4.5.1 函数的零点与方程的解同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，基础层聚焦单一知识点巩固，提升层强化综合应用，形成从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|求函数零点、判断零点区间、零点个数、参数范围|选择填空为主，含教材改编题和易错题，强化概念理解与运算能力| |能力提升练|二次函数零点分布、函数零点综合问题|多选与填空结合，涉及分段函数、复合函数，培养逻辑推理与数学表达能力|

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 基础过关练 题组一　求函数的零点 1.(2025山西大同月考)函数f(x)=log2x-log4(x+20)的零点为(　　) A.4　　B.4或5　　 C.5　　D.-4或5 2.(2026广东揭阳期中)函数f(x)=x3(4-x2)(-2≤x≤2)的大致图象为(　　) 　　　　　　 3.(2026安徽六安一中月考)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是单调函数,若f=3,则f(x)的零点为(　　) A.2　　B.1　　C.4　　D.6 题组二　判断函数的零点所在的区间 4.(2026北京人大附中期中)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表: x 1 2 3 4 5 y 2 025 11 -5 8 -10 则不一定包含f(x)零点的区间是(　　) A.(1,2)　　B.(2,3)　　C.(3,4)　　D.(4,5) 5.(2026辽宁大连滨城高中联盟期中)函数f(x)=ex+1--1(e=2.718 28…)在下列哪个区间内一定有零点(　　) A.(-2,-1)　　B.(-1,0)　　C.(0,1)　　D.(1,2) 6.(2026山东青岛一中模块考试)函数f(x)=2x+的零点所在区间是(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 7.(教材习题改编)(2025河南南阳六校联考)方程2x+1-x=5的正数解所在的区间是(　　) A.(0,1)　　B.(1,2)　　C.(2,3)　　D.(3,4) 题组三　判断函数的零点个数 8.(2026黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中)函数f(x)=x3+3x-1的零点个数为(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 9.(2026重庆名校联盟联考)定义min{a,b}=若f(x)=2-x2,g(x)=x2,F(x)=min{f(x),g(x)},则F(x)有　　　　个零点.  10.(2025辽宁抚顺六校协作体期末)设[x]表示不超过x的最大整数,如[1.5]=1,[-1.5]=-2,则函数f(x)=x2-[x]-1的零点个数为　　　　.  题组四　根据零点情况求参数的值(范围) 11.(2026黑龙江哈尔滨期中)已知f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时, f(x)=若方程f(x)-a=0有六个不同的实根,则实数a的取值范围是　　　　.  12.(易错题)(2026河南郑州期末)函数f(x)=-3ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围为　　　　.  13.(2026山东名校联盟期中)已知函数f(x)=g(x)=-x2-2x+1,若方程f(g(x))-a=0有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　　　.  能力提升练 题组一　二次函数的零点分布 1.(2026天津四十七中期中)关于x的方程x2-4x+a=0的两根都大于1的一个充分不必要条件是(　　) A.3<a<4　　B.3<a≤4　　C.a>3　　D.a≤4 2.(2025上海控江中学期中)设函数f(x)=(x2-c1x+36)(x2-c2x+36)·(x2-c3x+36)(x2-c4x+36)(x2-c5x+36),集合M={x|f(x)=0}={x1,x2,…,x9}⊆N*,c1≥c2≥c3≥c4≥c5,则c1-c5=(　　) A.17　　B.20　　C.22　　D.25 3.(2026山东淄博实验中学期中)已知函数f(x)=的图象上存在两组关于原点对称的点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0)　　B.(0,1)　　 C.　　D. 4.(多选题)(2026福建泉州期中)设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个不同的实数根x1,x2,x3(x1<x2<x3),则下列说法正确的是(　　) A.m的取值范围是(0,1] B.x2+x3=2 C.x1+x2+x3的取值范围为 D.x1x2+x1x3+x2x3的取值范围是 题组二　函数零点的综合问题 5.(2026江苏常熟期中)已知f(x)=g(x)=ax+1,若方程f(x)=g(x)有四个不相等的实数解,则实数a的取值范围是(　　) A.(-3,1]　　B.(-3,1)　　C.(-2,1]　　D.(-2,1) 6.(多选题)(2026山东济南历城二中期中)已知f(x)=若方程f(x)=k有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是(　　) A.0<k<1　　B.2x1+x2≥2　　 C.x1x2+x3+x4=6　　D.7<x2+< 7.(多选题)(2026山东淄博齐盛高级中学期中)已知f(x)=λ∈R,g(x)=f(x)-m,则下列说法正确的是(　　) A.当λ=0时,函数f(x)有三个零点 B.当λ=2时,若函数g(x)有三个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3∈(6,6+ln 2) C.若函数f(x)恰有两个零点,则λ∈(-∞,0) D.若存在实数m使得函数g(x)有三个零点,则λ∈(-∞,3) 8.(2026天津一中期中)已知f(x)=x2+mx+2,若方程f(x)+|x2-1|=2在(0,2)上有两个不等实根,则实数m的取值范围是　　　　.  9.(2026黑龙江齐齐哈尔第六中学校月考)已知f(x)=则函数y=2x与y=|f(x)|的图象有　　　　个交点,若关于x的方程[f(x)]2-2(p+2)f(x)+p2+4p=0有六个不同的实数根,则p的取值范围为　　　　.  10.(2025江西宜春宜丰中学月考)设函数f(x)=(a∈R),若函数y=4f(x)+5的零点为4,则使得8f(t2-16)+63≥0成立的整数t的个数为　　　　.  11.(2026湖北问津教育联合体月考)已知正实数a,b满足:a·ea-2=1,eb+ln b=1,则=(　　) A.e　　B.　　C.3　　D. 答案 4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 基础过关练 1.C　由题意可得解得x>0, 故f(x)的定义域为(0,+∞). 令f(x)=log2x-log4(x+20)=0,得log2x=log4(x+20),即log2x=log2. 易知函数y=log2x在定义域内单调递增, 所以x=, 整理,得x2-x-20=0,解得x=5或x=-4, 因为x>0,所以x=5. 2.B　由已知得函数f(x)的定义域为[-2,2], 又f(-x)=(-x)3[4-(-x)2]=-x3(4-x2)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,D; 令f(x)=0,可得x=0(三重根)或x=±2, 所以f(x)在[-2,2]上的零点有且只有三个,排除C.故B正确. 3.B　因为f(x)在(0,+∞)上单调,所以设t=f(x)+(t>0),则f(x)=t-,且f(t)=3, 所以t-=3,解得t=4(负值舍去), 所以f(x)=4-(x>0), 令f(x)=0,解得x=1,所以f(x)的零点为1. 4.A　因为f(2)f(3)<0, f(3)f(4)<0, f(4)f(5)<0,且函数的图象是一条连续不断的曲线, 所以函数在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均有零点. 因为f(1)f(2)>0,所以函数f(x)在区间(1,2)上不一定有零点. 5.B　由已知得f(x)的图象是一条连续不断的曲线.因为f(-2)=e-1-<0, f(-1)=-<0, f(0)=e->0, f(1)=e2->0, f(2)=e3->0, 所以由函数零点存在定理可知,函数f(x)在区间(-1,0)内一定有零点. 6.C　易知f(x)=2x+在R上单调递增, 观察选项可知, f(x)的零点在(-1,0)内. 因为f(-1)=2-1+=-<0, f(0)=20+0=1>0, f=+=-<0,所以f(x)的零点在内. 又f=+=->0,所以函数f(x)的零点位于内. 7.B　2x+1-x=5即2x+1=5+x,所以方程的解为曲线y=2x+1与直线y=x+5的交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x+1,y=x+5的图象,如图所示. 由图可知,两函数图象在(0,+∞)内只有1个交点. 设f(x)=2x+1-x-5,则f(1)=-2<0, f(2)=1>0,所以f(1)f(2)<0, 故原方程的正数解所在的区间是(1,2). 8.B　易知函数f(x)在R上单调递增, ∴f(x)在R上至多有一个零点, ∵f(0)=03+3×0-1=-1<0, f(1)=13+3×1-1=3>0, ∴f(x)在区间(0,1)内存在零点, ∴函数f(x)=x3+3x-1在R上的零点个数为1. 9.答案　3 解析　当2-x2≥x2,即-1≤x≤1时,F(x)=g(x)=x2, 当2-x2<x2,即x<-1或x>1时,F(x)=f(x)=2-x2, 综上,F(x)= 当x<-1或x>1时,令2-x2=0,得x=±,当-1≤x≤1时,令x2=0,得x=0(二重根),所以函数F(x)有3个零点. 10.答案　1 解析　令x2-[x]-1=0,得x2-1=[x],所以f(x)的零点个数即函数y=x2-1与y=[x]的图象的交点个数. 易知x=0和x=1不是f(x)的零点. 在同一平面直角坐标系中作出y=x2-1与y=[x](x≠0且x≠1)的图象,如图, 由图可知,两函数图象只有一个交点,故f(x)只有1个零点. 11.答案　(1,2) 解析　依题意作出函数f(x)的大致图象,如图: 由方程f(x)=a有六个不同的实根,可得1<a<2. 12.答案　∪ 解析　当a=0时, f(x)=4x-1,令f(x)=0,得x=,满足题意. 当a≠0时,若f(x)=0有2个相等的实数根,则Δ=16-12a=0,解得a=, (易错点:一元二次方程在Δ=0时,有2个相等实数根,是不变号零点,不能用函数零点存在定理判断) 此时f(x)=-4x2+4x-1=-(2x-1)2,令f(x)=0,得x=(二重根),满足题意. 若f(x)=0有2个不相等的实数根,则Δ>0,得a<,由f(-1)f(1)<0,得(-3a-5)(-3a+3)<0,所以-<a<1,且a≠0. 由f(1)=0,得a=1,此时f(x)=-(3x-1)(x-1),令f(x)=0,得x=或x=1,故f(x)在(-1,1)内恰有一个零点x=,满足题意. (易错点:满足函数零点存在定理,一定有实数根,但不满足函数零点存在定理,不一定没有实数根) 由f(-1)=0,得a=-,此时f(x)=(5x-1)(x+1),令f(x)=0,得x=或x=-1,故f(x)在(-1,1)内恰有一个零点x=,满足题意. 综上,a的取值范围是∪. 13.答案　 解析　令g(x)=t,则f(t)=a,如图, 由图象可知, f(t)=a和g(x)=t均最多有2个不同的根, 所以要使f(g(x))-a=0有四个不同的解,则f(t)=a必须有两个小于2的不同实数根(点拨:当t<2时,g(x)=t中每个t的值对应两个x的值), 由y=f(x)的图象可得实数a的取值范围是. 能力提升练 1.A　令f(x)=x2-4x+a,其图象开口向上,对称轴方程为x=2, 由方程x2-4x+a=0的两根都大于1,可得解得3<a≤4. 由题意知所求范围对应集合为(3,4]的真子集,逐项分析知A符合题意. 2.D　由M={x|f(x)=0}={x1,x2,…,x9}⊆N*可得函数f(x)有9个正整数零点. 对于函数y=x2-cix+36(i=1,2,3,4,5),其零点个数为1或2,其图象的对称轴方程为x=(i=1,2,3,4,5), 对于方程x2-cix+36=0(i=1,2,3,4,5),由根与系数的关系可知,两根之积为36,两根之和为ci(i=1,2,3,4,5),则符合要求的两根有1,36;2,18;3,12;4,9;6,6. 又c1≥c2≥c3≥c4≥c5, 所以c1=1+36=37,c2=2+18=20,c3=3+12=15,c4=4+9=13,c5=6+6=12, 所以c1-c5=37-12=25. 3.D　在函数f(x)=x2+1-a2,x∈(0,+∞)的图象上任取点(x,y),则y=x2+1-a2, 则点(-x,-y)在函数f(x)=x2+ax,x∈(-∞,0)的图象上,即-y=(-x)2-ax,即y=-x2+ax,所以x2+1-a2=-x2+ax, 整理得2x2-ax+1-a2=0, 令g(x)=2x2-ax+1-a2,则函数g(x)有两个不相等的正零点, 所以解得<a<1. 因此实数a的取值范围是. 4.BCD　作出分段函数f(x)=的图象,如图所示, 依题意知0<m<1,故A错误; 由图知x2,x3为方程-x2+2x=m,即x2-2x+m=0的两个根,则x2+x3=2,故B正确; 由2-x1=m,0<m<1,得0<2-x1<1,又x1<0,所以-<x1<0,因此<x1+x2+x3<2,故C正确; 由B知,x2x3=m=2-x1,则x1x2+x1x3+x2x3=x1(x2+x3)+x2x3=2+x1, 易知函数y=2+x1在上单调递减,在上单调递增, 故当x1=-时,ymin=-,当x1=-或x1=0时,y=0,所以-≤2+x1<0, 所以x1x2+x1x3+x2x3的取值范围是,故D正确. 5.D　因为f(x)=g(x)有四个不相等的实数解, (结论:一元n次方程至多有n个实数解) 所以x>0时方程有一个实数解,x≤0时方程有三个不相等的实数解. ①当x>0时,由-2x+5=ax+1得(a+2)x=4,因为方程有一个正实数解, 所以a+2>0,即a>-2. ②当x≤0时,由x3+4x2+x+1=ax+1,得x(x2+4x+1-a)=0, (方法技巧:三次方程的解法主要是因式分解,当分解出一个一次式后,将问题化为一元二次方程有两负数解来解决) 显然方程有一个实数解x=0, 所以x2+4x+1-a=0有两个不相等的负实数解,设为x1,x2,由根与系数的关系得 解得-3<a<1. 综上,a的取值范围是(-2,1). 6.ABD　在同一坐标系内作出函数f(x)=的图象和直线y=k,如图, 由图知,要使方程f(x)=k有四个不同的实数根,只需0<k<1,因此A正确; 易得f==1, f(2)=|log22|=1, f(4)=42-6×4+9=1, 且函数y=x2-6x+9的图象关于直线x=3对称, 结合图可得<x1<1<x2<2<x3<3<x4<4,且-log2x1=log2x2,x3+x4=6, 所以log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0,可得x1x2=1,则x1x2+x3+x4=1+6=7,因此C错误; 由x1x2=1得x1=,所以2x1+x2=+x2≥2=2, 当且仅当x2=时,等号成立,所以2x1+x2≥2,因此B正确; 由x1x2=1,x3+x4=6, 得x2+=x1+,<x1<1, 易知y=x+在上单调递减, 所以7<x1+<,即7<x2+<,因此D正确. 7.ABD　对于A,当λ=0时, f(x)= 当x≤0时,令ex-1=0,解得x=0, 当x>0时,令-x2+6x-8=0,解得x=2或x=4, 所以当λ=0时,函数f(x)有三个零点,因此A正确; 对于B,当λ=2时, f(x)= 令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m,画出函数y=f(x)的图象与直线y=m,如图, 要想g(x)有三个零点x1,x2,x3,则m∈(0,1), 不妨设x1<x2<x3,令ex-1=1,得x=ln 2,故x1∈(0,ln 2),由对称性可得x2+x3=6,故x1+x2+x3∈(6,6+ln 2),因此B正确; 对于C,由B可知,当λ=2时, f(x)有两个零点,因此C错误; 对于D,画出y=f(x)的图象与直线y=m,如图, 若存在实数m使得函数g(x)有三个零点,则要保证y=-x2+6x-8的图象在对称轴左侧的部分存在,所以λ∈(-∞,3),因此D正确. 8.答案　 解析　方程f(x)+|x2-1|=2即为x2+mx+2+|x2-1|=2,可得m=,x∈(0,2). 令h(x)==由已知得函数y=h(x)的图象与直线y=m有两个交点, 结合分段函数的单调性,作出函数y=h(x)的图象和直线y=m,如图所示, 由图可知,实数m的取值范围为. 9.答案　5;(2,+∞)∪{0} 解析　作出函数y=|f(x)|和y=2x的图象,如图所示, 由图可知函数y=2x与y=|f(x)|的图象有5个交点(点拨:①y=f(x)的图象通过“下翻上”的变换得到y=|f(x)|的图象;②函数y=2x与y=log2x互为反函数,图象无交点). 令f(x)=t,则方程[f(x)]2-2(p+2)f(x)+p2+4p=0化为t2-2(p+2)t+p(p+4)=0,即(t-p)[t-(p+4)]=0,解得t1=p,t2=p+4, 要使关于x的方程[f(x)]2-2(p+2)f(x)+p2+4p=0恰好有六个不同的实数根, 则需或或 解得p=0或p>2. 10.答案　10 解析　因为函数y=4f(x)+5的零点为4,所以4f(4)+5=0,所以f(4)=-,又f(x)=,所以f(4)==-,所以a=9,所以f(x)==-,x∈[0,+∞). 因为y=在[0,+∞)上单调递减,y=在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减. 由8f(t2-16)+63≥0得f(t2-16)≥-,又f(64)=-,所以f(t2-16)≥f(64),所以0≤t2-16≤64, 故t∈[-4,-4]∪[4,4],又t∈Z, 故t=±8,±7,±6,±5,±4,故整数t的个数为10. 11.B　对a·ea-2=1两边取自然对数得ln(a·ea-2)=0,即ln a+a-2=0, (方法技巧:两边取自然对数,将指数化为对数,便于和另一个方程建立联系) 因此ln a-1+a=1,所以ln +a=1, 由eb+ln b=1,得eb+ln =1. 设f(x)=x+ln ,则f(a)=f(eb)=1, 易知f(x)是增函数,说明:f(x)=x+ln =x+ln x-1,其中y=x与y=ln x均为增函数 因此a=eb,所以=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $