4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移（第2课时+平移）（7大基础题型+3大巩固提升）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 （第2课时+坐标平面内图形的平移） 题型一：求点沿着x轴平移后的坐标 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）将点向左平移4个单位长度得到点，且点在y轴上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点坐标是(　　)    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·河南南阳·一模）如图，在等腰中，，，点A，B分别在x轴，y轴上，且轴，将沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）将点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m的值是 ． 8．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）已知点向左平移1个单位长度得到点，则的值为 ． 题型二：求点沿着y轴平移后的坐标 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）点向下平移个单位到达点，点与恰好关于轴对称，则点坐标是 ． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）已知点的坐标为，将点向下平移4个单位长度，得到的点的坐标为 ． 3．（23-24九年级上·山东济南·开学考试）将点向下平移4个单位得到点，则点的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是 ． 5．（24-25七年级下·广西南宁·期中）平面直角坐标系中有一点，若将点向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标是 ． 题型三：求点沿着x轴、y轴平移后的坐标 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南怒江·期中）将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 4．（2024·山西·模拟预测）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块向左移动2个格子，再向下移动6个格子，点A恰好落在点处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为 ． 5．（24-25七年级下·新疆喀什·期中） 中，，现将它向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点的坐标分别为 ． 6．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 题型四：由平移方式确定点坐标 1．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ） A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3） 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，把经过一定的变换得到，若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是 ． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是 ． 5．（24-25七年级下·河南信阳·期中）若线段轴，且，点A的坐标为，现将线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位，则平移后B点的坐标为 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，线段平移后得到线段，点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 7．（24-25八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为 ． 8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知点 、点 ，将线段 平移得到线段 ． 若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是 ． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，将线段平移到线，其中一个对应点的坐标是，则另一个对应点的坐标是 ． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，平移线段，使点移到点，点移到点，若三点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 12．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为 ． 题型五：已知平移前后点的坐标，判断平移方式 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，．将线段，，沿x轴或y轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点B与点C平移后的对应点均为点O，则线段需先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度． 2．（24-25七年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)判断线段与的关系是 ． (3)线段扫过的面积为 ． 3．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出三角形，其中点的对应点分别为点； (2)这个平移过程可以看作三角形先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度； (3)若三角形经过一次平移得到三角形，求线段平移过程中扫过的面积． 4．（24-25七年级下·河南信阳·期末）与在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标：_____；_____；_______； (2)说明由经过怎样的平移得到？ (3)求的面积． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过平移得到． (1)分别写出点的坐标： ， ．并说明是由经过怎样的平移得到的． (2)若点是内部一点，经过相同的平移后对应点的坐标为，求和的值． 6．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是、、、，四边形通过平移得到四边形，点、、、的对应点分别是点、、、，其中点的坐标是． (1)请在图中画出四边形； (2)四边形可以由四边形经过怎样的平移得到？请写出一种平移的方式． 7．（24-25七年级下·广东阳江·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，． (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并写出C、D两颗棋子的坐标：C( ， )，D( ， )． (2)线段AB平移后得到线段，点A的对应点是，说明平移方式，并求出点B的对应点的坐标． 8．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形． (1)分别写出点A，的坐标； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部的一点，平移后的对应点的坐标为，求m和n的值． 9．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度可以得到； (2)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ___________，___________，； (3)在平面直角坐标系中画出三角形和三角形． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四边形平移后，顶点的坐标变成了，这时点的坐标分别变成了什么？画出四边形平移后得到的图形． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点的坐标． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，图形Ⅱ可以由图形I经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ 题型六：已知图形的平移求点的坐标 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，点、点在轴上，将沿轴负方向平移，平移后的图形为，且点的坐标为，且，则点的坐标 ． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为 ． 3．（24-25七年级下·天津滨海新·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，．若点的对应点为，则点的对应点C的坐标是 ． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，将线段平移至，A与C对应，B与D对应，若点D恰好在y轴上，点C恰好在x轴上，则点C坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，都在第一象限，将线段平移，使平移后的点、分别落在轴和轴上，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 题型七：已知平移后的坐标求原坐标 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 4．（24-25八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 5．（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 题型一：点坐标规律探索 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点．将长方形沿轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点对应点记为；经过第2次滚动，点对应点记为；……；以此类推，经过第2025次滚动，点对应的坐标为__________． A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如 ，，，，，，，，根据这个规律探索可得，第30个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）如图，已知，，按这样的规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．那么蚂蚁第124次移动到的点的坐标是 11．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 12．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是 ． 题型二：平移综合中新定义问题 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“甲变换”：将点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度； 点的“乙变换”：将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． 若对点进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点落在轴上，则点的坐标为 ． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）定义新运算： 在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着x轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着y轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作；其加法运算法则为：，其中a，b，c，d为实数．若，则 ． 3．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向．平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则 ． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，定义一种变换：将点）变换为，其变换规则为，其中为常数．我们则称是的“变点”． (1)已知点是点的“变点”， ①求的算术平方根； ②已知点经过变换后得到点，再将点先向左移1个单位，再向上移5个单位得到点，若点落在坐标轴上，求点的坐标； (2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的2倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点是点的“变点”，若点就是一个“美点”，且是的“变点”，求的坐标． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标； (2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____； (3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____． 题型三：平移综合应用 1．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 2．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 3．（24-25七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为___________； (2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形的面积； (3)在（2）条件下，点是平面内一动点，若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求点的坐标． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B在x轴正半轴上，且点A在点B的左边，将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． (1)若点，，．则点D坐标为__________，__________； (2)点M是第四象限上的一个动点，过点M作垂直y轴于点N，连接，，．若点，，，，的面积为，点D到直线的距离为2．问：是否存在m，使得面积是面积的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 5．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知平面直角坐标系中，点，，a、b满足． (1)求的面积； (2)将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，直线交x轴于点C，． ①求点C的坐标； ②如图2，线段上一点，求：之间的数量关系． 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）已知，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为，，将线段平移到线段，若点A的对应点C的坐标为，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）如图，这是一所学校的平面示意图，图中小正方形的边长代表m，已知图书馆的坐标是．若报告厅、实验楼的位置恰好在格点上，则下列说法正确的是（    ） A．报告厅的坐标为 B．实验楼与图书馆之间的实际距离是m C．实验楼的坐标为 D．图书馆位于报告厅东北方向m处 4．（24-25七年级下·四川凉山·阶段练习）设方程组的解是那么把（a，b）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点的坐标为（   ） A．（-2，3） B．（3，-1） C．（-6，8） D．（2，8） 5．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·河南周口·模拟预测）如图，的边在x轴上，，将沿y轴向上平移得到，若恰好经过边的中点M，则点A的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中中，线段平移至位置．若的对应点是，则的对应点的坐标是 ． 9．（23-24七年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，． （1）若点C与点B恰好重合，则 ， ； （2）若，且平移后三角形的面积最大，则此时 ，的面积为 ． 10．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为 (1)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．则的三个顶点坐标分别是（ ， ）、（ ， ）、（ ， ） (2)计算三角形的面积． 11．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图所示，平面直角坐标系中有，把向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到． (1)在图中画出三角形． (2)连接，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)若点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形中，任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到．求的坐标． 13．（24-25七年级下·吉林通化·期末）如图，在直角坐标系中 (1)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出、的坐标，并在图中画出平移后图形其中、、分别是A、B、C的对应点，不写画法______，______；______，______； (2)求出平移后的面积． (3)已知点P在y轴上，以，C，P为顶点的三角形的面积为面积的，则P点的坐标为______． 14．（24-25七年级下·湖南·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足． (1)直接写出，两点的坐标； (2)将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积． (3)如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围． 15．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，、满足．平移线段得到线段，使点与点对应，点与点对应，连接、． (1)求，的值，并直接写出点的坐标； (2)点在射线（不与点，重合）上，连接、． 若的面积是的面积的倍，求点的坐标； 设，，．直接写出，，满足的关系式． 1 / 82 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 （第2课时+坐标平面内图形的平移） 题型一：求点沿着x轴平移后的坐标 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点，关于y轴对称的点的坐标， 先根据平移求出点A的坐标，再根据对称可得答案. 【详解】解：点向右平移4个单位长度的坐标为， ∴点，即. ∵点A与点B关于y轴对称， ∴点. 故选：B. 2．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的平移规律， “左右移，横减加，纵不变；上下移，纵加减，横不变”．根据点的平移规律，向右平移3个单位长度，纵坐标不变，横坐标加3，即可得到答案． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，则平移后的点的坐标为， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）将点向左平移4个单位长度得到点，且点在y轴上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的平移，坐标轴上的点的特征，掌握相关知识点是解题的关键．根据点向左平移4个单位长度得到点，再根据该点在y轴上横坐标为0，可得答案． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点， 即． ∵点在y轴上， ∴， 解得． 故选：C． 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点坐标是(　　)    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移与轴对称的性质，根据点的平移得的坐标，根据轴对称的性质得出的坐标是，即可求解． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到的的坐标为，即， 则点关于轴的对称点的坐标是， 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化，根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为 故选：D． 6．（2023·河南南阳·一模）如图，在等腰中，，，点A，B分别在x轴，y轴上，且轴，将沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了两点间的距离公式．设，，则．分别根据，列出方程①，②，求出，，再根据平移的规律求解． 【详解】解：设，，则，． ，轴， ． ， ①， ， ②， ①②得，， ， ，． 把代入①，得（负值舍去）， ， 将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为． 故选：D． 7．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）将点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟知点的坐标平移规律和坐标轴上点坐标特征是解答的关键．根据点的坐标平移规律“左减右加”和y轴上的点的横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）已知点向左平移1个单位长度得到点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：右移横坐标加，左移减；上移纵坐标加，下移减．根据点的坐标的平移规律可得，即可得的值． 【详解】解：点向左平移1个单位长度得到点， ， 解得：， 故答案为：4． 题型二：求点沿着y轴平移后的坐标 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）点向下平移个单位到达点，点与恰好关于轴对称，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移与轴对称的坐标变换，掌握平移与轴对称的坐标变换特征是解题关键． 根据点的平移规律：“左减右加，上加下减”，可得平移后的点，根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点向下平移个单位到达点， ∴，即， ∵点与恰好关于轴对称， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）已知点的坐标为，将点向下平移4个单位长度，得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．将点的横坐标不变，纵坐标减去4即可得到点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， 将点向下平移4个单位长度，得到的点的坐标是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山东济南·开学考试）将点向下平移4个单位得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将点P的横坐标不变，纵坐标减去4即可得到点的坐标． 【详解】解：点向下平移4个单位得到点， 点Q的横坐标是，纵坐标为，即． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【详解】解：将点向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·广西南宁·期中）平面直角坐标系中有一点，若将点向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，即可得出平移后点的坐标． 【详解】解：将点向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为， 故答案为：． 题型三：求点沿着x轴、y轴平移后的坐标 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·云南怒江·期中）将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答． 【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即， 再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即． 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为． 故答案为：． 4．（2024·山西·模拟预测）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块向左移动2个格子，再向下移动6个格子，点A恰好落在点处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可． 【详解】解：∵将点A向左移动2个格子，再向下移动6个格子恰好落在点处， 即将点向右移动2个格子，再向上移动6个格子得到点A， ∴，即， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·新疆喀什·期中） 中，，现将它向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点的坐标分别为 ． 【答案】，， 【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移，纵坐标加，即可得到结论． 【详解】解：∵将向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴， 即， 故答案为：，，． 6．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键． 利用关于y轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出的坐标，再直接利用平移的性质得出答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴点， ∵将点向上平移3个单位，得到点， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 题型四：由平移方式确定点坐标 1．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ） A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3） 【答案】D 【分析】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），由此可得结论． 【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3）， ∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3）， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，把经过一定的变换得到，若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．先观察和得到把向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到，然后把点向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为，即为点的坐标． 【详解】解：∵把向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到， ∴点的对应点的坐标为． 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平移得到关于的方程，求出的值即可解题． 【详解】将点平移后点的坐标为， 由题可得：，解得：， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移表示出点B的坐标，再根据点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B， ∴，即，且即， ∴，， ∵点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为． 5．（24-25七年级下·河南信阳·期中）若线段轴，且，点A的坐标为，现将线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位，则平移后B点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先由轴且得出点B的坐标，再根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”可得答案． 【详解】解：∵线段轴，且，其中点A的坐标为， ∴点B的坐标为或， 则线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位后B点的坐标为或． 故答案为：或． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，线段平移后得到线段，点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标平面内点的平移，熟记点的平移法则是解决问题的关键．先由点的对应点为，得到平移方式是向左平移4个单位长度、向下平移4个单位长度，点按照反方向平移即可得到对应点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，线段平移后得到线段，点的对应点为，则平移方式是向左平移4个单位长度、向下平移4个单位长度， 点按照反方向：向右平移4个单位长度、向上平移4个单位长度得到对应点， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中平移的性质，根据平移的特征可知点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点，则将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点，即可求解． 【详解】解：根据点平移到点，可知横坐标增加2，纵坐标增加1， ∴将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴点，即． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知点 、点 ，将线段 平移得到线段 ． 若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减．根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案． 【详解】解：点平移后对应点， 点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的对应点的坐标为， 即， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，将线段平移到线，其中一个对应点的坐标是，则另一个对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的平移，掌握点的平移规律“左减右加，上加下减”是关键，根据题意，分类讨论，得到平移规律即可求解． 【详解】解：当点与点对应时，平移规律为：向右平移个单位，向上平移个单位， ∴点对应的点坐标为：，即； 当点与点对应时，平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位， ∴点对应的点坐标为：，即； ∴点的坐标是或， 故答案为：或 ． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键． 根据点A和的坐标确定出横向平移规律，点B和的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴平移规律为向右个单位，向上个单位， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，平移线段，使点移到点，点移到点，若三点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据确定是一个向左平移5个单位，向下平移3个单位的平移变换，确定平移坐标即可． 本题考查了坐标的平移，根据坐标确定平移方式，再确定平移坐标是解题的关键． 【详解】解：根据确定是一个向左平移5个单位，向下平移3个单位的平移变换， 故点平移后的坐标为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．设平移后点A、B的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上． 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是、． 分两种情况： ①在y轴上，在x轴上，则横坐标为0，纵坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移n个单位， ∴，即， 此时点B平移后的对应点的坐标是，符合题意； ②在x轴上，在y轴上，则纵坐标为0，横坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即， 此时点B平移后的对应点的坐标是，符合题意； 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移性质（对应点坐标变化量相等） 与坐标轴上点的坐标特征是解题关键，分两种情形：在轴且在轴，或在轴且在轴 ．利用平移性质（对应点坐标变化量相同），结合坐标轴上点的坐标特征（轴上点纵坐标为，轴上点横坐标为 ）列方程求解． 【详解】解： 情形一：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 情形二：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 故答案为：或 ． 题型五：已知平移前后点的坐标，判断平移方式 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，．将线段，，沿x轴或y轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点B与点C平移后的对应点均为点O，则线段需先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度． 【答案】 3 2 【分析】本题主要考查了平移变换，已知平移前后的坐标，判断平移方式，正确掌握平移的规律，是解题关键．先根据点B与点C平移后的对应点均为点O，得到线段，的平移规律，得出点A、D平移后的坐标，即为点F、E平移后坐标，再利用平移的规律得出线段的平移单位． 【详解】解：设平移后的线段为，如图所示： ∵点B与点C平移后的对应点均为点O， ∴线段沿y轴向下平移了2个单位长度，点A平移后的坐标为， 线段沿x轴向右平移了3个单位长度，点D平移后的坐标为， ∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，且，， ∴点E需平移到，点F需平移到， ∵，，，， ∴线段需先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故答案为：3，2． 2．（24-25七年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)判断线段与的关系是 ． (3)线段扫过的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)33 【分析】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质求解即可； （3）利用平移的性质分解成两个平行四边形求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度； （2）解：由平移的性质得，； （3）解：如图， 线段扫过的面积为． 故答案为：33． 3．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出三角形，其中点的对应点分别为点； (2)这个平移过程可以看作三角形先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度； (3)若三角形经过一次平移得到三角形，求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)左，，下， (3)20 【分析】本题考查平移的性质，平移作图，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点和点的位置，得出平移的方向和距离，据此可解决问题； （2）根据（1）所画图形即可解决问题； （3）根据平移的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：这个平移过程可以看作先向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：左，，下，； （3）解：． 4．（24-25七年级下·河南信阳·期末）与在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标：_____；_____；_______； (2)说明由经过怎样的平移得到？ (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到 (3)2 【分析】本题考查了由图形变换判断平移方式，点的坐标，利用网格求三角形面积根据网格图中对应点的位置确定出平移的方式是解题的关键． （1）根据图示即可得出、、三点的坐标； （2）利用对应点位置变化得出答案； （3）直接利用所在直角梯形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：根据图示得，，； 故答案为：；；． （2）解：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；（或先向下平移2个单位，再向左平移4个单位）得到； （3）解：． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过平移得到． (1)分别写出点的坐标： ， ．并说明是由经过怎样的平移得到的． (2)若点是内部一点，经过相同的平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)，，是由先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的 (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平移规律，是解题的关键． （1）根据图形写出点的坐标即可，根据点A向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点得出是由先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的； （2）根据点是内部一点，经过相同的平移后对应点的坐标为，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据图形可知：，； ∵点A向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点， ∴是由先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的； （2）解：∵点是内部一点，经过相同的平移后对应点的坐标为， ∴，， 解得：． 6．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是、、、，四边形通过平移得到四边形，点、、、的对应点分别是点、、、，其中点的坐标是． (1)请在图中画出四边形； (2)四边形可以由四边形经过怎样的平移得到？请写出一种平移的方式． 【答案】(1)图见解析 (2)四边形先向右平移6个单位，再向下平移1个单位得到四边形 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据对应点的坐标，确定平移规则，画出四边形即可； （2）根据对应图形，写出平移方式即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）由图可知，四边形先向右平移6个单位，再向下平移1个单位得到四边形． 7．（24-25七年级下·广东阳江·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，． (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并写出C、D两颗棋子的坐标：C( ， )，D( ， )． (2)线段AB平移后得到线段，点A的对应点是，说明平移方式，并求出点B的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析，2，1；， (2)向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，点的坐标为． 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． （1）直接利用，得出原点的位置进而建立坐标系得出答案； （2）利用所建立的平面直角坐标系可得出平移后点的坐标可得答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． 由图可知，，； （2）解：由题意得，平移方式是：向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度． ∴点的坐标为． 8．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形． (1)分别写出点A，的坐标； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部的一点，平移后的对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)左移5个单位长度，上移4个单位长度 (3) 【分析】本题考查作图坐标与图形变化平移，二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握平移称变换的性质． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用平移变换的性质，构建方程组求解． 【详解】（1）解：由图可得：，； （2）解：三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）解：∵点是三角形内部的一点，平移后的对应点的坐标为， ∴ 解得； 9．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度可以得到； (2)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ___________，___________，； (3)在平面直角坐标系中画出三角形和三角形． 【答案】(1)右，4，上 ，1 (2) ，，5； (3)见解析 【分析】本题考查作图—平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．解题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）点向右平移4个单位得到点，点向上平移1个单位得到点； （2）利用点平移的规律可确定、、的值； （3）描点画图即可． 【详解】（1）解：点向右平移4个单位得到点，点向上平移1个单位得到点， 故答案为：右，4，上 ，1． （2）解：∵，，，，，， ∴，，， 故答案为： ，，5； （3）解：如图，三角形及三角形即为所作． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四边形平移后，顶点的坐标变成了，这时点的坐标分别变成了什么？画出四边形平移后得到的图形． 【答案】点变成；点变成；点变成；图见解析． 【分析】本题考查了平移的性质、图形与坐标等知识点．根据点C平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点平移后的坐标，进而画出图形即可． 【详解】解：由题可知的坐标变成了； ∴平移方式是向下平移3个单位长度； ∴点向下平移3个单位长度得到； 点向下平移3个单位长度得到； 点向下平移3个单位长度得到； 四边形平移后得到的图形如图所示： 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点的坐标． 【答案】平移规律为向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度；，，． 【分析】本题考查了作图-平移变换，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离. 利用点P与点P1的坐标特征得到点P向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度得到点P1，然后利用此平移规律写出的坐标． 【详解】解：∵点经平移后对应点为， ∴平移规律为向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度， ∴平移后得到三角形的坐标分别为：，，． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，图形Ⅱ可以由图形I经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ 【答案】见详解 【分析】本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质． 根据图形的平移变换作答即可． 【详解】解：图（1）将图形I向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到图形Ⅱ．把平移前各点的横坐标都减3，纵坐标都减6，就得到平移后各对应点的坐标； 图（2）将图形I向右平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度得到图形Ⅱ．把平移前各点的横坐标都加6，纵坐标都加8，就得到平移后各对应点的坐标． 题型六：已知图形的平移求点的坐标 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，点、点在轴上，将沿轴负方向平移，平移后的图形为，且点的坐标为，且，则点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移、二次根式的性质，熟练掌握图形变换过程中点的坐标特征是解答的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出a、b值，根据平移的性质即可得出点E坐标． 【详解】解： ， ∴， ∴， ， 则， 点的坐标为， 点的坐标为， 点在轴上，点的坐标为， 点向左平移了3个单位长度， 向左平移3个单位得到 点的坐标为：， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标与图形的平移，关键是根据坐标与图形的平移特点解答．根据坐标得出轴，轴，进而利用两点的距离得出方程解答． 【详解】解；正方形四个顶点的坐标分别是，，，， 轴，轴， 设， 线段平移之后得到线段，点的对应点为， ， ， ， 点到的距离等于点到的距离， ， ， 故答案为：， 3．（24-25七年级下·天津滨海新·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，．若点的对应点为，则点的对应点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点B、D的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵点的对应点为 ∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， ∴点的对应点C的坐标为． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，将线段平移至，A与C对应，B与D对应，若点D恰好在y轴上，点C恰好在x轴上，则点C坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标的平移，掌握平移的性质是解题关键．根据题意设，，由平移得性质可知，将点平移到点的过程与将点平移到点的过程一致，列式求解即可得到答案． 【详解】解：点D恰好在y轴上，点C恰好在x轴上， 设，， ，将线段平移至，A与C对应，B与D对应， ，解得：， ， 故选：C． 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，都在第一象限，将线段平移，使平移后的点、分别落在轴和轴上，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换．根据点的坐标平移规则“左减右加，上加右减”求解即可． 【详解】解：设平移向量为，则平移后点的坐标为，点的坐标为， 根据题意，平移后的点、分别在x轴与y轴上， ∴平移后的点的对应点的纵坐标为0，即，解得， 点的对应点的横坐标为0，即，解得， ∴平移后的点平移后的对应点的坐标是，即， 故选：D． 7．（24-25七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键．‌坐标轴的平移口诀为“左减右加，上加下减”‌，即横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减． 先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标． 【详解】解：由点平移至点得，点A向左移2个单位，向上平移了2个单位，得到点， ∴向左移2个单位，向上平移了2个单位后得到点， 故答案为：． 题型七：已知平移后的坐标求原坐标 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求解即可． 【详解】解：点向下平移3个单位后位于坐标原点， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【详解】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 5．（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 题型一：点坐标规律探索 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中点的对称变换和平移变换，由，根据题意得第一次变换后点的坐标变为；第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为；第四次变换后点的坐标变为；；则有奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”，然后通过规律即可求出连续经过次变换后点的坐标，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第一次变换后点的坐标变为； 第二次变换后点的坐标变为； 第三次变换后点的坐标变为； 第四次变换后点的坐标变为； ； ∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”， ∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标变为， 故选：． 2．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．利用规律求解即可． 【详解】解：由图可得，从开始，纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1． ， 的纵坐标与的纵坐标相同， 的坐标为， 故选A． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点（i为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由图可得，，，，，，，，…… 其中，，， 结合图象可得，的横坐标等于，纵坐标等于， ， 点的坐标为， 故选C． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．根据题意找到点坐标变化的规律即可． 【详解】解：由题意可得，， 每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1， 则动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点纵坐标为， 横坐标为． 故选：C． 5．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点．将长方形沿轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点对应点记为；经过第2次滚动，点对应点记为；……；以此类推，经过第2025次滚动，点对应的坐标为__________． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定长方形的边长，分析滚动过程中坐标的变化规律，找出循环周期，再根据周期计算第次滚动后点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中图形滚动的坐标变化规律，熟练掌握找循环周期及根据周期计算坐标的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，． 第一次滚动后，的坐标为； 第二次滚动后，的坐标为； 第三次滚动后，的坐标为； 第四次滚动后，的坐标为 ． 观察可得滚动周期为，每滚动次，横坐标增加，纵坐标按循环． ，即经过个完整周期后，再滚动次． 一个周期横坐标增加，个周期横坐标增加 ． 初始，经过个周期后对应点横坐标为 ，再滚动次（第一次滚动规律），横坐标变为，纵坐标为 ． 所以的坐标为． 故选：． 6．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如 ，，，，，，，，根据这个规律探索可得，第30个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的规律的探究，横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数． 【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有一个点，第二列有2个点， 第列有个点．则列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为， 则第30个点一定在第8列，由下到上是第1个点． 因而第30个点的坐标是． 故选：D． 7．（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）如图，已知，，按这样的规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标的规律问题，先找到点的规律，然后计算解题即可，解题的关键是找到点的坐标规律． 【详解】解：由题可知，每4个点纵坐标重复一次，横坐标向右平移6个单位长度， ∴ ， 则的横坐标为： ，纵坐标为1， 故选：C． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化，根据象限中点的特征，探究规律即可． 【详解】解：点自处向上运动个单位至 向左运动个单位至 再向下运动个单位至 再向右运动个单位至 再向上运动个单位至 再向左运动个单位至 再向下运动个单位至 再向右运动个单位至 再向上运动个单位至 再向左运动个单位至 …… 由规律可知，每运动次则会回到原来的象限 在第三象限 观察第三象限的点：可知： 的坐标为 即． 故选：D． 9．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，仔细观察点的坐标变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察点的跳动规律，奇数次跳动时，横坐标是为跳动次数），纵坐标是． 当时，横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．那么蚂蚁第124次移动到的点的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查的是坐标点的规律，解题的关键是通过观察得到其中的周期． 利用点的运动周期找到规律，然后进行求解即可． 【详解】解：通过观察蚂蚁运动的轨迹可以发现蚂蚁的运动是有周期性的， 蚂蚁每运动4次为一个周期， 可得：， 即点是蚂蚁运动了31个周期， 此时与之对应的点是， 点的坐标为， 则点的坐标为， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可． 【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点； 把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点； 把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点； 把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， 第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点， 到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， 到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度， 到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度， 到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， 可以看作每四次坐标变换为一个循环， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为，重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴． 故答案为：． 题型二：平移综合中新定义问题 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“甲变换”：将点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度； 点的“乙变换”：将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． 若对点进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点落在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平移变换，理解点的“甲变换”和“乙变换”的定义是解题的关键．根据“甲变换”和“乙变换”的平移方式得到，再结合点落在轴上，即可得到点的坐标． 【详解】解：由题意可知，点进行1次“甲变换”得到的坐标为，即， 再进行2次“乙变换”后，得到点坐标为，即， 点落在轴上， 点的横坐标为0， 点的坐标为， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）定义新运算： 在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着x轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着y轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作；其加法运算法则为：，其中a，b，c，d为实数．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据加法运算法则，得， 解得：， 则， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 此时，，， 则点的卫星点为和， ∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等）， ∴， 解得，， 故答案为：． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向．平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵， 根据加法运算法则，得， 解得：， 则， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，定义一种变换：将点）变换为，其变换规则为，其中为常数．我们则称是的“变点”． (1)已知点是点的“变点”， ①求的算术平方根； ②已知点经过变换后得到点，再将点先向左移1个单位，再向上移5个单位得到点，若点落在坐标轴上，求点的坐标； (2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的2倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点是点的“变点”，若点就是一个“美点”，且是的“变点”，求的坐标． 【答案】(1)①4；②或 (2) 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义正确列出二元一次方程组是本题解题的关键． （1）根据点是点的“变点”，求出的值；①代入的值求解算术平方根即可；②根据定义求出点坐标，再根据平移与坐标的关系求出点坐标，根据在坐标轴上，令其横纵坐标分别为 0 求出的值，代入点坐标即可； （2）根据点是点的“变点”得出一个的关系式，再根据点就是一个“美点”，得出另一个关系式，联立求解，最后根据是的“变点”求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“变点”， ， 解得：， ①， ∴的算术平方根为 4 ； ②， ∴， ， ∵点C在坐标轴上， ∴或， ∴或7， ∴或； （2）解：∵点是点的“变点”， ， ∵点就是一个“美点”， ， ， 设， ∵是的“变点”， ， 解得：， ． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标； (2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____； (3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____． 【答案】(1)平面直角坐标系和平移见解析，点坐标为，点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的平移变换，属于创新题型．理解“n型平移”的意定义，熟练运用点的平移规律是解题关键． （1）根据题目中“n型平移”的定义得到，的坐标，从而得到线段； （2）当点B向上移到y轴上时，求得n的最小值；继续下移，当A点在y轴上时，n取得最大值． （3）当点向下移到x轴上时，求得n'的最小值；四边形继续下移，当A点在x轴上时，n取得最大值． 【详解】（1）解：平面直角坐标系和平移后的线段如图所示， ∴平移后点坐标为，即，点坐标为，即； （2）解：将线段进行“n型平移”后点坐标为，点坐标为， ∵与y轴有交点， ∴，， 解得， 故答案为：； （3）解：（1）中四边形进行“n型平移”后点的坐标为，，，， ∵与x轴有交点， ∴，， 解得， 故答案为：． 题型三：平移综合应用 1．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)；； (2)秒后，轴 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质： （1）根据平移的性质求解； （2）设t秒后轴，根据轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段上时，②如图2中，当点P在的延长线上时，③如图3中，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作，同②可证． 2．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可． （3）根据列式解答即可． 本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ∴即，即， 故，． （2）解：设点E的坐标为由题意，得，，． ∵． ∴ ∴， 解得． ∴， 解得． ∴点E的坐标是． （3）解：∵ ∴ ∴ 则点P的坐标是或． 3．（24-25七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为___________； (2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形的面积； (3)在（2）条件下，点是平面内一动点，若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)9 (3)点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）求出，，，利用三角形面积公式可得结论． （2）连接，根据，求解即可． （3）根据面积关系构建方程，求出即可． 【详解】（1）解：点，，， ，，， ， 故答案为：． （2）解：连接． ∵，点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D， ∴， ∴； （3）解：由题意，， 解得， 点的坐标为或． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B在x轴正半轴上，且点A在点B的左边，将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． (1)若点，，．则点D坐标为__________，__________； (2)点M是第四象限上的一个动点，过点M作垂直y轴于点N，连接，，．若点，，，，的面积为，点D到直线的距离为2．问：是否存在m，使得面积是面积的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，． 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系，三角形面积公式． （1）求出点A的平移规律，点B用相同的平移规律即可得到点D的坐标，根据两点间的距离公式即可得到； （2）先根据平移规律求出，，根据点D到直线的距离为2，得到点M，N的纵坐标为，，根据的面积为求出，做出图形，根据等底三角形面积比等于高的比计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A向右平移了1个单位，向上平移了2个单位； ∴点B的对应点为点， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵点A在x轴正半轴上，， ∴， ∵将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点，，，， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∵点D到直线的距离为2， ∴点M，N的纵坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即且轴， 如图， ∵面积是面积的2倍， ∴点到的距离是点到的距离的2倍， ∴ 解得：，符合， ∴． 5．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知平面直角坐标系中，点，，a、b满足． (1)求的面积； (2)将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，直线交x轴于点C，． ①求点C的坐标； ②如图2，线段上一点，求：之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形面积公式求解即可；； （2）①连接，，过点作轴于点D，表示出，然后根据得到，求出； ②如图，连接、、，过点P作轴于点Q，由平移性质可知，，得到，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴； （2）①连接，，过点作轴于点D 设 由平移性质可知，， ∴点到的距离点到的距离 ∴ ∵且 ∴，解得 ∴； ②如图，连接、、，过点P作轴于点Q， 由平移性质可知， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【详解】（1）已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； （2）解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； （3）由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，根据的坐标得到平移规律，再根据平移规律得到的坐标，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：飞机A从飞到时，向右平移了个单位， ∴飞机从向右平移个单位到达，即， 故选：B． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）已知，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为，，将线段平移到线段，若点A的对应点C的坐标为，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标系内线段的平移，根据A点平移前后坐标判断出平移方式，进而可得点D的坐标． 【详解】解：与对应， 平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 点B的坐标为， 点D的坐标是，即， 故选D． 3．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）如图，这是一所学校的平面示意图，图中小正方形的边长代表m，已知图书馆的坐标是．若报告厅、实验楼的位置恰好在格点上，则下列说法正确的是（    ） A．报告厅的坐标为 B．实验楼与图书馆之间的实际距离是m C．实验楼的坐标为 D．图书馆位于报告厅东北方向m处 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的应用．关键根据已知点坐标确定其他点的坐标，理解坐标中横、 纵坐标所代表的位置含义(左右、上下方 向的格点变化，根据口诀：左减右加纵不变，上加下减横不变)；根据已知图书馆的坐标建立坐标系，进而确定其他地点的坐标、距离和方向关系． 【详解】解：A、图书馆坐标是，在平面直角坐标系中，从图书馆向左移动3个单位(因为横坐标从变为)，向下移动个单位(纵坐标从变为)，所以符合报告厅坐标为；故A选项不符合题意； B、由图可得实验楼坐标与图书馆坐标纵坐标相同，横坐标相差4个单位，因为每个单位代表m，所以它们之间的距离为m，所以“实验楼与图书馆之间的实际距离是m”；故B选项符合题意； C、由图可得实验楼坐标与图书馆坐标纵坐标相同，横坐标相差4个单位，图书馆坐标是，在平面直角坐标系中，从图书馆向左移动4个单位(因为横坐标从变为)，所以实验楼的坐标为；故C选项不符合题意； D、报告厅坐标为，图书馆坐标是；根据两点间距离公式，图书馆与报告厅的距离，故图书馆与报告厅的距离；故D选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·四川凉山·阶段练习）设方程组的解是那么把（a，b）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点的坐标为（   ） A．（-2，3） B．（3，-1） C．（-6，8） D．（2，8） 【答案】C 【分析】先把代入方程组求解得，从而得点(-2，3)，再根据平移点的坐标变换规律“左减百加上加下减”得出平移后的点的坐标即可． 【详解】解：把代入方程组，得 ，解得：， ∴点(-2，3)， ∵把（a，b）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位 ∴点(-2，3)平移后的点的坐标为：(-2-4，3+5)，即(-6，8)， 故选：C． 5．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移规律，解题的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点的坐标的变化分析出的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值即可解答． 【详解】∵点平移后得到，点平移后得到， ∴点A横坐标从变为4，右平移了个单位． 点B纵坐标从变为，向上平移了个单位． ∵线段，整体平移， ∴平移规律相同， ∴A点向上平移个单位，． 点向右平移个单位，． ∴ 故选C． 6．（2025·河南周口·模拟预测）如图，的边在x轴上，，将沿y轴向上平移得到，若恰好经过边的中点M，则点A的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，分别过点作，垂足分别为，利用直角三角形的性质及勾股定理求出，，可得沿y轴向上平移个单位得到，根据平移的性质即可解答． 【详解】解：分别过点作，垂足分别为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴沿y轴向上平移个单位得到， ∴，即， 故选：D． 7．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐标为，再根据平移后点O的对应点的坐标为，得点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵矩形的顶点， ∴点A的坐标为， ∵平移后点O的对应点的坐标为， ∴点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中中，线段平移至位置．若的对应点是，则的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据点到点确定出平移规律，再根据相同的平移规律即可求解． 【详解】解：∵的对应点是， ∴可得向右平移了个单位，向下平移了个单位， ∴的对应点的坐标是，即 故答案为： 9．（23-24七年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，． （1）若点C与点B恰好重合，则 ， ； （2）若，且平移后三角形的面积最大，则此时 ，的面积为 ． 【答案】 4 2 5 5 【分析】本题主要考查平移的性质和两点之间的距离， 根据平移的性质得到点，结合点C与点B恰好重合即可求得s和t； 平移的性质得三角形的面积等于三角形的面积，过C作轴，过A作，过B作，由平移得点C，将，即可求得答案． 【详解】解（1）∵线段上任一点在平移后的对应点为， ∴点A的对应点为点， ∵点C与点B恰好重合， ∴， 解得：， 故答案为：4，2； （2）由平移的性质得，，， ∴三角形的面积等于三角形的面积， 过C作轴，过A作，过B作，如图， 由平移得点C， ∵，点，， 则 ∵， ∴当时，面积最大，此时， 故答案为：5，5． 10．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为 (1)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．则的三个顶点坐标分别是（ ， ）、（ ， ）、（ ， ） (2)计算三角形的面积． 【答案】(1)； (2)5 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移规则，是解题的关键： （1）根据点的平移规则，左减右加纵不变，上加下减横不变，进行求解即可； （2）借助网格求面积即可． 【详解】（1）解：由图和题意，得：， ∵将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， ∴， 即：； （2）三角形的面积为：． 11．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图所示，平面直角坐标系中有，把向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到． (1)在图中画出三角形． (2)连接，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)若点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)3，4 【分析】（1）根据题意直接平移作图即可； （2）设B点右边的格点为点D，连接可得，，则有，将式子进行整理即可求解； （3）根据题意可得，求解出a，b的值即可． 【详解】（1）解：如图，图中即为所求图形； （2），理由如下： 如图，连接，B点右边的格点设为点D，连接， ，， ， ， ， ； （3）由于是由向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的， ∵点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点， ， 解得， 即a和b的值分别为3，4． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形中，任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到．求的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了平移， 根据点P和点得出平移变换的方式，进而根据同样的平移方式画出平移后图象，继而根据平面直角坐标系求得的坐标即可． 【详解】解∶∵点经平移后对应点， ∴P点向上平移3个单位，向左平移2个单位， ∴向上平移3个单位，向左平移2个单位得到， 如图，即为所求， ∴． 13．（24-25七年级下·吉林通化·期末）如图，在直角坐标系中 (1)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出、的坐标，并在图中画出平移后图形其中、、分别是A、B、C的对应点，不写画法______，______；______，______； (2)求出平移后的面积． (3)已知点P在y轴上，以，C，P为顶点的三角形的面积为面积的，则P点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，，0，2，3； (2)； (3)或 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）设，构建方程求解． 【详解】（1）如图，即为所求，； 故答案为：，0，2，3； （2）的面积； （3）设，则有， 解得或， 或 故答案为：或 14．（24-25七年级下·湖南·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足． (1)直接写出，两点的坐标； (2)将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积． (3)如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3)且 【分析】（1）根据非负数的性质可得，即可求解； （2）根据平移的性质可得，从而得到点，即可求解； （3）根据平移的性质可得，设交y轴于点K，连接，则，从而得到，再由，可得，然后结合，可得，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴，两点的坐标为； （2）解：∵将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，， ∴， ∴点， ∴轴，轴， ∴，， ∴的面积为； （3）解：由（2）得：将线段向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到线段，， ∵， ∴， 如图，设交y轴于点K，连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q不能与点K重合， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，t的取值范围为且． 15．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，、满足．平移线段得到线段，使点与点对应，点与点对应，连接、． (1)求，的值，并直接写出点的坐标； (2)点在射线（不与点，重合）上，连接、． 若的面积是的面积的倍，求点的坐标； 设，，．直接写出，，满足的关系式． 【答案】(1)，，点的坐标为； (2)或； 点在点左侧时，；点在点右侧时，． 【分析】本题主要考查了图形的平移、平行线的性质、平方根的非负性、平方的非负性，解决本题的关键是根据平移的性质确定点的坐标，根据平行线的性质找到角之间的关系． （1）根据平方根的非负性、平方的非负性，求出、的值，再根据点、的坐标之间的关系判断平移的方向和距离，再根据平移的方向和距离求出点的坐标； （2）根据点、的坐标可知，利用网格求出点到线段的距离为，利用三角形的面积公式求出的面积为，根据的面积是的面积的倍，可知的面积是，根据三角形的面积公式即可求出，从而可知点的坐标是或；过点作，由平移可知，所以可得：，根据平行线的性质找角之间的关系即可，本题应分点在点左侧和点在点右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示， 点的坐标是， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 则点的坐标是； （2）解：由平移可知，直线，且它们之间的距离是， 由网格可知， 的面积是， 的面积是的面积的倍， 的面积是， ， ， ， 点的横坐标是或， 点的坐标是或； 解：当点在点左侧时， 如下图所示，过点作， 由平移可知， ， ，， ， ， ； 当点在点的右侧时， 如下图所示，过点作， 由平移可知， ， ，， ， ， ； 综上所述，点在点左侧时，；点在点右侧时，． 1 / 82 学科网（北京）股份有限公司 $$