第一章空间向量与立体几何单元练习卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修一空间向量单元复习卷，覆盖向量表示、投影、距离等核心知识，适配单元巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量线性运算（如平行六面体向量表示）、投影向量（第4题）|基础巩固，发展空间观念| |多选题|3题|共面向量（第9题）、正方体向量关系（第10题）|多角度辨析，培养推理意识| |填空题|3题|向量模长（第12题）、投影长（第13题）|情境简洁，聚焦数学语言表达| |解答题|5题|基底表示与证明（第17题）、线面角与距离（第18题）、二面角（第19题）|综合应用，发展创新意识与模型观念|

高中数学人教A版选择性必修一空间向量双向细目表 考查范围：选择性必修第一册 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 1.1 空间向量及其运算 2 容易 1.1.2 空间向量的数量积运算 3 容易 1.2 空间向量基本定理 4 容易 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 5 容易 1.空间中点、直线和平面的向量表示 6 容易 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题 7 适中 3.空间中直线、平面的垂直 8 困难 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题 二、多选题 9 容易 1.3.2空间向量运算的坐标表示 10 适中 1.1.2 空间向量的数量积运算 11 困难 1.4 空间向量的应用 三、填空题 12 容易 1.1.2 空间向量的数量积运算 13 适中 1.3.2空间向量运算的坐标表示 14 困难 1.4 空间向量的应用 四、解答题 15 容易 1.1.1 空间向量及其线性运算 16 容易 1.1.2 空间向量的数量积运算 17 适中 1.2 空间向量基本定理 18 适中 1.4 空间向量的应用 19 适中 1.4 空间向量的应用 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一空间向量章节练习卷解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C D C C A AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】由题意得， 所以. 2．C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 3．A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 4．C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 5．D 【分析】先利用坐标法求出外接球的球心坐标，进而得到半径，再利用球的表面积公式直接求解. 【详解】设球心为 ，则满足， 即， 解得，所以半径， 因此该四面体外接球的表面积为. 故选：D. 6．C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 7．C 【详解】 若与相交，说明既不平行于，也不在内，因此不垂直于，可得，充分性成立. 若，说明不垂直于，因此既不平行于，也不在内，故一定与相交，必要性成立. 因此“与相交”是“”的充要条件. 8．A 【分析】本题以三棱柱为背景，利用空间向量法求线面角.关键在于由底面直角三角形确定外心位置，再根据侧棱长相等求出棱柱的高，进而得到点和的坐标.最后，直线的方向向量与平面的法向量（即竖轴方向）的夹角余弦的绝对值即为所求线面角的正弦值. 【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，垂直于底面的方向为轴建立空间直角坐标系. 则，，，斜边的中点为的外心. 由在底面的射影为，设，则. 侧棱长， 故 解得，取. 于是. 平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则      , 故选A. 9．AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10．ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 11．ACD 【分析】由等体积转换法得到三棱锥体积不变，判断A选项；找正方体顶点，由线面垂直证明线线垂直，然后得到线面垂直，判断B选项；建立空间直角坐标系，由向量的投影计算出点到线的距离，判断C选项；利用平行作出截面，由平行得到交点位置，即可求截面的周长，判断D选项. 【详解】因为，又因为点在线段上运动， 且在正方体中，平面， 所以动点到平面的距离不变， 故不变，A选项正确； 当点与点重合时，因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面, 所以，同理可证明， 因为，平面，所以平面， 因此存在点，使平面，B 选项错误； 以正方体顶点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在的投影， 所以点到直线的距离，C选项正确； 连接交于点，过点作，分别交于点， 连接和， 在正方体中，所以， 因为，所以过点，，三点的平面截正方体所得截面为四边形， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以四边形的周长为，D选项正确. 12．1 【分析】运用空间向量基底法，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即 设， 代入得， 即，解得或（舍去）， 故. 故答案为：1 13．9 【详解】由已知，， 则的坐标表示为，的坐标表示为， 则向量在上的投影长为. 14．/ 【分析】利用设值法来求解，将问题从一般到特殊，再利用射影面积公式：来求解． 【详解】设等腰直角三角形中，，，则， 点在平面上的投影分别为、、， 设， 是等边三角形，设其边长为，则： ， 令，则代入上式得： ， 由前两式知：，取（不符合题意），代入中， ， ， 解得：， ， 即， 设平面与平面所成的锐二面角为，根据射影面积公式： ． 15．， 【分析】利用空间向量的加减法即可求解. 【详解】由题意得. ＝＝. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量数量积的计算公式，直接计算，即可求解；. （2）由向量的线性运算法则，求得，根据向量运算律，即可求解. 【详解】（1）解：在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）解：由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 17．(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 18．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及平面 的法向量，利用向量法即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面 的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为 . 19．(1)在矩形中，且， 因为、分别为线段、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，从而， 又因为平面，平面，所以平面. (2)因为平面，平面，所以， 连接，因为四边形为矩形，所以，，且， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为，所以，且， 故四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. (3) 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取得， 易知平面的一个法向量为，， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一空间向量章节练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 3．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．已知四面体ABCD的四个顶点的坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 7．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则“与相交”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 10．（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 11．如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使平面 C．若，则点到直线的距离为 D．若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 三、填空题 12．在平行六面体中，若，，，则______. 13．在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 14．在空间中，点A、B、C在平面上的投影分别为、、．若是等腰直角三角形，且是等边三角形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为__________． 四、解答题 15．如图所示，正方体，且＝，＝，＝. 用，，表示向量，. 16．如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 17．如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 19．如图，在矩形中，，、分别为线段、的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $