2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式的应用件同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A级基础与B级拔高分层设计，以5:3题量配比构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，适配新授课教学，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|二次函数与不等式恒成立、存在性问题，含参不等式求解|选择题（1-5）直接考查概念应用，解答题（7-8）训练分类讨论，体现推理意识| |B级|含参不等式综合应用、实际问题建模|题13结合利润计算实现数学建模，题12融合一次函数与不等式，发展应用意识|

2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式的应用 A级　基础练习 1.(2026广东湛江阶段练习)已知x∈R,若-x2+ax-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤-2或a≥2} B.{a|-2≤a≤2} C.{a|a<-2或a>2} D.{a|-2<a<2} 2.设x∈R,不等式ax2+2ax-3<0恒成立的一个充分条件可以是(　　) A.{a|-3<a<0} B.{a|-3≤a<0} C.{a|-3<a<1} D.{a|-3≤a<1} 3.若不等式x2-2x-3≤0对∀x∈{x|a≤x≤a+2}恒成立,则实数a的值可以是(　　) A.-2 B.- C. D.2 4.已知命题p:∃x∈R,x2+mx+4≤0为真命题,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≥4} B.{m|m≤-4} C.{m|-4≤m≤4} D.{m|m≤-4或m≥4} 5.若关于x的不等式x2-6x+11-a<0在2<x<5内有解,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a>-2} B.{a|a>3} C.{a|a>6} D.{a|a>2} 6.若当x>0时,不等式x2-(m+1)x+16≤0有解,则实数m的取值范围是　　　　　.  7. 解关于x的不等式x2-2x+1-a2<0. 8.设y=mx2-mx-1(m∈R). (1)若命题:∃x∈R,y>0是假命题,求m的取值范围; (2)若命题:∃x∈{x|-4<x<0},y≥(m+1)x2+3是真命题,求m的取值范围. B级　拔高提升 9.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a<-2或a≥2} B.{a|-2<a<2} C.{a|-2<a≤2} D.{a|a<2} 10.若∀x∈{x|x>-2},不等式x2+(4-a)x+7-2a≥0恒成立,则实数a的最大值为　　　　　.  11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　　.  12.(2026江苏天一中学期中)若对于任意实数x,不等式(a-1)x2-2(a-1)x-4<0恒成立, (1)则实数a的取值范围是　　　　　;  (2)在(1)的条件下,使ax2-7x+a-1>0恒成立,则x的取值范围是　　　　　.  13.某商场新进一批风衣,在市场试销中发现,此风衣的销售单价p(单位:元/件)与日销售量x(单位:件)之间的关系为p=160-2x,总成本R为(500+30x)元,该商场的日销售量在什么范围时,每天获得的利润不少于1300元? 答案： 1.B　由题意得Δ≤0,即a2-4≤0,解得-2≤a≤2.故选B. 2.A　若a=0,则-3<0恒成立; 若a≠0,则解得-3<a<0, 所以不等式ax2+2ax-3<0恒成立的充要条件为{a|-3<a≤0}.若求充分条件,只有A符合.故选A. 3.C　(方法1)解不等式x2-2x-3≤0,得-1≤x≤3. 因为不等式x2-2x-3≤0对∀x∈{x|a≤x≤a+2}恒成立,所以{x|a≤x≤a+2}⊆{x|-1≤x≤3},可得解得-1≤a≤1.故选C. (方法2)因为y=x2-2x-3的图象开口向上, 所以只要所以 所以-1≤a≤1.故选C. 4.D　由题可知x2+mx+4≤0有实根,则Δ=m2-16≥0,解得m≤-4或m≥4.故选D. 5.D　由题意a>x2-6x+11=(x-3)2+2,因为-2<x<5,所以(x-3)2+2的最小值为2,所以a>2. 6.{m|m≥7}　因为x>0,所以不等式x2-(m+1)x+16≤0可化为m+1≥x+, 又因为x+≥2=8,当且仅当x=,即x=4时,等号成立,所以当x>0时,x+的最小值为8,所以m+1≥8,即m≥7. 7.解 原不等式可化为[x-(1-a)][x-(1+a)]<0, 若a=0,则该不等式解集为⌀; 若a>0,此时1-a<1+a,故该不等式的解集为{x|1-a<x<1+a}; 若a<0,此时1+a<1-a,故该不等式的解集为{x|1+a<x<1-a}. 8.解 (1)由命题:∃x∈R,y>0是假命题,得∀x∈R,y≤0是真命题,即∀x∈R,mx2-mx-1≤0成立,当m=0时,-1≤0恒成立,符合题意; 当m≠0时,解得-4≤m<0. 综上,m的取值范围是{m|-4≤m≤0}. (2)不等式y≥(m+1)x2+3⇔mx2-mx-1≥(m+1)x2+3⇔-mx≥x2+4, 命题:∃x∈{x|-4<x<0},y≥(m+1)x2+3是真命题,则∃x∈{x|-4<x<0},-mx≥x2+4是真命题, 即∃x∈{x|-4<x<0},m≥-x+是真命题. 因为0<-x<4,则-x+≥2=4,当且仅当x=-2时,等号成立,则m≥4, 所以实数m的取值范围为{m|m≥4}. 9.C　因为关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀,即(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立.当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,显然满足条件.当a-2≠0时,应满足a-2<0且Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0,解得-2<a<2.综上,实数a的取值范围为{a|-2<a≤2}.故选C. 10.2　由题意x2+4x+7≥a(x+2)在(-2,+∞)上恒成立, 所以a≤=x+2+, 又x+2+≥2=2,当且仅当x+2=,即x=-2时,等号成立,所以实数a的最大值为2. 11.　①当a2-1≠0,即a≠±1时,解得-<a<1. ②当a2-1=0,即a=±1时,若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不符合题目要求,舍去. 综上,当-<a≤1时,原不等式的解集为R. 12.(1){a|-3<a≤1}　(2){x|-≤x≤-1}　(1)当a=1时,不等式为-4<0恒成立;当a≠1时,结合二次函数的图象可得解得-3<a<1. 综上,实数a的取值范围是{a|-3<a≤1}. (2)设y=ax2-7x+a-1=(x2+1)a-7x-1, 因为x2+1>0,所以y是关于a的一次函数,且y随a的增大而增大,所以当a=-3时,y≥0,即-3x2-7x-4≥0, 所以3x2+7x+4≤0,所以-≤x≤-1. 13.解由题意(160-2x)x-(500+30x)≥1 300,即x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45. 所以该商场此风衣的日销售量x满足20≤x≤45且x∈N*时,每天获得的利润不少于1 300元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $