第二章 实数（暑假单元自测）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学第二章实数单元自测卷，90分钟120分，覆盖实数概念、运算、应用等核心考点，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，培养抽象能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数大小比较、二次根式意义、无理数识别、估算、数轴与实数（如第6题作图表示数）|结合几何直观（数轴作图）、实际情境（社区休闲角面积计算）| |填空题|6/18|最简二次根式、规律探究（如第16题等式规律）、图形面积（如第15题阴影面积）|注重推理意识（规律观察）、几何直观（正方形面积与数轴）| |解答题|8/72|实数运算、新定义运算、实际应用（街心花园改造）、规律探究（正多边形铺设）|突出应用意识（街心花园改造方案）、创新意识（类比探究二次根式规律）|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章实数单元自测卷 【新教材，北师大版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各数中，最大的数是() A.2 B.0 C.-1 D.-2 2.若二次根式V6-x有意义，则x的取值范围为() A.x26 B.x≤6 C.x>6 D.x<6 1 3.实数27,0，-元，2,30.202002002…（相邻两个2之间依次多一个0)，其中无理数有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.估计/19的值应在() A.3.5和4之间B.4和4.5之间 C.4.5和5之间 D.5和5.5之间 5.下列各式计算正确的是() A,2+5=5B.-2y=-2 c.8w5xF-5 D.24÷6=2 6.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=2,AB=1.以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴 正半轴交于点P,则点P所表示的数是() B A.2.2 B.2 C.1+2 D.5 7.实数a,b在数轴上的位置如图，则化简VB+Va2-2ab+b的结果是() 116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 0 b A.b B.2b-a C.-a D.2a+b 8.社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的 小型休闲广场.己知阅读区（正方形ABCE)和健身区（正方形CHGD)的面积分别为250m'、90m2, 则DE的长为() A E F D G B C H A.10m B.2√5m c.210m D.35m 2 2 9.化简1+53+55+√7 V2023+V2025的结果是() A.42 B.43 C.44 D.45 10.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把2表示在数轴上点A处，记A右侧最近的整数点为 B1,以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2,记A2右侧最近的整数点为B2,以点B2为圆心， A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3,如此继续，则A26B226的长为（). 0 1A B A2 B2 A3 A.V2-1 B.2 C.V2+1 D.2-√2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.比较大小：2 2(填“>”“<”或“=”). 12.若√27与最简二次根式3Va+2能合并，则a的值为一· 13.观察下表： 0.04 400 40000 0.2 2 20 200 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知V2.067≈1.436，√20.67≈4.540，则V20670≈ 14.如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右 侧)，且AE=AB,则点E所表示的数为 D -3-2-102345 15.如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为一 S=4 S-2 16.小明做数学题时， 发82居2得高-高4吾4 按上述规律，第五个等式是 ,第n个等式是 三、解答题（第17-第22题，每题8分；第23,24题，每题12分：共8小题，共72分） 17.计算： (1)9+V(-2)}--8 (2)1-v3+27+2(5-1 18.已知4a+1的平方根是3，b-1的立方根为2. (I)求a与b的值： (2)如果V15的整数部分为c,求2a+b+c的平方根与V15的小数部分的差 a-√b(a≥b) 19.对于任意两个非负数a,b,定义运算为：a⊕b= ⑧ a+/b(a<b) (1)计算18⊕8的结果： (2)若(c+3)03=3©(x+3),求x的值. 20.将下列各数填在相应的集合里. 316 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 364,π，31415926，-0.456,3.030030003.…（每相邻两个3之间依次多1个0)，0,17，-0， -7,0 有理数集合：{ …} 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{…； 整数集合：{ …}. 21.随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也渐渐发展为休闲、娱乐、 运动、餐饮一体化的市民游玩休憩场所.为了提升居住环境水平，某区准备对一个面积为600m的长方形 街心花园进行改造，计划开辟一个面积为357的圆形区域栽种银杏树，其余部分为活动场地.已知该街 心花园的长与宽之比为3：2。 ()求该街心花园的周长是多少？ (2)请通过计算说明该改造方案是否可行.（π取3） 22.阅读下面的文字，解答问题： 我们知道3是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将3的小数部分全部写出来，于是小慧用 V3-1来表示√3的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为3的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分 例如：4<7<5，即2<√万<3， ∴V7的整数部分为2，小数部分为(N7-2). (1)V17的整数部分是 一，小数部分是 ②)如果V6的小数部分为a,√95的整数部分为b,求a+b-V6阿的值： (3)已知x是8+V1的整数部分，y是8+V1的小数部分，求x-y的值. 23.【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： 1=12, 1+3=4=2, 1+3+5=9=32, 4/6 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+.+2027= (②)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周 围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外，每层有6块正方形地板砖，第一层包括6块正三角形地板砖， 第二层包括18块正三角形地板砖…以此递推。 (i)第4层中含有 块正三角形地板砖； (ii)第n层中含有」 块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）· 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、2400块正三角形地板砖，问：铺设这样 的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 24.【激活经验】 1 =1-11=1_1111 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：1×21-2,2×323,3×434：…在学 习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 请将探究过程补充完整： /1+ 2干。7=1+。=14 11 特例1： 1×2121 11 1,.11 特例2： 1 2+37=1+ =1+ 2×323 11 -1+ 1 11 特例3： -=1+ 32 42 3×434· 【发现规律】 (1) n2 (n+1)2 ( 且n为整数). 【应用规律】 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ◆ 11 ，11 ②V1++2+V1+2+++V1+2025+2026 果++安++写+…n-可〈25且为整数的小数部分 ,,1,1, ，11 .125'求出 它的整数部分. 6/6 第二章 实数 单元自测卷 【新教材，北师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数大小比较，利用“正数大于0，0大于负数”的比较规则即可得出结果． 【详解】∵ 是正数，根据实数大小比较规则，正数大于0，0大于所有负数， ∴ ， ∴ 最大的数是． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，有意义， ∴， 解不等式得 ． 3．实数，0，，，，（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，3是整数，属于有理数； 0是整数，是分数，均为有理数； ，，（相邻两个2之间依次多一个0）都是无限不循环小数，均为无理数； ∴无理数共有3个． 4．估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的值在4和4.5之间． 5．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误． ，故B错误． ，故C错误． ，故D正确． 6．如图，在中，，，．以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点P，则点P所表示的数是（     ） A．2.2 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求得，进而由点P在数轴的正半轴即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意，， ∴点P所表示的数是． 7．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（     ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】先由图得出，，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式得，然后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ ． 8．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用算术平方根求出正方形，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴． 9．化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意依次计算出，，，，，总结规律可知，线段的长的规律，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意，点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， ∴点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， 同理可得，，，， ∴线段， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小：_________2（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】两个正实数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方较大的正实数更大，据此即可判断. 【详解】解：∵，，，，又 ， ∴. 12．若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：，与最简二次根式能合并， 两个二次根式为同类二次根式，被开方数相等， 即，解得． 13．观察下表： 已知，，则________． 【答案】 【分析】本题先根据表格总结算术平方根的变化规律，再将所求被开方数变形，结合已知条件计算结果． 【详解】解：由表格可得规律：被开方数的小数点向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位． ∴． 14．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】/ 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 15．如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】由正方形的面积求出各自的边长，进而表示出阴影部分的长与宽，即可求出面积． 【详解】解：根据题意得：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的长和宽分别为和， 阴影部分的面积． 16．小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 【答案】 【分析】（1）根据前4个等式写出第5个等式即可； （2）根据前5个等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个等式为，即 第2个等式为，即， 第3个等式为，即， 第4个等式为，即， 第5个等式为，即， 归纳推得：第n个等式为，其中n为正整数． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解答即可； （2）根据求解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 18．已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解； （2）先估算出，可得，然后再求出小数部分，再代入求出平方根，最后求出差即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得，， （2）∵ ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴的小数部分为， 由（1）得，， ∴， ∴16的平方根为， ∴的平方根与的小数部分的差为 或． 19．对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 20．将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 21．随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游玩休憩场所．为了提升居住环境水平，某区准备对一个面积为的长方形街心花园进行改造，计划开辟一个面积为的圆形区域栽种银杏树，其余部分为活动场地．已知该街心花园的长与宽之比为． (1)求该街心花园的周长是多少？ (2)请通过计算说明该改造方案是否可行．（取3） 【答案】(1) (2)该改造方案不可行，理由见解析 【分析】（1）设该街心花园的长为，宽为，根据题意列出方程，利用算术平方根求解即可； （2）设栽种银杏树的圆形区域的半径为，根据题意得，确定，再由实数的比较方法即可判断． 【详解】（1）解：设该街心花园的长为，宽为． 根据边长与面积的关系，得， ， ． 由边长的实际意义，得． ，． 该街心花园的周长为； （2）解：设栽种银杏树的圆形区域的半径为． 根据半径与面积的关系，得， ． 由半径的实际意义，得． 栽种银杏树的圆形区域的直径为．      ， ． ． 该改造方案不可行． 22．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 23．【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)还需要块正方形地板砖 【分析】（1）根据所给等式，找出规律，即可得出答案； （2）（ⅰ）根据每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……，即可得出答案； （ⅱ）根据（i）中规律解得即可； （3）设可铺设层，根据（2）中规律列出方程，结合（1）中规律解方程求出，根据每层都有块正方形地板砖即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴． （2）解：（ⅰ）由图形可知，每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……， 第一层包括块正三角形地板砖， 第二层包括块正三角形地板砖， 第三层包括块正三角形地板砖， ∴第层包括块正三角形地板砖， （ⅱ）由（i）规律可得，第层中含有块正三角形地板砖． （3）解：设可铺设层， ∵有块正六边形、块正三角形地板砖， ∴， ∴， 解得：（负值舍去），即共铺设层， ∵每层都有块正方形地板砖， ∴还需要块正方形地板砖． 24．【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $