的第 段AN上，且MN=ON,AP=是AN,以 70百分位数与中位数之和是( )。 A.29B.30C.31 D.32 OA,OB,O心为基底，则O币可以表示为 6.对于两个平面&，B和两条直线m,n, ()。 下列命题中的真命题是()。 A若m⊥a,m⊥n,则n∥a B.若m∥a,a⊥B,则m⊥B C.若m∥a,n∥B,a⊥B,则m⊥n D.若m⊥a,n⊥B,a⊥B,则m⊥n 7.如图2所示，在三棱柱ABC-A1B1C 中，若点E,F分别满足A应=号A店，A 图1 会C,三校柱的商为3，△ABC的面积为 3√，则几何体B,C-BCFE的体积为 A.OF+108+100 ()。 B.0苏-2oi+o+0d C.F-+20+0 D.o-}oi+o成+0d 2.已知非零向量a,b满足|a+b1= 1a-2b,且b在a上的投影向最为号a期 图2 8=( )。 A.83 3 B.33C.103 3 D.11/3 3 A名 C.2 D.√3 8.有能力互异的3人应聘同一公司，他 3.已知复数之在复平面内对应点的坐标 们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不 录用第一个接受面试的人，如果第二个接受 为1，-1)，则2二i=( )。 面试的人比第一个能力强，就录用第二个人， B2+2 1 否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力 最强的人的概率为p,录用到能力中等的人 C. D.1+i 的概率为q,则(p,q)=( )。 4.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一 A(合》 (合) 枚出现奇数点”，B=“第二枚出现偶数点”， 则A与B的关系为( )。 c(合）》 D.(合，) A.互斥 B.互为对立 9.已知a,b为两条不同的直线，a,B为 24 资-数学核心青桌黄管中学生教理化 两个不同的平面，则( )。 13,(多选题)下列说法正确的是( )o A.若a二a,b二B,且ab,则a3 A.数据1,1.3,2,3,3.8,4.5,6.3,7.8， B.若a⊥a,a⊥B,则a∥B 8.6,10的第80百分位数是7.8 C.若a⊥B,a∩B=a,b⊥a,则b⊥a B.一组样本数据3,5，x,9,11的平均数 D.若a,b为异面直线，a⊥a,a∥B,则b 为7，则这组数据的方差是8 不垂直于B C.采用分层随机抽样时，个体数最多的 10.(多选题)下面四个命题中的真命题 层里的个体被抽到的概率最大 是()。 D.若x1,x,…,xo的标准差为2，则 A.若复数之满足上∈R,则之∈R 3x1十1,3x+1,…,3x1o+1的标准差是6 14.(多选题)已知△ABC的三个角A, B.若复数之满足之∈R,则之∈R B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确 C.若复数之1，之，满足之12∈R,则1= 的是()。 乏2 A.若a>b,则sinA>sinB D.若复数∈R,则乏∈R B.若sinB=sinC,则B=C 11.(多选题)下列说法正确的是()。 C.若A<C,则cos2A>cos2C A.某班有40名学生，若采用简单随机 D.若tanA>0,则△ABC是锐角三角形 抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动， 二、填空题 则学号为04的学生被抽到的可能性为10% 15.已知圆锥的底面周长为6π，高为5， B.已知一组数据1,2，m,6,7的平均数 则该圆锥的体积为 为4，则这组数据的方差是5 1 C.将一组数据中的每个数据都乘以3 16.复数之=3十4，则之十交= 后，方差也变为原来的3倍 17.在三棱锥P-ABC中，PA=4,BC= D.若一个容量为8的样本的平均数为 2√6，PB=PC=3,PA⊥平面PBC,则三棱 5,方差为2，现样本中又加入一个新数据5， 锥P-ABC的外接球的表面积为。 此时样本容量为9，则平均数不变，方差变小 18.如图4，在四面体ABCD中，AD= 12.(多选题)如图3，在正方体ABCD BC=2,AD与BC所成的角为60°，若E,F A1B1CD1中，E,F分别为BC,CC1的中 分别为棱AC,BD的中点，则线段EF的长 点，则下列结论正确的是( )。 等于。 D D 图3 图4 A.直线A1B与EF所成角的大小为60° 19.已知点O是△ABC的重心，内角A, B.直线AD1∥平面DEF B,C的对边分别为a,b,c,且2aOA+bOB+ C.平面DEF⊥平面BCC,B 2√3 g0元=0，则A=一 D.直线CD与平面DEF所成角的正弦 监为号 三、解答题 20.在复平面内，复数之=a+bi(a,b∈ 25 中学生数理化高心数学2026年6月 核心考点演练 R)对应的点为Z(a,b),连接OZ(O为坐标 (1)求证：平面PEFL平面PAG。 原点)可得向量OZ,则称复数之为向量 (2)求点B到平面PEF的距离。 O立的对应复数，向量O立为复数之的对应 23.在△ABC中，角A,B,C的对边分 向量。 别为a,b,c,且acos C+√3 asin C=b十c。 (1)若复数之1=x+2i,之=1+(x-1)1 (1)求A。 (x∈R)的对应向量共线，求实数x的值。 (2)若△ABC为锐角三角形，且b+c= (2)已知复数之1=1+√3i·sinx,之2= 4√3，求a的取值范围。 cos2x十2 icos x的对应向量分别为OZ,和 OZ:,若函数f(x)=OZ1·O2,求f(x)的 厂广参考答案与提示 最小正周期和单调递增区间。 一、选择题 21.郑州中学为了解某次物理考试的成 1.提示：依题意得OP=OA+AP 绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50 名学生的成绩（成绩均在[40,100]内），将样 oi+A寸-oi+是oN-o)-o 本数据分为6组：[40,50)，[50,60)，…，[80， +是oN=oi+×子oi=oi+ 90),[90,100],绘制成的频率分布直方图如 图5所示。 2oi=oi+×3Oi+0C)= ◆频率/组距 0.028 +Oi+O心.应选D. 0.022 2.提示：设a与b的夹角为0。由|a十b 0.018 =1a-2b,可得a2+b2+2a|·b1cos0= a2+4b2-4|a|·1b|cos0,即b=2a1· 0.004☐ 成绩/分 b 0405060708090100 bcos0,所以cos6=2a。由b在a上的 图5 投影向量为号a,可得b·os9·合 2 (1)求频率分布直方图中a的值，并估计 号a,所以合c0=号所以合· 2 这50名学生的物理成绩的平均数。（同一组 中的数据以该组数据所在区间的中点值作代 表)。 号所以会-9。应选B (2)在样本中，从成绩在[40,60)内的学 3.提示：依题意得之=1一i,所以2一i 生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[50， 60)内的概率。 2-i(2-i)(1+i)_3+i_3 1-i(1-i)(1+i) 一2一=2十21。应米 22.如图6，已知菱形ABCD的边长为4， A。 ∠ABC=F,PA⊥平面ABCD,PA=2,E,F分 4.提示：掷两枚质地均匀的骰子，设A “第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现偶数 别为BC,CD的中点，AC交EF于点G。 D 点”，事件A与B能同时发生，故事件A与B 既不是互斥事件，也不是对立事件，A,B错 溪，因为PA)-音-日P(B)-音- 62 P(AB)=3×3=1 6X6=P(A)·P(B)= 1 2 图6 名-子，所以P(A)·P(B)=PAB),质以 26 资-数学核心青桌黄管中学生教理化 A与B独立，C正确。事件A与B不相等， D错误。应选C。 能力最强的人的概率力=后一之。该公司录 31 5.提示：样本数据：8,9,9,11,12,13,15， 用到能力中等的人包含的结果为（强、弱、 16,17,18,18,20,共12个。由12×70%= 中)，（弱、中、强），共2种情况，所以该公司录 8.4,可得第9个数据为第70百分位数，即为 用到能力中等的人的概率g=后=号。应选 21 17。由中位数的定义得中位数为13+15 D。 2 14,所以这组样本数据的第70百分位数与中 9.提示：对于A,两个平面内的两条直线 位数之和是17+14=31。应选C。 平行，不能得到两个平面平行，A错误。对于 6.提示：对于A,n可能在a内，A是假 B,由a⊥a,a⊥B,可得a∥B或aCB,B错误。 命题。对于B,m可能在B内，B是假命题。 对于C,两个平面垂直，在一个平面内与交线 垂直的直线与另一个平面垂直，而b与平面B 对于C,m与n可能平行、相交或异面，C是 假命题。对于D,m⊥a,&⊥B,则mCB或 的关系不确定，故b与&不一定垂直，C错 m∥B。因为n⊥B,所以m⊥n,D是真命题。 误。对于D,假设b⊥B,由条件得a∥仍，与a, 应选D。 b为异面直线矛盾，故b不垂直于B,D正确。 应选D。 7.提示：在三棱柱ABC-AB,C1中，因 为A正=子A店，A广=号A亡，所以EF∥BC, 10.提示：若复数之满足∈R,则：∈ R,A为真命题。令复数之=i,满足之=一1 EF=号BC,所以Ss-号Se,则BE BC ∈R,显然之任R,B为假命题。令复数之1=i, C一得-号故几何体AFAR,C 之2=2i满足之12∈R,但之1≠乏：，C为假命 题。若复数之∈R,则乏=心∈R,D为真命题。 为三棱台。设三棱台AEF-A1B1C,的体积 应选AD。 为V1,几何体BC1-BCFE的体积为V2,设h 11.提示：对于A,简单随机抽样是等可 为三棱柱的高。易得V,= 能箱样，即每个个体被抽到的可能性均为看 VS△AF·SAAB,十SAAK,）·、h= =10%,A正确。对于B,数据1,2，m,6,7的 平均数为4，即m=4×5一1一2一6一7=4， 君（合5w+后5a+5)· h 则这组数据的方差为=吉[1-4)十(2 19 7VABCABC V:=VABC-ABC 27 4)+(4-4)+(6-4)+(7-4)]=26 ,B 。应 -V=5,=品×8后X3-8 错误。对于C,将一组数据中的每个数据都 乘以3后，方差变为原来的9倍，C错误。对 选A。 于D,样本中又加入一个新数据5，此时样本 8.提示：设3人能力分别为强、中、弱，则 3人参加面试的次序为（强、中、弱），（强、弱、 容量为9，平均数为8X5+5=5,方差为 9 中)，（中、强、弱），（中、弱、强），（弱、中、强）， (弱、强、中)，共6种情况。按“不录用第一个 8×2+(5-5)=16<2,D正确。应选AD。 9 9 接受面试的人，如果第二个接受面试的人比 12.提示：对于A,由BC1=A1B= 第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用 AC1,可知△ABC1为正三角形。因为E, 第三个人”的规定，该公司录用到能力最强的 F分别为BC,CC1的中点，所以EF∥BC1, 人包含的结果为（中、强、弱），（中、弱、强）， 则A,B与BC,所成角（或其补角）即为A,B (弱、强、中)，共3种情况，所以该公司录用到 与EF所成的角。而∠A1BC1=60°，故直线 27 中学生表理化葵“资卓演绮6车6月 A1B与EF所成角的大小为60°，A正确。对 △ABC中，若sinB=sinC,则B=C或B= 于B,由于AB∥D1C1,AB=DC1,故四边形 π一C。因为B十C<π，所以B=π一C不成 ABC1D,为平行四边形，所以AD1∥BC1 立，所以B=C,B正确。对于C,由二倍角公 而EF∥BC1,所以EF∥AD1。又AD1寸平 式得cos2A-cos2C=1-2sin2A-(1 面DEF,EFC平面DEF,所以AD,∥平面 2sinC)=2(sinC-sinA),结合正弦定理得 DEF,B正确。对于C,取EF的中点为M (图略)，显然DE=DF,故DM⊥EF。假设 o21-o20-2(g0)=2R2 ,因 平面DEF⊥平面BCC1B:,而平面DEF∩平 为A<C,所以a<c,即c2-a2>0,所以 面BCC,B,=EF,DMC平面DEF,所以 cos2A-cos2C>0,即cos2A>cos2C,C正 DM⊥平面BCC1B1。又DC⊥平面 确。对于D,由anA>0,可得0<A<受，仅 BCC1B,则DM∥DC,这与二者交于点D矛 盾，C错误。对于D,不妨设正方体的棱长为 根据A为锐角不能确定△ABC是锐角三角 2,点C到平面DEF的距离为d,则VD-cm= 形，如A-空，B-2C=否，此时anA sam·CD=号××1X2=，面DE 1 √3>0，但△ABC是直角三角形，D错误。应 选ABC。 =DF=5,EF=2,DM三5-，=3,2 2 二、填空题 1×土×2X32 15.提示：已知圆锥底面周长C=6π= 所以VC-DeF= 2 2 Xd=VDCEF 2πr(其中r为底面半径)，解得r=3。由圆 2 3,解得d=三。设直线CD与平面DEP 锥的高h=5,结合圆锥体积公式得V= 3π 2 ×32×5=15π。 所成的角为0,0°090°，则sin0= d 3 DC= 1 2 16.提示：因为复数之一3十4 三子，D正确。应选ABD。 3品”而务+品，所以=若 i(3-4i) 43 13.提示：对于A,1,1.3,2,3,3.8,4.5, 8 6.3,7.8,8.6,10,共10个数据，所以10× 是所以十一号 80%=8,所以第80百分位数为7.8十8.6 17.提示：在等腰△PBC中（图略），易得 2 8.2,A错误。对于B,一组样本数据3,5，x, Cos∠PBC= 所以n∠PBC-。易 √6 9,11的平均数为7，可知x=7,则这组数据 得△PBC的外接圆的半径F=2 1 × 的方差为=号[(3-7)+(5-7)+(7 3 3√5 7)+(9=7)+117)三5×40=8，B正 sin∠PBC 2 ,所以三棱锥P-ABC的外 确。对于C,对于分层随机抽样，每一层的抽 接球的半径R= +(2PA) 十4 二N4 样比是相同的，都等于总的抽样比，C错误。 对于D,由于x1,x2,…,x1o的标准差为2，所 W43 ,所以三棱锥P-ABC的外接球的表 以它的方差为4。而3x1+1,3x2十1，…， 3x。+1的方差为3×4=36，则它的标准差 面积为4R=()=3 2 是6，D正确。应选BD。 18.提示：设G为CD的中点，则EG是 14.提示：对于A,由a>b,根据正弦定 △ACD的中位线，所以EG=2AD=1,且 1 理得sinA>sinB,A正确。对于B,在 28 资-数学核心青桌黄管中学生教理化 BGAD.同理得PG=BC=1,且FG/ =1,解得a=0.006。 这50名学生的物理成绩的平均数为 BC。因为AD与BC所成的角为60°，所以 0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75 ∠EGF=60°或∠EGF=120°。当∠EGF= +0.22×85+0.18×95=76.2。 60°时，根据余弦定理可得，EF= (2)由频率分布直方图可知，成绩在[40， √EG+FG-2EG·FG·cos∠EGF 60)内的学生人数为50×(0.04十0.06)=5， √/1+1'-2×1×1×cos60°=1；当∠EGF 其中[40,50)内有2人，设为a,b,[50,60)内 =120°时，同理得EF=√5。故线段EF的长 有3人，设为x,y,之。 “从成绩在[40,60)内的学生中随机抽取 为1或√3。 2人”对应的样本空间为2={ab,ax,ay, 19.提示：由点O是△ABC的重心，可知 OA+OB+O元=0。由2aOA+bOB+ a之bx,by,b之，xy,x之，y之}，事件A=“2人成 绩都在[50,60)内”={xy,x,y之}。 之3cO0=0可设2a=6=23 3c=k,则a 由古典概型概率公式得P(A)=品，所 b=k,c= k √3k 2。 由余弦定理得cosA= 以这2人成绩都在[50,60)内的概率为高 3 22.提示：(1)因为E,F分别为BC,CD b2+c2-a2 的中点，所以EF∥BD。又四边形ABCD是 2bc 2·63 菱形，则BD⊥AC,所以EF⊥AC。 因为PA⊥平面ABCD,EF二平面 3。 因为A∈(0，x),所以A= 6。 ABCD,所以PA⊥EF。因为PA∩AC=A, 三、解答题 PA,ACC平面PAG,所以EF⊥平面PAG。 20.提示：(1)复数之1=x+2i,之2=1十 又EFC平面PEF,故平面PEF⊥平面 (x一1)i(x∈R)的对应向量分别为O立1= PAG。 (x,2),OZ2=(1,x-1),由OZ1/OZ,可得 (2)设点B到平面PEF的距离为d。 x(x一1)=2，解得x=2或x=一1。 在菱形ABCD中，∠ABC=F,则AC (2)依题意得OZ1=(1,√3sinx),OZ,= =4,BD=4√3，△BEF的面积S△BEF= (c0s2x,2cosx),则f(x)=OZ1·OZ。 2S△R= sam=××45×2=. 11 cos 2x+23 sin rcos r=cos 2x+3 sin 2x =2sin(2x十石)：故函数fx)的最小正周期 因为AE=AF=号×4=23，所以PE 2 为T-经= =PF=√W22+(2V3)2=4,EF= 2 由一受+2天≤2r十吾≤受+2x,∈ 2B,所以△PEF的面积SAr= 2×23× 乙，可得一吾十k元≤x≤否十灰，k∈么，所以 √42-（√3）2=√39。因为VP-BEF=VBPm,所 函数f(x)=OZ,·O立：的单调递增区间为 以号×后×2=日×丽·d,解得d [晋+长吾+]∈2。 2W13 13 ,即点B到平面PEF的距离为 21.提示：(1)由频率分布直方图得 213 (0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10 13 29 中学生表理化葵资卓演绮6车6月 高一下学期期末复习综合演练2 ■张文伟 一、选择题 年级、高二年级、高三年级的人数分别为 1.若复数之满足i·之=3一4i,则|之|等 320,300,380。为调查学生参加“社区志愿服 于()。 务”的意向，现采用按比例分配的分层随机抽 A.1 B.5 C.7 D.25 样方法从中抽取一个容量为100的样本，那 2.在△ABC中，A-答，BC=E,则 么应抽取高二年级的学生人数为()。 A.68B.38C.32D.30 “AB=”是“C=交”的( 3 )。 5.如图1，设D,E为正三角形ABC的 边BC上的两个三等分点，且BC=2,则 A.充分不必要条件 AD·AE等于()。 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.一个袋子中有2个红球，4个绿球，采 用不放回方式从中依次随机地取出2个球。 记事件A:第一次取到红球，事件B:第二次 取到绿球，事件C:两次取到同色球，事件D: 图1 两次取到异色球，则( )。 8 A.A与B互斥 A. B. c D号 B.A与C相互独立 6.某校为了解学生的视力情况，随机抽 C.C与D互为对立事件 查了100名学生，得到如图2所示的频率分 D.B与D相等 布直方图。不慎将部分数据丢失，只知道前 4.某学校有高中学生1000人，其中高一 4组的频数之和为40，后6组的频数之和为 23.提示：(1)由acos C+√3 asin C=b+ 4√3，所以a= (b+c)sin A sin B++sin C c,结合正弦定理得sin A cos C+√3sinA· 6 6 sin C=sin B+sin C=sin (A+C)+sin C= sin Acos C+cos Asin C+sinC,所以 sin B+sin(B) sin(+) √3 sin A sin C-cos Asin C=sinC。因为C∈ 2√3 因为△ABC为锐角三角形，O (0,π)，所以sinC≠0，所以√3sinA一cosA= sin(B+) 1.即2sin(a-）=1,所以sin(A-）- <B<2,0<C- 2π 3 -B<受，所以<B< 是因为A∈(0x).所以-吾<A-一后< ，所以B+∈（臣，）所以 票所以A-晋-晋可得A=吾 sin(B+若)∈(，所以a∈[2,4.即 (2由正孩定理入-品B一C可 b C a的取值范围为[2√3,4)。 b+c 作者单位：河南省开封市第十中学 得A=nB十sinC,且A=3,6十c= (责任编辑郭正华) 30