第二章 一元二次方程 单元测试题—2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元卷，全面覆盖方程概念、解法、根的判别式、韦达定理及应用，梯度设计合理，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、解法、根与系数关系|结合“倍根方程”新定义，考查推理意识| |填空题|8/24|判别式、韦达定理、方程与统计综合|融入中位数等跨知识，体现数学眼光| |解答题|7/64|解方程、应用题、几何代数综合、配方法|第24题矩形划分与产值计算，第25题动点面积最值，强化模型意识与运算能力|

第二章 一元二次方程 单元测试题—2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．方程x2+3x＝4的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，﹣3，4 B．1，3，4 C．1，﹣3，﹣4 D．1，3，﹣4 2．给出下列四个数：﹣3，2，3，﹣2，其中是方程（x﹣3）（x+2）＝0的根的是（　　） A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．±3 D．2，3 3．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣5＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣3）2＝5 D．（x+3）2＝5 4．已知a，b是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．2027 B．﹣2027 C．2021 D．﹣2021 5．一种电子产品原价每台125元，经过两次降价后价格为80元/台，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 6．若是某个一元二次方程的根，则这个方程是（　　） A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣3＝0 C．x2﹣4x+3＝0 D．x2+4x+3＝0 7．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣m2+1＝0，常数项为0，则m值等于（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 8．已知代数式A＝4x2x，则无论x取何值，它们的大小关系都是（　　） A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．A，B的大小关系与x的取值有关 9．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C．且a≠0 D．且a≠0 10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法中结论正确的序号有（　　） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．当m＝ 　　 时，关于x的方程是一元二次方程． 12．已知x＝﹣1是关于x的方程2x2﹣mx＝0的一个根，则m＝　　 ． 13．关于x的方程x2+（2t+1）x+t2＝0有两个不同的解，则t的取值范围是 　 ． 14．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为5，则m的值为　 ． 15．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则 　　 ． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是　 ． 17．数据a，4，2，5，3的中位数为b，且a和b是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则b是　　 ． 18．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2，那么一元二次方程ax2+bx+c＝2ax﹣a+b（a≠0）的根为　 ． 三．解答题（共7小题，共64分） 19．解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（x﹣5）＝5﹣x． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣5＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程有一个根是﹣1，求另一个根． 21．先化简再求值：，其中x为方程（2x﹣6）（x+1）＝0的实数根． 22．某商场购进一批每盒40元的月饼销售，根据销售经验，应季销售每盒月饼的售价为60元时，每天可售出400盒．当售价每提高1元时，销量就相应减少10盒．若商场要每天获得9000元的利润，每盒月饼的售价应定为多少元？ 23．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0； （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）已知，求出k的值． 24．某小型花圃基地计划将如图所示的一块长30m，宽10m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是5m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元． （1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　　 m2，花卉B的种植面积是 　　 m2，花卉C的种植面积是 　　 m2． （2）育苗区的边长为多少时，A，C两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过195m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 25．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8． ∵（x+1）2≥0，∴2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣8≥﹣8． 可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值是﹣8． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）当x＝　　 时，代数式x2﹣6x+14有最小值是 　　 ； （2）当多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值时，求m与n之间的关系式，并求出这个最小值； （3）在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．当P，Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设△QPD的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 参考答案 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．方程x2+3x＝4的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，﹣3，4 B．1，3，4 C．1，﹣3，﹣4 D．1，3，﹣4 【解答】解：方程x2+3x＝4整理得，x2+3x﹣4＝0， 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，3，﹣4， 故选：D． 2．给出下列四个数：﹣3，2，3，﹣2，其中是方程（x﹣3）（x+2）＝0的根的是（　　） A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．±3 D．2，3 【解答】解：（x﹣3）（x+2）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0， 所以x＝3或x＝﹣2， 即3，﹣2是方程的根， 故选：B． 3．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣5＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣3）2＝5 D．（x+3）2＝5 【解答】解：由条件可得：x2+6x+9＝5+9， 整理得：（x+3）2＝14， 故选：A． 4．已知a，b是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．2027 B．﹣2027 C．2021 D．﹣2021 【解答】解：由题意得，a+b＝﹣3，ab＝﹣2025， ∴（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣2025+（﹣3）+1＝﹣2027． 故选：B． 5．一种电子产品原价每台125元，经过两次降价后价格为80元/台，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 【解答】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 故选：A． 6．若是某个一元二次方程的根，则这个方程是（　　） A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣3＝0 C．x2﹣4x+3＝0 D．x2+4x+3＝0 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴x2﹣4x+3＝0． ∴C符合题意． 故选：C． 7．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣m2+1＝0，常数项为0，则m值等于（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【解答】解：由题意，得：， 解得：m＝﹣1． 故选B． 8．已知代数式A＝4x2x，则无论x取何值，它们的大小关系都是（　　） A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．A，B的大小关系与x的取值有关 【解答】解：∵， ∴， ∴A﹣B＞0， ∴A＞B， 故选：A． 9．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C．且a≠0 D．且a≠0 【解答】解：∴关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝22﹣4×a×（﹣3）＞0，且a≠0， 解得：，且a≠0， 故选C． 10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法中结论正确的序号有（　　） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得x1≠2x2，x2≠2x1， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴x1，x2＝﹣q， ∴x2＝﹣q2x1， 因此是倍根方程， 故③正确； ④设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为：x1，x2，则x1+x2，x1x2， 由倍根方程可令x2＝2x1， ∴x1+2x1，x1•2x1， ∴3x1，2， ∴x1， ∴2， ∴2b2＝9ac，故④正确， 正确的选项有②③④， 故选：C． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．当m＝ 　﹣2　 时，关于x的方程是一元二次方程． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12．已知x＝﹣1是关于x的方程2x2﹣mx＝0的一个根，则m＝　﹣2　 ． 【解答】解：将x＝﹣1代入原方程得：2×（﹣1）2﹣m×（﹣1）＝0， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．关于x的方程x2+（2t+1）x+t2＝0有两个不同的解，则t的取值范围是 t　 ． 【解答】解：∵关于x的方程x2+（2t+1）x+t2＝0有两个不同的解， ∴Δ＝（2t+1）2﹣4t2＝4t+1＞0， 解得：t． 故答案为：t． 14．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为5，则m的值为　±1　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为5， ∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＝5， 解得m＝±1． 故答案为：±1． 15．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则 　﹣2　 ． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1， 所以2． 故答案为：﹣2． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是k＝0或k＝4　 ． 【解答】解：已知一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0，两根x1，x2， 根据韦达定理，得： x1+x2＝4k， x1x2＝﹣（k2+1）， （x1﹣1）（x2﹣1）＝0， x1x2﹣（x1+x2）+1＝0， 将韦达定理结果代入上式： ﹣（k2+1）﹣4k+1＝0， ﹣k2﹣4k＝0， k2+4k＝0， k（k+4）＝0， 解得k＝0或k＝4． 故答案为：k＝0或k＝4． 17．数据a，4，2，5，3的中位数为b，且a和b是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则b是　4　 ． 【解答】解：解方程x2﹣10x+24＝0得：x＝6或4， 当a＝6，b＝4时，数据为6，4，2，5，3，数据的中位数为4，符合 当a＝4，b＝6时，数据为4，4，2，5，3，数据的中位数为4，不符合， 故答案为：4． 18．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2，那么一元二次方程ax2+bx+c＝2ax﹣a+b（a≠0）的根为　5或﹣1　 ． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2， ∴x1+x2＝﹣＝4+（﹣2）＝2，x1x2＝＝4×（﹣2）＝﹣8， ∴b＝﹣2a，c＝﹣8a， 把b＝﹣2a，c＝﹣8a代入ax2+bx+c＝2ax﹣a+b得：ax2﹣2ax﹣8a＝2ax﹣a﹣2a， 整理得：a（x2﹣4x﹣5）＝0， ∵a≠0， ∴x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x﹣5）（x+1）＝0， ∴x＝5或x＝﹣1， 故答案为：5或﹣1 三．解答题（共7小题，共64分） 19．解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（x﹣5）＝5﹣x． 【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝5， （x+1）2＝5， ， 解得，； （2）3x（x﹣5）＝5﹣x， 3x（x﹣5）＝﹣（x﹣5）， 3x（x﹣5）+（x﹣5）＝0， （3x+1）（x﹣5）＝0， 3x+1＝0或x﹣5＝0， 解得，x2＝5． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣5＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程有一个根是﹣1，求另一个根． 【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣5＝0，a＝1，b＝﹣4，c＝3m﹣5．（1）Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（3m﹣5） ＝16﹣12m+20 ＝﹣12m+36． ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即﹣12m+36＝0． ∴m＝3． 答：m的值为3． （2）设方程的另一个根为x2， ∵﹣1+x2，即﹣1+x2＝4， ∴x2＝5． 答：方程的另一个根为5． 21．先化简再求值：，其中x为方程（2x﹣6）（x+1）＝0的实数根． 【解答】解： ＝（） • ， ∵（2x﹣6）（x+1）＝0， ∴2x﹣6＝0或x+1＝0， ∴x＝3或x＝﹣1； ∵x+1≠0， ∴x≠﹣1， 当x＝3时，原式． 22．某商场购进一批每盒40元的月饼销售，根据销售经验，应季销售每盒月饼的售价为60元时，每天可售出400盒．当售价每提高1元时，销量就相应减少10盒．若商场要每天获得9000元的利润，每盒月饼的售价应定为多少元？ 【解答】解：设每盒月饼的售价应提高x元，每天获得9000元的利可润， 根据题意得：（60+x﹣40）（400﹣10x）＝9000， 解得：x＝10， ∴60+x＝70． 答：每盒月饼的售价应定为70元，每天获得9000元的利可润． 23．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0； （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）已知，求出k的值． 【解答】（1）证明：在x2﹣（k+2）x+2k＝0中， ∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝2k， ∴Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵，x1+x2＝k+2，x1x2＝2k， ∴（k+2）2﹣2×2k＝13，即k2+4＝13， 解得：k＝±3． 24．某小型花圃基地计划将如图所示的一块长30m，宽10m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是5m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元． （1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　（x2﹣40x+300）　 m2，花卉B的种植面积是 　（﹣x2+25x）　 m2，花卉C的种植面积是 　（﹣x2+10x）　 m2． （2）育苗区的边长为多少时，A，C两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过195m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 【解答】解：（1）当育苗区的边长为xm时，花卉A的种植区是长（30﹣x）m、宽（10﹣x）m的矩形，花卉B的种植区是长（30﹣5﹣x）m、宽xm的矩形，花卉C的种植区是长（10﹣x）m、宽xm的矩形， ∴花卉A的种植面积是（30﹣x）（10﹣x）＝（x2﹣40x+300）m2，花卉B的种植面积是（30﹣5﹣x）x＝（﹣x2+25x）m2，花卉C的种植面积是（10﹣x）x＝（﹣x2+10x）m2． 故答案为：（x2﹣40x+300），（﹣x2+25x），（﹣x2+10x）； （2）根据题意得：100（x2﹣40x+300）＝300（﹣x2+10x）， 整理得：2x2﹣35x+150＝0， 解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝7.5． 答：当育苗区的边长为7.5m时，A，C两种花卉的总产值相等； （3）∵花卉A与B的种植面积之和不超过195m2， ∴x2﹣40x+300+（﹣x2+25x）≤195， 解得：x≥7． 设A，B，C三种花卉的总产值之和是y元，则y＝100（x2﹣40x+300）+200（﹣x2+25x）+300（﹣x2+10x）， ∴y＝﹣400x2+4000x+30000， ∴y＝﹣400（x﹣5）2+40000， ∵﹣400＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝5， ∴当x≥7时，y随x的增加而减小， ∴当x＝7时，y取得最大值，最大值为﹣400×（7﹣5）2+40000＝38400（元）． 答：A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值38400元． 25．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8． ∵（x+1）2≥0，∴2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣8≥﹣8． 可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值是﹣8． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）当x＝　3　 时，代数式x2﹣6x+14有最小值是 　5　 ； （2）当多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值时，求m与n之间的关系式，并求出这个最小值； （3）在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．当P，Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设△QPD的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【解答】解：（1）x2﹣6x+14＝x2﹣6x+9+5＝（x﹣3）2+5， ∵（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+5≥5， ∴当x＝3时，代数式x2﹣6x+14有最小值是5， 故答案为：3，5； （2）m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25＝（m﹣n）2﹣4（m﹣n）+4+21＝（m﹣n﹣2）2+21， ∵（m﹣n﹣2）2≥0， ∴（m﹣n﹣2）2+21≥21， ∴当m﹣n＝2时，多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值是21； （3）， 由题意得，AQ＝x，BP＝x，则BQ＝3﹣x，CP＝4﹣x， S△QPD＝S长方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△QBP﹣S△CDP＝3×4x×4（3﹣x）×x3×（4﹣x）x2﹣2x+6（x2﹣4x）+6（x2﹣4x+4）+4（x﹣2）2+4，即S（x﹣2）2+4， ∵（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+4≥4， ∴当x＝2时，S有最小值是4． 参考答案 学科网（北京）股份有限公司 $