1.1 探索勾股定理（第1课时 认识勾股定理 ） 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，以《周髀算经》“勾三股四弦五”、电线杆钢索问题及毕达哥拉斯地砖情境导入，引导学生从实际问题出发，通过数格子、测量、割补法探索面积关系，归纳定理并应用。 其亮点在于融合数学文化与探究活动，通过割补法计算正方形面积、表格归纳数据培养几何直观与推理意识，结合梯子问题等实际应用发展应用意识。学生能提升探究与解决问题能力，教师可借助丰富情境高效教学。

【新教材】北师版·八年级上册 第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理 1.1.1认识勾股定理（第1课时） 素养目标 2.掌握勾股定理，能初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用. 1.通过数格子的方法探索勾股定理，理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系； Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 2 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五. 你知道为什么吗？ 探究新知 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系. 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧! 6 m 8 m ？ Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 4 探究新知 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边长，看看三边长的平方之间有怎样的关系？ 3 5 4 5 12 13 6 8 10 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 5 探究点一： 勾股定理的初步认识 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ A B C A B C 问题1 图中正方形 A、B、C 的面积之间有何关系吗？ 探究点一： 勾股定理的初步认识 以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积. 问题2　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )： 这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 探究点一： 勾股定理的初步认识 新知探究 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ 我们带着这个问题开始探究吧！ 新知探究 (1) 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。 a2 b2 c2 可能的关系 a b c 探究新知 猜想：两直角边的平方和等于斜边的平方. 即，a2+b2=c2. a b c a2，b2，c2之间关系 3 4 5 5 12 13 6 8 10 32+42=52 52+122=132 62+82=102 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 11 探究新知 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三条边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？ A B C A B C A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 4 9 9 ？ ？ 如何计算C的面积？ 即以各边长度为边长的正方形的面积. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 12 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 探究点一： 勾股定理的初步认识 根据前面求出的 C 的面积直接填出下表： A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 探究点一： 勾股定理的初步认识 问题3 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 探究点一： 勾股定理的初步认识 新知探究 A C B 如图，直角三角形三边的平分分别是多少，他们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流 A B C 新知探究 A C B A B C 左图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 9 9 18 9+9=18 a2+b2=c2 你能找出右图中的数量关系吗？ 探究新知 A B C A B C =18(单位面积) S正方形c 左图 右图 =8(单位面积) S正方形c 将正方形 C 分“割”成若干个直角边为整数的三角形. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 18 探究新知 你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ A B C A B C A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 4 9 9 18 8 SA + SB = SC Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 19 几何语言描述： 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2 a b c 公式变形： （a、b、c 为正数） 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2. 探究点一： 勾股定理的初步认识 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线 杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 100， 即 AB = 10. A C B 答：需要 10 m 的钢索. 探究点二： 勾股定理的简单应用 新知探究 对于下图中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的呢？ 方法一：割 将正方形 C 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 方法二：补 将正方形 C 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 该怎样求 C 的面积呢？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 新知探究 (3) 如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由. 勾 股 弦 1 0 2 1 1.6 2.4 成立. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 因此，我国称上面的结论为勾股定理. 探究新知 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？　 成立 B C A 2.4 2.88 1.6 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 24 归纳总结 勾股定理 直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么 a2+b2=c2. 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°， 所以a2+b2=c2. 公式变形： a b c B A C Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 25 解：(1) 正方形的面积为 325. (2) x = 8. 例1 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度. (1) (2) 探究点二： 勾股定理的简单应用 例2 如图，长 13 m 的梯子 AC 靠在墙上，梯子的底部 C 离墙角 B 的距离 BC 为 5 m (AB⊥BC)，求梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离 AB．​ A B C 5m 13m 解：在Rt△ABC 中， 由勾股定理得，AB2 + BC2 = AC2， 所以 AB2 + 52 = 132， 解得 AB = 12（m）． 答：梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离AB 为 12 m. 探究点二： 勾股定理的简单应用 新知探究 几何语言描述： 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2 a b c 公式变形： （a、b、c 为正数） 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2. A B C 新知探究 古希腊数学家毕达哥拉斯，在公元前5世纪给出了这个定理的证明，所以在国外这个定理也称为毕达哥拉斯定理，相传他证出这个定理后非常高兴，宰了一百头牛进行庆祝，于是也有人把它称为“百牛定理”. 归纳总结 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中 较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名． （在很多国家文献中称为毕达哥拉斯定理） 勾2股2弦2 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 30 小结 直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 定理 利用勾股定理进行计算 勾股定理 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 31 $