专题01 二次函数的图像与性质（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心性质，以题型分层构建从概念到综合应用的逻辑链条，强化图像性质与实际问题的转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|约15题|基础到中档，覆盖概念辨析、顶点计算、增减性判断、平移变换等核心考法|从二次函数定义出发，逐步推导图像性质（顶点、增减性、平移规律），形成"概念-性质-简单应用"的认知链条| |综合攻坚·知能拔高|约15题|综合选择、情境填空、实际应用题，融合几何图形与函数图像|深化性质综合运用，通过图像分析、动态变化、实际建模等问题，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数的图像与性质 内容概览 目常考题型精准突破 题型一、二火函数概念（重） 题型二、二次函数图像性质之顶点坐标（重） 题型三、二次函数图像性质之增减性运用（高频） 题型四、二次函数图像性质之函数平移（高频） 题型五、二次函数图像性质之性质综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 1.B [a+1≠0 2.【详解】(1)解：根据题意，得a2+1=2: 解得a=1; (2)解：当a+1=0,即a=-1时，原函数为y=-4x-1,是一次函数： 「a2+1=1, 当+1+a-3≠0，即a=0时，原函数为y=-2x,也是一次函数， 综上所述，当a=-1或a=0时，y=(a+1)x1+(a-3)x+a是一次函数. 3.【详解】(1)证明：y=2(x+m)(x+m-1)=2x2+(4m-2)x+2m2-2m, 令y=0,则2x2+(4m-2)x+2m2-2m=0. b-4ac=(4m-2}2-4×2×(2m2-2m）=4>0, 、方程2x2+(4m-2)x+2m-2m=0有两个不相等的实数根.， ∴.不论m为何值该函数图象与x轴总有两个公共点， (2)解：将点(0,2)代入二次函数y=2(x+m(x+m-)(m为常数)， 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则2=2m(m-1)=2m2-2m,即m2-m-1=0, m上G 解得m=1+V5 2· 4.D 5.顶点坐标为（-5，-1) 6.最小值26. 7.c 8.B. 9.A 10.A 11.y=(x-1)-3. 12.m=2. 13.①④⑤ 14. 【详解】(1)解：二次函数y=2x+8x-6=2(x+2-14中，a=2>0, 二次函数开口向上， 对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2，-14)： (2)解：二次函数开口向上， ∴在对称轴的右侧'随x的增大而增大， ·二次函数的对称轴为x=-2, ∴当x>-2时，y随x的增大而增大. 15. 【详解】(1)解：：y=x2-4x+3=(x-2)}-1, .对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-)， 令y=0,则x2-4x+3=0, 解得x=1,x2=3, ∴.与x轴的交点坐标为(1,0)或(3,0)： 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：列出表格如下 0 1 2 4 … 3 0 0 3 画出函数图象如下： 3 2 -4-3-2-10 12345 3 (3)解：观察图象得：y<0时x的取值范围为1<x<3 综合攻坚知能拔高 一、单选题 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B D D C C C B 二、填空题 9.1.5 10.y=-2x2+4x-1(答案不唯一) 1 11. x=3 8sas、 20 三、解答题 12.【详解】(1)解：由题意，如图可得，抛物线开口向下，对称轴是直线x=20 -b=3,顶点为(3,9) 设抛物线的解析式为：y=a(x-3)+9, :二次函数与x轴的一个交点为(-2,0)， 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0=a(-2-3)2+9 9 解得a= 25 ∴抛物线的解析式为：y三2x-3}+9 (2)当x>3时，y随x的增大而减小： (3)当x=3时，y达到最大值9. 13.【详解】(1)解：由圆柱的体积公式可得， r-rro>0心 画图如下： V -6 5 +4 、 -3 .2 21912.3.4.5.6r -2 3 -4 (2)解：将r=1代入(1)中公式可得， 3x3x12-1 故答案为：1. (3)解：由图像可知，当r=2时，V=4,在第一象限内'随r的增大而增大， .当r≥2时，V≥4. 14。【详解】(1)解：“点0与点4关于抛物线的对称轴对称，0A=? 5 1216 “抛物线顶点坐标的横坐标为5×25 -×一 16 ·抛物线的最高点到O4的距离为5， 16 、抛物线顶点坐标的纵坐标为5， 616 ·抛物线项点坐标为55： 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 板可设据物线大门的商数表认式为=个一+台。 ·抛物线过原点O(0,0). 省0Qo入t式，可阴0=0-写， 解得：a=-20 9 .抛物线大门的函数表达式为y= 20.6216 9x-5 (2)解：，点B到V轴的距离为2米， 点B的横坐标为2， 将x=2代入y= 20(.62 16 9x-5+ 解得：y=16 9’ 16 点g的坐标为29， :BC‖OA,四边形BCDH为矩形， ,BC⊥BH,即BH⊥x轴， 1 .BH = 5, 216,1 ∴点的坐标为2+5， 89 452, ∴.该规章制度牌方便读者阅览 15. 【详解】(1)解：：抛物线C:y=-x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(3,0)，与y轴的交点B 的坐标为(0,3)， 「-9+3b+c=0 (c=3 解得b=2,c=3, ∴抛物线C的表达式为y=-x+2x+3=-(x-1)2+4, 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C, 抛物线C,的表达式为y=-(x-1-2}+4=-(x-3}+4=-x2+6x-5: (2)解：(i)m+n是定值. 如图， C2 :点P(m,)在抛物线C上，点Q(n,乃)在抛物线C,上， .y=-(m-1)+4,为2=-(n-3}2+4, :P2∥x轴， =2, .-(m-1)2+4=-(n-3)2+4. 整理得(m+n-4)(m-n+2)=0. :1<m<3,1<n<3, .m-n+2≠0， m+n-4=0, ∴m+n=4; (i)由m+n=4得n=4-m, ÷t=P02=(m-n}=(2m-4),即t=4m2-16m+16: 当t=Pg=1时，(2m-4)=1, 5 解得%=号，m), 点p的华标是3)威引 616 专题01 二次函数的图像与性质 常考题型·精准突破 题型一、二次函数概念（重） 题型二、二次函数图像性质之顶点坐标（重） 题型三、二次函数图像性质之增减性运用（高频） 题型四、二次函数图像性质之函数平移（高频） 题型五、二次函数图像性质之性质综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型一、二次函数概念 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 3．已知二次函数（m为常数）． (1)求证：无论m为何值，该函数的图像总与x轴有2个公共点； (2)若该函数的图象经过点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了二次函数和轴的交点问题，根的判别式，主要考查学生的理解能力和计算能力．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）求出根的判别式，即可得出答案； （2）将点代入二次函数（m为常数），得到关于m的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）证明：， 令，则， ， 方程有两个不相等的实数根．, 不论为何值该函数图象与轴总有两个公共点． （2）解：将点代入二次函数（m为常数）， 则，即， 解得或． ◆题型二、二次函数图像性质之顶点坐标 4．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 5．抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，得到顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为， 对比顶点式可得，， 故顶点坐标为． 6．二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． ◆题型三、二次函数图像性质之增减性运用 7．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 8．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，二次函数和反比例函数的增减性，根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴随着的增大而增大，不符合题意； B、∵，二次项系数， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，符合题意； C、∵，， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； D、∵，二次项系数， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 9．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 10．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． ◆题型四、二次函数图像性质之函数平移 11．抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是________． 【答案】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，对原表达式进行变换，即可得到平移后抛物线的表达式． 【详解】解：原抛物线的表达式为， 将抛物线沿轴向右平移个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得平移后的表达式为， 再将得到的抛物线沿轴向下平移个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得最终平移后抛物线的表达式为． 12．将抛物线沿轴的正方向平移个单位后能与抛物线重合，则的值是______． 【答案】2 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则，得到平移后的抛物线解析式，利用两抛物线重合时对应项系数相等列方程求解即可． 【详解】解：抛物线沿轴的正方向平移个单位后，得， ∵将抛物线沿轴的正方向平移个单位后能与抛物线重合， ∴， 解得． ◆题型五、二次函数图像性质之性质综合 13．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 14．已知：抛物线． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当在什么范围内变化时，随的增大而增大． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先配方成顶点式，再根据二次项系数可判断开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向上， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向上， 在对称轴的右侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 15．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； (2)完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为或 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴以及顶点坐标；令，解方程即可得出与x轴交点坐标； （2）列表，描点，连线，即可； （3）根据图象与x轴的交点坐标，可确定时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点坐标为或； （2）解：列出表格如下 0 1 2 3 4 3 0 0 3 画出函数图象如下： （3）解：观察图象得：时的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 2．已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图像平行于轴 B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次函数的定义和性质，分别计算各选项下函数的表达式，判断开口方向、对称轴位置等． 【详解】函数为 ， 对于：当时，，为常数函数，图像平行于x轴，不平行于y轴，错误； 对于：当时，，过原点，但斜率，图像经过第二、四象限，不经过第一、三象限，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴左侧，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴右侧，正确． 故选． 3．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 4．把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”，据此求解即可． 【详解】解：向左平移3个单位得，再向下平移1个单位得． 5．已知，如图，腰长为3的等腰直角三角形的两个底角的顶点分别与抛物线与x轴、y轴交于点A、B，对称轴为直线，其顶点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质以及二次函数其他有关的性质，牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键，难度不大． 由已知条件易求点A，B的坐标，代入抛物线求出k的值即可求出其顶点C的坐标． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， 点， ， 解得：， ， 顶点C的坐标是， 故选：C． 6．已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 7．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线 开口向上，当时，， ∴将代入解析式得： ， 化简得 ， 解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴ ， 解得：， 综上，的取值范围是． 8．已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三个条件分别求m的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得；条件（2）要求对称轴在轴右侧，得；条件（3）要求抛物线在轴左侧下降，得，综合判断选项即可． 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 二、填空题 9．篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线．设篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：，当________米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 【答案】 【分析】由二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点为轨迹最高点，求出顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：∵篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：， ∴当米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 10．如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据“互为关联”的定义，需找到另一抛物线，其顶点在给定抛物线上，且给定抛物线的顶点也在该抛物线上，通过设另一抛物线的顶点坐标，代入条件求解即可． 【详解】解：给定抛物线的顶点为， 设另一抛物线方程为，则顶点坐标为， 根据题意，， 将点代入得，即， 将代入得，整理得， 由于顶点不同，则，故，即， 取，则， 故另一抛物线可以为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据抛物线的顶点式即可得其对称轴； （2）分别考虑抛物线过点D、C时a的值，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）∵抛物线交y轴于点， ∴， 即， ∴， ∵点A的坐标为，，且四边形为正方形， ∴，， 当抛物线经过点D时，则， 解得：； 当抛物线经过点C时，则， 解得：； ∴当抛物线与正方形的边有交点时，则a的取值范围为； 故答案为：． 三、解答题 12．如图，观察图中的二次函数图象可得： (1)求该抛物线的解析式． (2)当x______时，y随x的增大而减小． (3)当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______． 【答案】(1) (2) (3)，大，9 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，根据函数的图象，结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 【详解】（1）解：由题意，如图可得，抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为， 设抛物线的解析式为：， ∵二次函数与x轴的一个交点为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）当时，y随x的增大而减小； （3）当时，y达到最大值9． 13．已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 14．如图1是某图书馆阅览区的大门，其外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，点为抛物线与地面的交点（点与点关于抛物线的对称轴对称），米，抛物线的最高点到的距离为米，管理员计划在门外墙壁上固定两个矩形区域（图中阴影部分），分别作为规章制度牌和功能标识牌、已知规章制度牌（矩形）的顶点在抛物线上，，米，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，图中所有的点与线都在同一平面内． (1)求该抛物线大门的函数表达式； (2)若规章制度牌的最高处到地面的距离不大于米，则视为方便读者阅览，已知点到轴的距离为米，计算并判断该规章制度牌是否方便读者阅览？ 【答案】(1) (2)该规章制度牌方便读者阅览． 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标为，利用待定系数法即可求解． （2）根据题意可得点的坐标为，根据矩形的性质可得轴，进而求得点的坐标为，结合题意即可判断． 【详解】（1）解：∵点与点关于抛物线的对称轴对称，， ∴抛物线顶点坐标的横坐标为． ∵抛物线的最高点到的距离为， ∴抛物线顶点坐标的纵坐标为， ∴抛物线顶点坐标为． 故可设抛物线大门的函数表达式为， ∵抛物线过原点， 故将代入上式，可得， 解得：， ∴抛物线大门的函数表达式为． （2）解：∵点到轴的距离为米， ∴点的横坐标为， 将代入中，即， 解得：， ∴点的坐标为， ∵，四边形为矩形， ∴，即轴， ∵， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴该规章制度牌方便读者阅览． 15．已知抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线． (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，点在抛物线上，且，，连接，轴． （ⅰ）是否是定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若，求出关于的函数关系式，并求当时，点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为，抛物线的表达式为 (2)（ⅰ）是定值；（ⅱ），点的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后利用平移规律求出抛物线的表达式； （2）（ⅰ）方法一：将，分别代入抛物线和的表达式表示出，，然后根据轴得到，然后列式求解即可； 方法二：首先求出点关于直线的对称点为，然后根据平移的性质得到，然后求解即可； （ⅱ）将代入得到；然后令求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为， ∵将抛物线向右平移2个单位得到抛物线 ∴抛物线的表达式为； （2）解：（ⅰ）是定值． 如图， ∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∵轴， ∴， ， 整理得， ，， ， ， ； （ⅱ）由得， ，即； 当时，， 解得，， ∴点的坐标是或． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图像与性质 常考题型·精准突破 题型一、二次函数概念（重） 题型二、二次函数图像性质之顶点坐标（重） 题型三、二次函数图像性质之增减性运用（高频） 题型四、二次函数图像性质之函数平移（高频） 题型五、二次函数图像性质之性质综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型一、二次函数概念 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 3．已知二次函数（m为常数）． (1)求证：无论m为何值，该函数的图像总与x轴有2个公共点； (2)若该函数的图象经过点，求m的值． ◆题型二、二次函数图像性质之顶点坐标 4．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 5．抛物线的顶点坐标是__________． 6．二次函数的最小值为__________． ◆题型三、二次函数图像性质之增减性运用 7．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 9．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． ◆题型四、二次函数图像性质之函数平移 11．抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是________． 12．将抛物线沿轴的正方向平移个单位后能与抛物线重合，则的值是______． ◆题型五、二次函数图像性质之性质综合 13．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 14．已知：抛物线． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当在什么范围内变化时，随的增大而增大． 15．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； (2)完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图像平行于轴 B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 3．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 4．把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A． B． C． D． 5．已知，如图，腰长为3的等腰直角三角形的两个底角的顶点分别与抛物线与x轴、y轴交于点A、B，对称轴为直线，其顶点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 二、填空题 9．篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线．设篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：，当________米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 10．如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 11．如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 三、解答题 12．如图，观察图中的二次函数图象可得： (1)求该抛物线的解析式． (2)当x______时，y随x的增大而减小． (3)当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______． 13．已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 14．如图1是某图书馆阅览区的大门，其外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，点为抛物线与地面的交点（点与点关于抛物线的对称轴对称），米，抛物线的最高点到的距离为米，管理员计划在门外墙壁上固定两个矩形区域（图中阴影部分），分别作为规章制度牌和功能标识牌、已知规章制度牌（矩形）的顶点在抛物线上，，米，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，图中所有的点与线都在同一平面内． (1)求该抛物线大门的函数表达式； (2)若规章制度牌的最高处到地面的距离不大于米，则视为方便读者阅览，已知点到轴的距离为米，计算并判断该规章制度牌是否方便读者阅览？ 15．已知抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线． (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，点在抛物线上，且，，连接，轴． （ⅰ）是否是定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若，求出关于的函数关系式，并求当时，点的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $