第一章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何单元，19题（8单3多3填5解）覆盖向量运算、空间位置关系等核心知识，适配单元复习，培养数学抽象、空间观念与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量垂直、空间向量表示|基础巩固，如向量模与数量积计算| |多选|3/18|向量夹角、投影向量|能力辨析，如平行六面体向量关系| |填空|3/15|三点共线、折叠问题|情境应用，如《九章算术》“阳马”模型| |解答|5/77|正四面体计算、正方体动态探究|综合提升，如三棱锥多问（证明/距离/夹角），体现空间观念与推理能力|

第一章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】由空间向量垂直的坐标表示，得，再解方程即可． 【解答过程】由题意得，解得． 故选：C． 2．（5分）（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量基本定理可得. 【解答过程】，点为中点，故， 又，，，故. 故选：B. 3．（5分）（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解题思路】由共线向量可设，再由数量积运算即可求解． 【解答过程】由，，得， 由得，，得，则， 得， 故选：C. 4．（5分）（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若 且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 【答案】C 【解题思路】根据直线与平面平行、平面与平面垂直的性质，得到向量之间的关系，进而列出方程求解 m 和 n，最后求差即可. 【解答过程】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 6．（5分）（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点， 且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用向量的共面定理及推论，得到，即可求解. 【解答过程】由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即， 可得， 因为，即， 所以，解得. 故选：C. 7．（5分）（25-26高二上·浙江·期中）在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量法求解点面距即可. 【解答过程】以为原点建立如图空间直角坐标系，    ，，，， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则 令，解得，，得到， 设点到平面的距离为，． 故选：C． 8．（5分）（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解. 【解答过程】连接，如图， 由题意可知，， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 由，，知为的中点，则，, ,， 设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解题思路】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【解答过程】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD. 10．（6分）（25-26高二上·山西阳泉·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据空间向量的线性运算可判断AB；根据向量的数量积计算可判断CD. 【解答过程】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，， . 所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（6分）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【解题思路】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【解答过程】对于A，根据题意可知，平面ABCD， 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 对于B，依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 对于C，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角为，而， 则，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知，，三点共线，则__________. 【答案】 【解题思路】利用点的坐标可得对应向量的坐标，根据向量共线的坐标表示即可求解. 【解答过程】依题意，，， 因为，，三点共线，即， 所以，所以，，解得， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    【答案】 【解题思路】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【解答过程】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则__________． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解. 【解答过程】如图，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 16．（15分）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1) (2)或． 【解题思路】（1）首先求出向量，，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； 【解答过程】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 17．（15分）（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【解答过程】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 18．（17分）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，即可得到，从而得证； （2）求出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【解答过程】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； （2）由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以当时平面平面. 19．（17分）（25-26高二上·云南保山·期末）如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，的中点，，，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知得、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，应用向量法求点面距离； （3）结合（2）求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【解答过程】（1）因为，分别是棱，的中点，所以，， 因为，所以， 因为，是线段的中点，，所以， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，且，所以平面， 因为，所以平面； （2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题中数据得，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 故点到平面的距离是； （3）由（2）可得，． 设平面的法向量为，则， 令，得． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（5分）（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．（5分）（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若 且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 5．（5分）（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点， 且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ） A． B．1 C． D．6 7．（5分）（25-26高二上·浙江·期中）在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 10．（6分）（25-26高二上·山西阳泉·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知，，三点共线，则__________. 13．（5分）（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    14．（5分）（25-26高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 16．（15分）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 17．（15分）（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 18．（17分）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 19．（17分）（25-26高二上·云南保山·期末）如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，的中点，，，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $