4.5.3 函数模型的应用 课堂限时训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过基础认知、中档应用、综合提升三层设计，实现从单一知识点识别到实际问题建模的进阶，培养数学眼光与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|函数图像识别、数据模型选择|单选1行程问题情境（数学眼光）| |中档应用|分段函数应用、指数衰减模型|填空8指数衰减计算（数学思维）| |综合提升|散点图分析、函数模型建立与预测|解答题9-10实际问题建模（模型意识）|

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第四章 4.5.3 函数模型的应用 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变若该船从石塘出发后所用的时间为，货船距石塘的距离为，则下列各图能反映与之间函数关系的大致图象是(     ) A. B. C. D. 2.有一组实验数据如表： 则体现这组数据的最佳函数模型是(     ) A. B. C. D. 3.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励当销售利润超过万元时，若超过的部分为万元，则超过的部分按进行奖励记奖金为单位：万元，销售利润为单位：万元如果业务员小江获得万元的奖金，那么他的销售利润是万元． A. B. C. D. 4.某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中的杂质，要使水中的杂质不超过原来的，则至少需要提炼的次数为参考数据：取 A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是(     ) A. 甲同学从家出发到乙同学家走了 B. 甲从家到公园的时间是 C. 甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D. 当时，与的关系式为 6.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示横轴为投资时间，纵轴为每天的回报根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(    ) A. 投资天以内含天，采用方案一 B. 投资天，不采用方案三 C. 投资天，采用方案二 D. 投资天，采用方案二 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近年的产量平稳增长记年为第年，且前年中，第年与年产量单位：万件之间的关系如下表所示： 若近似符合以下三种函数模型之一：则你认为最适合的函数模型的序号为           8.将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过秒甲桶中的水只有升，则的值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某企业常年生产一种出口产品，自年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知年为第年，前年年产量万件如下表所示： 画出年该企业年产量的散点图 建立一个能基本反映误差的绝对值小于这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式 年即因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少，试根据所建立的函数模型，确定年的年产量为多少 10.本小题分 科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，秒后染料扩散的体积是，秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积单位：与时间单位：秒的关系有两种函数模型可供选择：，，其中，均为常数． 试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式 若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第四章 4.5.3 函数模型的应用 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变若该船从石塘出发后所用的时间为，货船距石塘的距离为，则下列各图能反映与之间函数关系的大致图象是(     ) A. B. C. D. 2.有一组实验数据如表： 则体现这组数据的最佳函数模型是(     ) A. B. C. D. 3.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励当销售利润超过万元时，若超过的部分为万元，则超过的部分按进行奖励记奖金为单位：万元，销售利润为单位：万元如果业务员小江获得万元的奖金，那么他的销售利润是万元． A. B. C. D. 4.某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中的杂质，要使水中的杂质不超过原来的，则至少需要提炼的次数为参考数据：取 A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是(     ) A. 甲同学从家出发到乙同学家走了 B. 甲从家到公园的时间是 C. 甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D. 当时，与的关系式为 6.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示横轴为投资时间，纵轴为每天的回报根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(    ) A. 投资天以内含天，采用方案一 B. 投资天，不采用方案三 C. 投资天，采用方案二 D. 投资天，采用方案二 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近年的产量平稳增长记年为第年，且前年中，第年与年产量单位：万件之间的关系如下表所示： 若近似符合以下三种函数模型之一：则你认为最适合的函数模型的序号为           8.将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过秒甲桶中的水只有升，则的值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某企业常年生产一种出口产品，自年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知年为第年，前年年产量万件如下表所示： 画出年该企业年产量的散点图 建立一个能基本反映误差的绝对值小于这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式 年即因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少，试根据所建立的函数模型，确定年的年产量为多少 10.本小题分 科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，秒后染料扩散的体积是，秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积单位：与时间单位：秒的关系有两种函数模型可供选择：，，其中，均为常数． 试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式 若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第四章 4.5.3 函数模型的应用 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变若该船从石塘出发后所用的时间为，货船距石塘的距离为，则下列各图能反映与之间函数关系的大致图象是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.有一组实验数据如表： 则体现这组数据的最佳函数模型是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励当销售利润超过万元时，若超过的部分为万元，则超过的部分按进行奖励记奖金为单位：万元，销售利润为单位：万元如果业务员小江获得万元的奖金，那么他的销售利润是万元． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】由题意知，当时， 当时， 所以 当时，，故小江销售利润，所以，解得， 所以小江的销售利润是万元故选D． 4.某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中的杂质，要使水中的杂质不超过原来的，则至少需要提炼的次数为参考数据：取 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解． 本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题． 【解答】 解：经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的， 由题意可得，，即， 故至少需要次提炼． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是(    ) A. 甲同学从家出发到乙同学家走了 B. 甲从家到公园的时间是 C. 甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D. 当时，与的关系式为 【答案】BD  【解析】在中，甲在公园休息的时间是， 所以只走了，A错误；由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当时，设，则，解得，D正确． 6.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示横轴为投资时间，纵轴为每天的回报根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(    ) A. 投资天以内含天，采用方案一 B. 投资天，不采用方案三 C. 投资天，采用方案二 D. 投资天，采用方案二 【答案】ABC  【解析】对于，若投资天以内含天，因为每天的回报均是方案一的回报最多，故采用方案一，所以A正确 对于，投资天，方案三的总回报是最少的，故不采用方案三，所以B正确 对于，投资天，由图可得方案三每天的回报均少于方案二，计算可以得到方案一的总回报为元方案二的总回报为元，故采用方案二，所以C正确 对于，根据图象的变化可知，方案三从第天开始回报远超过元，可知方案三回报高很多，所以采用方案三，所以D错误． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近年的产量平稳增长记年为第年，且前年中，第年与年产量单位：万件之间的关系如下表所示： 若近似符合以下三种函数模型之一：则你认为最适合的函数模型的序号为           【答案】  【解析】符合条件的是． 若模型为，则由，得，即， 此时，，，与已知数据相差太大，不符合． 若模型为，则是减函数，与已知数据不符合． 8.将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过秒甲桶中的水只有升，则的值为          ． 【答案】  【解析】秒后甲桶和乙桶的水量相等，函数满足，即，得，若秒后甲桶中的水只有升，即，即，得，故． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某企业常年生产一种出口产品，自年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知年为第年，前年年产量万件如下表所示： 画出年该企业年产量的散点图 建立一个能基本反映误差的绝对值小于这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式 年即因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少，试根据所建立的函数模型，确定年的年产量为多少 【答案】画出散点图，如图所示． 由散点图知，可选用一次函数模型， 设． 由已知得解得 得所以， 检验：，且． ，且． 所以一次函数模型能基本反映这一时期该企业年产量的变化． 根据所建的函数模型，预计年的年产量为万件， 又年产量减少，万件， 即年的年产量为万件． 10.本小题分 科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，秒后染料扩散的体积是，秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积单位：与时间单位：秒的关系有两种函数模型可供选择：，，其中，均为常数． 试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式 若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 【答案】解：染料扩散的速度是先快后慢， 选第二个模型更合适，即， 由题意， ，即 ， ， ， ， ， 至少需要秒．  【解析】本题考查利用对数函数模型解决实际问题，考查利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题． 易得选第二个模型更合适，即，代入计算可得该模型的解析式 由，解出即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $