1.1探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的验证及简单应用，通过上节课测量、数格子方法的局限性提问导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究定理的普遍性验证。 其亮点在于融合毕达哥拉斯证法、赵爽弦图、总统证法等多种拼图验证，以面积关系推理培养数学思维中的推理能力，结合几何直观（数学眼光）和侦察员测距实例体现数学语言的应用意识。助力学生理解定理本质，教师可丰富教学手段提升效率。

第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理 1.1.2勾股定理的验证及其简单应用 （第2课时） 创设情境，导入新课 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，但是这种方法是否具有普遍性呢？ 思考 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图. (1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来. 知识点1 勾股定理的验证 3 思考 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图. (1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来. 知识点1 勾股定理的验证 (1)图中正方形的面积由小到大依 次表示为a2，b2，c2，(a+b) 2； 三角形的面积都表示为ab. a2 b2 c2 (a+b) 2 ab ab ab ab 4 新知探究 我们带着这个问题开始探究吧！ 在图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流. 新知探究 a a a a b b b b c c c c 验证方法一：毕达哥拉斯证法 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4• ab ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 （1）将所有三角形和正方形的面积用a， b，c的关系式表示出来； （2）图1-5、图1-6中正方形ABCD 的面积分别是多少?你们有哪些表示方式?与同伴进行交流. （3）你能分别利用图1-5、图1-6验证勾股定理吗? 为了方便计算图中大正方形的面积，对其进行适当割补： S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2 c2=a2+b2 S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2 c2=a2+b2 C 思考 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图. (1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来. 知识点1 勾股定理的验证 (1)图中正方形的面积由小到大依 次表示为(b-a) 2，a2，b2，c2； 三角形的面积都表示为ab. (b-a) 2 a2 b2 c2 ab 10 (2)图中正方形 ABCD 的面积，你有哪些表示方式？ (2)图中正方形 ABCD的面积表示为(a+b) 2 或ab×4+c2=2ab+c2. 知识点1 勾股定理的验证 ab ab ab ab (a+b) 2 c2 11 (3)你能利用下图验证勾股定理吗? 知识点1 勾股定理的验证 (3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变， 即(a+b)2=2ab+c2， 所以a2+b2=c2. a2+b2+2ab 12 新知探究 你能找出右图中的大正方形面积吗？ 验证方法二：赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2=4• ab+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4• ab+(b-a)2 a b c b-a 新知探究 你能求出空白直角三角形面积吗？ 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 化简,得 验证方法三：美国总统证法 a a b b c c 观察图1-8，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2. 图1-8 请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔同学们的视野. 勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实.开方除之，即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把左图称为“赵爽弦图”. 知识点1 勾股定理的验证 2002年国际数学家大会会标的主要图案(如右图)就取材于此图. 17 例1 伽菲尔德的“总统证法”：如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2. 知识点1 勾股定理的验证 证明： 因为S梯形=(a+b)(a+b)=(a2+b2+2ab)， S梯形=ab+ab+c2= (2ab+c2)， 所以(a2+b2+2ab)= (2ab+c2)， 即a2+b2=c2 . 18 勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的． 归纳总结 新知探究 C B 公路 400m 500m A 2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后汽车与他相距500m，你能帮助小王计算敌方汽车的速度吗？ 运用新知，深化理解 C B 公路 400m 500m A 解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2， 也就是5002=BC2+4002，所以BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为300×6×60=10800（m），即它行驶的速度为108km/h. 新知探究 尝试交流 S=29 S=8 S=9 S=5 S=8 S=9 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么他的三边长仍然满足“最长边长的平方等于另外两边长的平方”吗？以下图为例，说说你的判断和理由，并与同伴交流。 新知探究 结论1：若钝角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b，则 a2+b2<c2 结论2：若锐角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b, 则 a2+b2>c2 S=29 S=8 S=9 S=5 S=8 S=9 回顾本节课的内容，你获得哪些知识？ 课堂小结 $