24.2 两点间的距离公式（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

24.2两点间的距离公式 题型一 已知两点坐标求两点距离 1．（八年级上·上海黄浦·期末）平面上三个点的坐标分别是，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是 2．（24-25八年级上·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．1 B． C． D．3 3．（25-26八年级上·上海·月考）已知点，，则线段的长为 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标为 ． 5．（23-24八年级上·上海·月考）已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 1．（25-26六年级上·上海青浦·期末）如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（    ） A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处 C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处 2．（25-26七年级上·上海·月考）小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇C在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（   ） A．小艇A在游船的北偏东，距游船处 B．小艇B在游船的北偏西，距游船处 C．小艇A在游船的北偏东，距游船处 D．小艇B在游船的南偏西，距游船处 3．（七年级下·上海·练习）如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点处，那么点的位置在点的 距点处． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 题型三 根据方位描述确定物体的位置 1．（八年级上·上海·月考）下列描述能够确定位置的是（    ） A．轮船沿北偏东方向行驶 B．天安门附近 C．八年一班在二层 D．东经北纬 2．（七年级下·上海·月考）如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 3．（七年级下·上海·月考）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 4．（八年级上·上海·测试）小明站在旗杆的北偏东40°方向上，且距离旗杆80米处，则旗杆应在小明 的位置． 5．（七年级·上海·期末）如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标． 题型一 中点坐标 1．（七年级·上海·课后题）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（七年级下·上海·期中）在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·月考）已知点和点，则线段的中点坐标为 ． 4．（八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为 ． 5．（七年级下·上海·月考）如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点． (1)写出图中点、、的坐标是：___________，B___________，___________ (2)的面积是___________． (3)如果点在边上，平分的面积，那么点的坐标是___________ 1．（七年级下·上海·月考）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求A、B两点间的距离； (2)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； (3)已知，在坐标轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 2．（八年级上·上海·测试）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)求中边上的高． 3．（八年级上·全国·期中）如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 4．（25-26八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的抽象对称点．已知点． (1)如图，已知点． 在，，这三个点中，与点可以成为线段的抽象对称点的是________； 已知，若点与点是线段的抽象对称点，则的取值范围是________； (2)如图，若点与点是线段的抽象对称点，，则满足条件的所有点组成的图形面积是________； (3)如图，正方形的四个顶点坐标分别为，，，且．若线段上的任意两个点都是正方形的一对抽象对称点，请在坐标系中画出符合条件的最小的正方形，并简述画图步骤． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2两点间的距离公式 题型一 已知两点坐标求两点距离 1．（八年级上·上海黄浦·期末）平面上三个点的坐标分别是，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离公式：也考查了三角形形状的判定．先根据两点间的距离公式计算出三边长，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“已知两点的坐标求两点之间的距离”的求解方法是解本题的关键． 根据平面直角坐标系中两点间距离公式，计算点到原点的距离即可． 【详解】解：根据题意得，点到原点的距离是． 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海·月考）已知点，，则线段的长为 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式：已知在平面直角坐标系中有两点，则这两点间的距离公式为，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可得． 【详解】解：∵点，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，勾股定理等知识点，解题的关键是利用两点间距离公式求出的长度，再结合圆的半径相等确定点的坐标． 先通过两点间距离公式计算的长度，由得到的长度，再结合点的坐标求出点的横坐标． 【详解】解：由点、，根据两点间距离公式： 以为圆心,为半径画弧交轴负半轴于， ． 设点的坐标为，则， 在轴负半轴，， ，解得． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海·月考）已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的定义，结合两点距离公式得，，，然后进行分类讨论，即可列式作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， ∴当时，即， 则 解得； 或当时，即， 因为， 所以 此种情况不存在； 或当时，即， 则， 即， 那么 综上所述，或． 【点睛】本题考查了两点的距离公式以及等腰三角形的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 1．（25-26六年级上·上海青浦·期末）如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（    ） A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处 C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处 【答案】B 【分析】本题主要考查的是方向角，根据方向角的概念即可解答． 【详解】解：根据图形可知：在港口的南偏东方向，相距30海里处． 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·月考）小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇C在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（   ） A．小艇A在游船的北偏东，距游船处 B．小艇B在游船的北偏西，距游船处 C．小艇A在游船的北偏东，距游船处 D．小艇B在游船的南偏西，距游船处 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解方向角的表示方法是解题关键，利用方向角的表示方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、小艇A在游船的北偏东，且距游船处，故A错误，不符合题意； B、小艇B在游船的北偏西，且距游船处，故B错误，不符合题意； C、小艇A在游船的北偏东，且距游船处，故C正确，符合题意； D、小艇B在游船的北偏西，且距游船处，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（七年级下·上海·练习）如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点处，那么点的位置在点的 距点处． 【答案】北偏东30°方向 【分析】本题考查了坐标确定位置，正确地识别图形是解题的关键． 根据点的位置在点的东南方向距点处，于是得到点的位置． 【详解】解：∵圆的直径是 ∴, ∵点的位置在点的东南方向距点处， ∴点的位置在点的北偏东方向距点处， 故答案为：北偏东方向． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 题型三 根据方位描述确定物体的位置 1．（八年级上·上海·月考）下列描述能够确定位置的是（    ） A．轮船沿北偏东方向行驶 B．天安门附近 C．八年一班在二层 D．东经北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置的问题，关键是要知道确定一个点的位置必须有两个数据来判断．A选项仅提供方向，无起点或距离；B选项“附近”范围模糊；C选项只指定楼层，无具体房间；D选项给出具体经度和纬度，能唯一确定地球上的点． 【详解】解： A．轮船沿北偏东方向行驶，只能确定方向，无法确定位置，故选项A不符合题意； B．天安门附近，无法确定位置，故选项B不符合题意； C．八年一班在二层，无法确定位置，故选项C不符合题意； D．东经北纬，可以确定一点的位置，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（七年级下·上海·月考）如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键. 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 根据题意和图示可知： 射线表示南偏东方向，射线表示南偏东约方向，射线表示南偏东方向， ∴点B的位置可能是． 故选：D． 3．（七年级下·上海·月考）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 【答案】北偏东27°的处 【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即可求解． 【详解】解：由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处， 即雁荡山在乐成镇的北偏东27度的处． 故答案为：北偏东27度的处． 【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键． 4．（八年级上·上海·测试）小明站在旗杆的北偏东40°方向上，且距离旗杆80米处，则旗杆应在小明 的位置． 【答案】南偏西40°方向上且距离小明80米 【分析】根据方向问题是相对的，根据小明站在旗杆的北偏东40°方向，且距离旗杆80米，即可得出旗杆应该在小明的南偏西40°方向且距离小明80米． 【详解】∵小红站在旗杆的北偏东40°方向，且距离旗杆80米， ∴旗杆应该在小红的南偏西40°方向，且距离小红80米， 故答案为：南偏西40°方向，且距离小红80米． 【点睛】此题主要考查了方向角问题，熟练掌握方位角的定义是解题的关键． 5．（七年级·上海·期末）如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中找出点的位置，根据点的位置写出点的坐标，解题的关键是数形结合，建立正确的平面直角坐标系． （1）根据大门的坐标为，花坛的坐标为，找出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可； （2）在平面直角坐标系中根据点A的坐标找出建筑物A的位置即可； （3）根据建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向处找出点B的位置，得出点B的坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示； （2）解：点A如图所示； （3）解：点B如图所示，点． 题型一 中点坐标 1．（七年级·上海·课后题）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 2．（七年级下·上海·期中）在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知两点坐标，，则中点坐标为，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴点D为的中点， ∵点，， ∴点E的坐标为，即， 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海·月考）已知点和点，则线段的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，解题的关键在于准确代入数值并注意正负号的运算．已知两点和，要求线段的中点坐标．根据中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半，直接代入计算即可得出结果． 【详解】解：点坐标为，点坐标为， 则中点横坐标为，纵坐标为， 故中点坐标为． 4．（八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的定义，勾股定理等知识， 根据中点坐标公式求出点D的坐标，设，分三种情况讨论∶；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 【详解】解∶∵，，为的中点， ∴，即， ∵是轴正半轴上一个动点， ∴设， 当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， 解得， ∴点的坐标为； 当时， ， 解得或 ∴点的坐标为； 综上， 点的坐标为或或， 故答案为∶ 或或． 5．（七年级下·上海·月考）如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点． (1)写出图中点、、的坐标是：___________，B___________，___________ (2)的面积是___________． (3)如果点在边上，平分的面积，那么点的坐标是___________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，三角形中线三角形面积，坐标与图形． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可； （3）根据中点坐标公式即可得到答案． 【详解】（1）解：点、、的坐标是， 故答案为： （2）的面积是 故答案为： （3）如图，点即为所求， ∵点为的中点，点、的坐标是， ∴点的坐标是 故答案为： 1．（七年级下·上海·月考）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求A、B两点间的距离； (2)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； (3)已知，在坐标轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1) 10 (2) 等腰直角三角形 (3) 存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键． （1）利用公式代入即可； （2）利用公式求出，，的长，再由勾股定理逆定理即可判断； （3）根据直角三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： ∵、、 ， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：存在， ， ， 点P在坐标轴上 设， ∴，， 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）,，此时； 当时，，则，解得（此时为P原点，舍去）； 当时，则，解得，此时； 设， ∴，， 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）,，此时； 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）； 当时，则，解得，此时； 综上，或或或． 2．（八年级上·上海·测试）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)求中边上的高． 【答案】(1)作图见详解 (2)6 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形面积计算及勾股定理等知识点． （1）根据题中的点坐标在网格图中将点描出，再连接，即可； （2）先求出的长，作为的底边，再求出点C的横坐标，作为的高，进而利用三角形的面积公式即可求得； （3）先通过网格图利用勾股定理求出的长度，再利用三角形面积公式即可求得结果． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：由（1）图象可知，，， ∴． （3）解：， 由（2）知，， ∴中边上的高为． 3．（八年级上·全国·期中）如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)的面积为 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定与性质，勾股定理与折叠问题； （1）作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，由轴，得，再通过证明，即可得到点的坐标； （2）设点的坐标为，由得，，即可求出点的坐标，作轴交轴于点，轴交轴于点，则，即可求解． 【详解】（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， 点坐标为， ， 点坐标为， 同理可得， ， ， ， 四边形为长方形， ， ， 点坐标为， 点坐标为，点坐标为； （2）解：设点的坐标为， 由（1）得，点坐标为，点坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为， 作轴交轴于点，轴交轴于点， 点坐标为，点坐标为，点的坐标为， 则， ， 的面积为． 4．（25-26八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的抽象对称点．已知点． (1)如图，已知点． 在，，这三个点中，与点可以成为线段的抽象对称点的是________； 已知，若点与点是线段的抽象对称点，则的取值范围是________； (2)如图，若点与点是线段的抽象对称点，，则满足条件的所有点组成的图形面积是________； (3)如图，正方形的四个顶点坐标分别为，，，且．若线段上的任意两个点都是正方形的一对抽象对称点，请在坐标系中画出符合条件的最小的正方形，并简述画图步骤． 【答案】(1)，； (2) (3)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，两点之间的距离公式，新定义的理解，与圆有关的计算，弄清“抽象对称点”的定义，利用数形结合是解决这种新定义问题的关键． （1）先求出点与线段上一点的距离最小值和最大值，再求出点、、与线段上一点的距离最小值和最大值，最后根据“抽象对称点”的定义判断即可；根据“抽象对称点”的定义列不等式求解即可； （2）由可知，满足的点为在以点为圆心，半径为的上任意一点，再根据“抽象对称点”的定义绘制出满足条件的所有点组成的图形，计算面积即可； （3）根据“抽象对称点”的定义和正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， ，，， ，； ，； ，， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 在线段上存在点，，使得，即点与点可以成为线段的抽象对称点； 在线段上不存在点，，使得，即点与点不能成为线段的抽象对称点； 在线段上存在点，，使得，即点与点可以成为线段的抽象对称点； 故答案为：，； ， ，， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 由知，点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 点与点是线段的抽象对称点， ，解得， 则的取值范围是 故答案为：； （2）解：， 满足的点为在以点为圆心，半径为的上任意一点，如图所示， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 点与点是线段的抽象对称点， 满足条件的所有点即为以点为圆心，半径为的和以点为圆心，半径为的，以及矩形内任意一点， 满足条件的所有点组成的图形面积为； 故答案为； （3）解：与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 线段上的任意两个点都是正方形的一对抽象对称点，，，，且， 正方形上的点与线段上的点的距离总是大于或等于点与线段上的点的距离， 故以点为圆心，长为半径画圆，与过点的水平线线的交点即为点，则，依次作出，，即正方形为符合条件的最小的正方形． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $