21.1 二次函数（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念、一般形式及自变量取值范围，通过面积问题、销售增长模型、排球运动高度等实际情境导入，结合函数、一次函数、一元二次方程的知识回顾，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生抽象数量关系。 其亮点在于以实际问题为载体发展数学建模能力，通过类比一次函数和一元二次方程归纳定义培养推理意识，典例分析与练习融入隧道截面面积等生活场景强化应用。课堂小结梳理知识与思想方法，易错提示助力学生规避错误，学生能提升问题解决能力，教师可高效开展概念教学。

21.1 二次函数 第二十一章 二次函数与反比例函数 沪科版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数的核心概念，牢固掌握其一般形式 y=ax²+bx+c的结构特征。能从实际问题中抽象出数量关系，准确列出二次函数表达式，并结合情境确定自变量的取值范围。 经历“实际问题 → 建立函数模型 → 归纳概念”的探究过程，提升分析和解决问题的能力。在运用函数描述变化规律的过程中，进一步发展数学建模能力和抽象概括能力。 体会二次函数在刻画现实世界中变量关系的作用，感受数学的应用价值和美学价值。激发学习数学的好奇心与求知欲，培养勇于探索、勤于思考的科学态度。 知识回顾 1.什么叫函数？我们学过哪些函数？ 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2. 一次函数 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数。 其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0。 3.一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 情景导入 导入新课 问题1(面积问题)： 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 分析 本题的等量关系 2.矩形面积 = 长 × 宽 1.周长等量关系 矩形围网总长 40m， 矩形周长公式： 2×(长+宽)=40 问题1(面积问题)： 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 导入新课 解：设矩形一边长为x m， 则另一边长： 40÷2−x=（20−x）m，面积为 S m²。 则有 S = x(20 - x) 追问：S 与 x 是函数关系吗？ y = −x2 + 20 x . 问题1(面积问题)： 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 导入新课 解：设矩形一边长为x m， 则另一边长： 40÷2−x=（20−x）m，面积为 S m²。 则有 S = x(20 - x) y = −x2 + 20 x . 此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数. 问题1(面积问题)： 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 导入新课 解：设矩形一边长为x m， 则另一边长： 40÷2−x=（20−x）m，面积为 S m²。 则有 S = x(20 - x) y = −x2 + 20 x .① 这里x的取值有什么限制？ （0＜x＜20） 课件用的小图标，可选用 提分笔记 思考 12 导入新课 某公司今年 1 月销售额为 100 万元. 公司制订销售目标，计划每月销售额增长率为 x. 按此计划，3 月的销售额是多少万元？ 解 按题意，2 月的销售额为 100(1 + x) 万元. 设 3 月的销售额为 y 万元，则有 整理并化简，得 问题2(销售增长模型问题)： 分析 复利增长公式： 次月销售额 = 上月销售额 × (1 + 月增长率) 本题的等量关系 1 月销售额：100 万元 2 月销售额 = 1 月销售额 × (1+x) 3 月销售额 = 2 月销售额 × (1+x) y = 100(1 + x)2 y = 100x2 + 200x + 100 ② 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 导入新课 问题3(排球运动中的数学问题)： 在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起后，排球离地面的高度 h m 与被垫起后的时间t s 满足 h = 10t - ×10t2 + 0.2 排球离地面的最大高度是多少？ 追问：h 与 t 是函数关系吗？ 对于 t 的每一个值，h 都有唯一的一个对应值，即 h 是 t 的函数. h = -5t2 + 10t + 0.2 ③ 议一议 新知探究 探究点1 类比旧知，归纳定义 （1）观察这三个式子，符合一次函数特征吗？ 自变量最高次数不是 1，出现自变量的平方项， 所以不是一次函数。 （2）函数关系式有什么共同点? 特点： 1.三个解析式都只含______自变量 2.自变量最高次数都是_____ 一个 2 二次函数 y = −x2 + 20 x ① y = 100x2 + 200x + 100 ② h = -5t2 + 10t + 0.2 ③ 3.函数解析式都是______ 整式 新知探究 探究点1 类比旧知，归纳定义 二次函数 二次 （一元）二次方程 函数 一次函数 ax2+bx+c=0(a≠0) y=kx+b (k，b是常数，k≠0) 二次函数的概念： 思考 关键词 · 整式结构 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式 关键词 · 单一变量 函数解析式中只含有一个自变量（如x, t），不存在其他未知量。 关键词 · 最高次为 2 自变量的最高次数是 2 次，且二次项系数不能为 0。 新知探究 归一归 探究点1 类比旧知，归纳定义 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. ☛ 二次函数的概念 新知探究 探究点2 规范一般形式，辨析各项系数 议一议 （1）任意二次函数经过整理可以统一化为什么形式？ 经过整理可化为统一形式： 二次函数的一般形式 各项系数： 二次项系数 ：一次项系数 常数项 组成：式子左边有三项 （二次项）、（一次项）、（常数项） 二次项 一次项 常数项 核心前提条件 二次项系数a ≠ 0 议一议 （2）为什么二次函数的一般形式y=ax²+bx+c中？ 若 ，则二次项消失，变为 ，不再是二次函数 （3）一般形式y=ax²+bx+c中、 可以为零吗？ 可以，此时函数为特殊形式的二次函数 当 a = 0 时 y=bx＋c ， 当 a ≠ 0，b = 0 时 y=ax2＋c ， 当 a ≠ 0，c = 0 时 y=ax2＋bx ， 当 a ≠ 0，b = c =0 时 y=ax2 ， 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 新知探究 探究点2 规范一般形式，辨析各项系数 新知探究 探究点3 自变量的取值范围 议一议 01. 数学定义下的一般情况 当二次函数仅作为抽象的数学表达式存在时，自变量 x 不受具体场景约束，其取值范围为全体实数 ，即数轴上的任意数值均满足函数定义。 02. 实际场景的现实约束 在解决实际问题时，自变量的取值必须依托现实逻辑，确保问题有意义（如长度、面积、数量等不可为负或超出合理边界），需结合具体情境分析其有效范围。 典例分析 例１.判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是， 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由． 解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6， 二次项系数：－1， 一次项系数：5， 常数项：－6 . 典例分析 例2.已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)， 当m为何值时,函数是二次函数？ 例3. y=(a-1) 解:当m≠±3时， 函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数． 是二次函数,求常数a的值 解：依题意，得 解得a=-1. |a|+1=2 a-1≠0 新知巩固 1.设圆的半径为r，请填空: (1)这个圆的周长C=____________,C是r的_______函数; (2)这个圆的面积S= ____________ ,S是r的_______函数. 教材第4页 C=2πr 一次 一次 新知巩固 2.在下列表达式中，哪些是二次函数?靶心率b与年龄a之间的关系可表示为 (1)靶心率是能获得最佳效果并能确保安全的运动心率，一个年轻人的 b=0.85(220 -a); (2)圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系可表示为 (h为定值); 教材第4页 解： （1）b=−0.85a+187，自变量a次数为 1，不是二次函数（是一次函数）。 （2）自变量r最高次数为 2，整式形式，是二次函数。 新知巩固 2.在下列表达式中，哪些是二次函数?靶心率b与年龄a之间的关系可表示为 (3)物体做自由落体运动的下落高度h与下落时间t之间的关系可表 示为 (g为定值); (4)导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，电功率P与电流I之间 的关系可表示为 (R为定值). 教材第4页 （3）自变量t最高次数为 2，整式形式，是二次函数。 （4）自变量I最高次数为 2，整式形式，是二次函数。 新知巩固 3.一条隧道截面如图所示，上面是一个半圆，下面是一个矩形，矩形的一边长为4m， 与r之间的函数关系; (1)设隧道截面的面积为S，半圆半径为rm，求S与r之间的函数关系; (2)当半圆半径为2m时，求隧道截面的面积. 教材第4页 （1）推导函数关系式 隧道截面面积 = 半圆面积 + 矩形面积 半圆直径 = 2r，半圆面积 矩形的长等于半圆直径 2r，矩形高为 4 m，矩形面积2r×4=8r 因此总面积： 自变量取值范围：r>0 新知巩固 3.一条隧道截面如图所示，上面是一个半圆，下面是一个矩形，矩形的一边长为4m， 与r之间的函数关系; (1)设隧道截面的面积为S，半圆半径为rm，求S与r之间的函数关系; (2)当半圆半径为2m时，求隧道截面的面积. 教材第4页 （2）代入 r=2 m计算面积把 r=2代入解析式： 截面面积为 (16+2π) 平方米 拓展提升 已知二次函数 (k 为常数). （1）求 k 的值； （2）当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 k = 2. 将 x = 0.5 代入函数关系式，得 y= +2 0.5-1=0.25 （2）当 k = 2 时， y=， × 真题感知 （2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 每件的售价x/元 日销售量y/件 … … 25 15 28 12 31 9 … … 真题感知 （2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； 每件的售价x/元 日销售量y/件 … … 25 15 28 12 31 9 … … （1）解：∵日销售量 y（件）与每件的售价 x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为 真题感知 ∵当x=25 时 ,y=15; ∵当x=28 时 ,y=12; ∴ 15=25k+b 12=28k+b 解得： k=-1 b=40 ∴y与x之间的函数表达式为y=-x+40. 真题感知 (2)解：由（1）知， y=-x+40. ∴日销售额: ∵玩具日销售额为300元， ∴令 𝑤=300 ， 即 ， 整理可得 ， 解得 ， ， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 知识与技能 （1）二次函数定义：形如y=𝒂𝒙²+𝒃𝒙+𝒄=𝟎(𝒂≠𝟎)，只含有一个自变量，自变量最高次数是2，等式右边为整式的函数。一元、二次、整式三个关键要素缺一不可，是判断函数类型的核心依据。 （2）一般形式：y=𝒂𝒙²+𝒃𝒙+𝒄=𝟎(𝒂≠𝟎)，𝒂𝒙²为二次项、a是二次项系数，𝒃𝒙为一次项、b是一次项系数，c为常数项，牢记二次项系数a不能为0； （3）自变量取值范围：纯数字表达式中自变量可取全体实数；实际问题里自变量取值要贴合现实意义，需列出不等式限定范围。 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）类比思想：类比一次函数的定义、解析式、自变量取值范围，快速理解二次函数相关知识； （2）建模思想：将面积、增长率、运动轨迹等生活实际问题转化为二次函数数学模型； （3）分类讨论思想：根据二次项系数a是否为 0，区分二次函数与一次（常数）函数，结合实际场景分类限定自变量取值范围。 易 错 提 醒 课堂小结 （1）判定函数类型前，必须先将解析式展开化简为整式形式，含有自变量 在分母、根号内的式子一定不是二次函数； （2）一般形式中，二次项系数a≠0是必备条件，参数题型优先考虑此条件； （3）纯数学解析式里自变量可取全体实数，但实际应用类二次函数， 自变量取值要贴合实际场景，需结合题意列出不等式限定合理范围； （4）对函数进行变形、配方、列关系式时，不可随意丢项、漏符号， 化简后务必对照原式核对等式两边是否等价。 课后练习 习题 25.1 教材p4页 1.在下列表达式中，x为自变量，问哪些是二次 函数？ y=3x2－1， y=5x2－2x， y=－2x2+x－1， y=4－x3， y= ， y= 2x2 + ， y=(x－2)(2x+1). 解：y=3x2－1， y=5x2－2x， y=－2x2+x－1， y=(x－2)(2x+1)是二次函数. 课后练习 习题 25.1 教材p4页 2.分别求出下列问题中的函数表达式; （1）正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y，求y与x之间的函数表达式. （2）长方体的长与宽均为x，高为8，求长方体表面积S与x之间的函数表达式. （3）从已知半径为R的圆板上挖掉一个半径为r(r＜R)的同心圆版，求所剩圆环面积S与r之间的函数表达式. （1）解： （2）解： （3）解： S=2x2+32x(x＞0). y=x2+10x(x≥0) S=πR2－πr2(0＜r＜R) . 课后练习 习题 25.1 教材p4页 2.分别求出下列问题中的函数表达式; (4)有一块长为35m、宽为20m的矩形空地，在它的四周留出宽度为xm的小路，中间修建面积为y的花坛，求y与x之间的函数表达式; 四周小路宽度均为x m， 花坛矩形的长、宽都要在原空地长宽基础上左右、上下各减去x： 花坛长：35−2x，花坛宽：20−2x 花坛面积y=长×宽 y=(35−2x)(20−2x) =4−110x+700 自变量取值范围：0<x<10​ 课后练习 习题 25.1 教材p4页 2.分别求出下列问题中的函数表达式; (5)某地m所初中举办校际篮球赛，每所学校组建一个队参赛，每两队之间举行一场比赛，求比赛的场次数Q与m之间的函数表达式. m支队伍单循环赛，每两队只赛一场， 总场次为从m个队里任选 2 个组合： 谢谢聆听