专题15.4 等腰三角形（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形核心知识点，系统梳理等腰三角形的概念、性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边），延伸至等边三角形的性质与判定，以及含30°角直角三角形的特殊性质，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”结合题型分类（如格点等腰三角形、性质判定综合），强化辅助线添加与分类讨论，培养学生几何直观与推理意识。课中助力教师引导分析，课后学生可通过变式练习查漏补缺，提升知识应用能力。

专题15.4 等腰三角形 教学目标 1.理解等腰三角形、等边三角形的有关概念，掌握等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等基本要素，明晰等腰三角形与等边三角形的从属关系，掌握两类三角形的分类特征。 3.熟练掌握等腰三角形的性质定理“等边对等角”，能够用文字语言和几何符号语言规范表述定理，能运用定理进行角度计算、边角关系推理与几何说理。 4.深度掌握等腰三角形“三线合一”的核心性质，理解顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的几何内涵，明确该性质的适用条件与几何价值。 5.掌握等边三角形的性质，知晓等边三角形三边相等、三角均为60°，且有三条对称轴，能利用等边三角形性质完成计算与简单证明。 6.掌握含30°角直角三角形的核心性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质推导过程。 7.经历等腰三角形性质的猜想、验证与证明过程，学会通过作辅助线构造全等三角形完成定理证明，掌握等腰三角形常见辅助线的添加方法。 8.结合等腰三角形、直角三角形相关知识，解决简单几何综合问题，培养数形结合推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握等腰三角形、等边三角形的基本概念与轴对称特征； （2）熟练掌握等腰三角形、等边三角形性质定理与判定定理，能规范进行角度计算与几何推理； （3）熟记并掌握含30°角直角三角形的性质与逆用结论，能利用性质进行边长计算、线段倍分关系证明。 2. 难点 （1）透彻理解“三线合一”的完整内涵，区分适用底边与腰、底角与顶角的不同情况，避免性质误用、滥用； （2）在边长、角度条件不明确的题型中，运用分类讨论思想，结合三角形三边关系、内角和定理全面解题，防止漏解、错解； （3）在折叠、复杂组合图形中挖掘等腰三角形与含30°的直角三角形的隐含条件，结合轴对称、全等知识完成多步综合推理； （4）灵活添加等腰三角形辅助线构造全等模型，转化边角关系，构建完整严谨的几何推理链条。 知识点01 等腰三角形的性质 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“ ”）。 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（简写成“ ”）。 3.等腰三角形是 图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴。 【即学即练】 1．如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，是的角平分线，在上取点D，使．若，，求的度数． 知识点02 等腰三角形的判定 1.定义法判定：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“ ”）． 【即学即练】 1．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，在中，，，，均为的高，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 知识点03 等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的三个内角 ，并且每一个角都等于 。 2.等边三角形是轴对称图形，它有 对称轴。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 2．如图，在等边三角形中，，，连接并延长，交的延长线于点，求的度数． 知识点04 等边三角形的判定 1.定义法判定：三边都相等的三角形是等边三角形。 2.等边三角形的判定定理1：三个角都 的三角形是等边三角形。 3.等边三角形的判定定理2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 2．如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E．求证： (1)是等边三角形； (2)点E是的中点． 知识点05 含30°角的直角三角形性质 1. 含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 。 2.性质的逆用：直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为 。 【即学即练】 1．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，于H，若，则__________． 3．如图，在中，于点平分交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 题型01 等腰三角形的性质 【典例1】如图，，点在上，连接，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中， ， 为中点， 于， 于．求证： ． 遇等腰三角形，优先标等角、等边，活用三线合一，减少全等证明步骤。 【变式1】如图，在中，是它的角平分线，，则____________． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【变式3】如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，．则线段与相等吗？请说明理由． 【变式4】如图，在中，平分，平分，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求证：所在的直线垂直平分． 题型02 根据等腰三角形的判定证明 【典例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在和中，，，点、、、在同一条直线上，且，求证：是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为上一点，与交于点，且．求证：． 题型03 根据等腰三角形的判定求长度 【典例1】如图，，是的中点，平分，，，求的长． 倒角证两角相等→判定等腰→对应两腰相等→代入已知边长计算未知线段。 【变式1】如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，D为内一点，平分，则_____（用a，b的代数式表示）． 【变式3】如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【变式4】如图，在中，平分，过点作于点，交于点．已知，，．求的长． 题型04 格点中的等腰三角形 【典例1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 （1）找点技巧：以已知线段为底，作垂直平分线，格点落在垂直平分线上即为顶点；以已知线段为腰，分别以两端点为圆心、线段长为半径画圆，找格点交点。 （2）验证原则：找到点后，必须再次验算边长，排除三点共线、无法构成三角形的情况。 【变式1】如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得是以为底的等腰三角形，则点C的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【变式3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个等腰三角形，且三角形是钝角三角形； (2)在图②中，以为斜边画一个等腰直角三角形； (3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是轴对称图形． 题型05 等腰三角形的性质与判定综合 【典例1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下列结论错误的是（    ） A．平分 B．的周长等于 C． D．点是线段的中点 【典例2】（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，在中，，．若平分交于D，于E，且交于O．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在 中， ，，D为中点， ，E为垂足． ，交 的延长线于点F．交 的延长线于点G． (1)求证： ； (2)求证：垂直平分 ； (3)若A到 的距离为，D到 的距离为，C到 的距离为 ，G到 的距离为 ，则四边形 的面积为______．（直接写答案，用含a，b，c，d的代数式表示） 题型06 等边三角形的性质 【典例1】如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【典例2】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 任意内角、外角均可快速锁定60°，可直接用于倒角、证全等、证平行。 【变式1】如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若也为等边三角形，且，，求的长． 【变式3】如图，已知和都是等边三角形，且点D在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型07 等边三角形的判定 【典例1】如图，是等边三角形，是边上的点，过点作交于点，求证：是等边三角形．    优先证等腰，再找60°角，两步快速判定等边，无需繁琐三边、三角证明。 【变式1】已知：如图，平分，，交的延长线于点，且．求证：是等边三角形．    【变式2】如图，在中，是中线，使，若，．求证：是等边三角形．    【变式3】如图，在中，，D是上的一点，，过点D作的垂线交于点E，连接、．    (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：是等边三角形． 题型08 等边三角形的性质与判定综合 【典例1】如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【变式1】如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（   ）    A．2 B．5 C．8 D．11 【变式2】如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接；以下四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是_____________（填序号）． 【变式3】已知，是等边三角形，过点C作，且，连接交于点O．      (1)如图1，试说明：垂直平分； (2)如图2，点M在的延长线上，点N在线段上，且，连接．试说明：． 【变式4】如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 题型09 含30°的直角三角形 【典例1】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例2】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 题干出现Rt△+30°角，直接锁定短直角边与斜边的二倍关系，快速求边长、周长。 【变式1】如图，中，，，，则的面积为__________． 【变式2】如图，李明同学想测量泸州白塔的高度，他在A处测得，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔的高度． 【变式3】如图，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．利用上述结论解答下列问题：    (1)在直角中，，若，则　　　； (2)在直角中，，若D是的中点，连接，求证：． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山西临汾·三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为_________． 5．（2026·福建宁德·一模）用个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的度数是_____． 6．如图，在中，，，，．将三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、相交于点、，且使始终与垂直． (1)求证：是等边三角形； (2)求的值． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 10．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 1．（25-26八年级下·山东济宁·期末）数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，将一块直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．已知，，若，，则的长为_____________． 5．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为________________． 6．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 7．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． (1)求证： (2)若，求的度数． 8．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，． (1)若的周长为，的周长为，求线段，的长； (2)若，求的度数． 9．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，，点为的中点，，两边分别交，于，两点． (1)如图1，当点，分别在边和上时，求证：； (2)如图2，当点，分别在和的延长线上时，连接，，求的面积． 10．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，．点、分别为、上的点，连接，，若，垂直平分，求证：是等边三角形． 11．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 12．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，，． (1)若“表”，，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 13．（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． (1)求证：点为的中点； (2)如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 14．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.4 等腰三角形 教学目标 1.理解等腰三角形、等边三角形的有关概念，掌握等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等基本要素，明晰等腰三角形与等边三角形的从属关系，掌握两类三角形的分类特征。 3.熟练掌握等腰三角形的性质定理“等边对等角”，能够用文字语言和几何符号语言规范表述定理，能运用定理进行角度计算、边角关系推理与几何说理。 4.深度掌握等腰三角形“三线合一”的核心性质，理解顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的几何内涵，明确该性质的适用条件与几何价值。 5.掌握等边三角形的性质，知晓等边三角形三边相等、三角均为60°，且有三条对称轴，能利用等边三角形性质完成计算与简单证明。 6.掌握含30°角直角三角形的核心性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质推导过程。 7.经历等腰三角形性质的猜想、验证与证明过程，学会通过作辅助线构造全等三角形完成定理证明，掌握等腰三角形常见辅助线的添加方法。 8.结合等腰三角形、直角三角形相关知识，解决简单几何综合问题，培养数形结合推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握等腰三角形、等边三角形的基本概念与轴对称特征； （2）熟练掌握等腰三角形、等边三角形性质定理与判定定理，能规范进行角度计算与几何推理； （3）熟记并掌握含30°角直角三角形的性质与逆用结论，能利用性质进行边长计算、线段倍分关系证明。 2. 难点 （1）透彻理解“三线合一”的完整内涵，区分适用底边与腰、底角与顶角的不同情况，避免性质误用、滥用； （2）在边长、角度条件不明确的题型中，运用分类讨论思想，结合三角形三边关系、内角和定理全面解题，防止漏解、错解； （3）在折叠、复杂组合图形中挖掘等腰三角形与含30°的直角三角形的隐含条件，结合轴对称、全等知识完成多步综合推理； （4）灵活添加等腰三角形辅助线构造全等模型，转化边角关系，构建完整严谨的几何推理链条。 知识点01 等腰三角形的性质 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（简写成“三线合一”）。 3.等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴。 【即学即练】 1．如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线； 又∵， ∴． 2．如图，是的角平分线，在上取点D，使．若，，求的度数． 【答案】 【分析】再根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义可得，再根据等边对等角求解即可． 【详解】解：在中，， ，， ， ∵是的角平分线， ， ， ． 知识点02 等腰三角形的判定 1.定义法判定：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 【即学即练】 1．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可． 【详解】解：平分交于， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，在中，，，，均为的高，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）先得到为等腰直角三角形，再证明，即可证明，则； （2）先由三角形内角和定理求解得到，那么，再由三线合一即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，均为的高， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵为的高， ∴， 由（1）知， ∴ 知识点03 等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 2．如图，在等边三角形中，，，连接并延长，交的延长线于点，求的度数． 【答案】 【分析】先由等边三角形的性质求出，再由等腰三角形以及三角形内角和定理求解，最后对运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在等边三角形中， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， ， ∵， ． 知识点04 等边三角形的判定 1.定义法判定：三边都相等的三角形是等边三角形。 2.等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 3.等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先利用证明，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④正确； ∵，， ∴是等边三角形，故②正确； 故选D． 2．如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E．求证： (1)是等边三角形； (2)点E是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由已知可证明，因为，则可证明，则题目可证； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得，则，题目可证． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点． 知识点05 含30°角的直角三角形性质 1. 含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.性质的逆用：直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°。 【即学即练】 1．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等腰三角形的性质和求出底角为，再由求出，证明，最后利用含角的直角三角形性质得． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 2．如图，中，，，于H，若，则__________． 【答案】6 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，于点平分交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由于点D，得，则，由，得，推导出，而，则，即可证明为等腰三角形； （2）由，推导出，则，因为，所以，则，由，得，则，求得． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为3． 题型01 等腰三角形的性质 【典例1】如图，，点在上，连接，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中， ， 为中点， 于， 于．求证： ． 【答案】证明：，为中点， ，． 又，， ． 在和中： ， ∴， ∴． 【分析】根据等边对等角可得，结合已知条件，根据证明，进而根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 遇等腰三角形，优先标等角、等边，活用三线合一，减少全等证明步骤。 【变式1】如图，在中，是它的角平分线，，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形面积计算公式得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，是它的角平分线，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【变式3】如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，．则线段与相等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．先运用等腰三角形的性质得到，，再证明，最后根据全等三角形的性质证得． 【详解】解：，理由如下： ∵，是的边上的高， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【变式4】如图，在中，平分，平分，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求证：所在的直线垂直平分． 【答案】(1) (2) 证明：过点O作，垂足分别为点D，E，F， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴为边的高线，也是边的中线， 即所在的直线垂直平分． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解； （2）过点O作，垂足分别为点D，E，F，根据角平分线的性质定理可得，再由角平分线的判定定理，可得平分，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）略 题型02 根据等腰三角形的判定证明 【典例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在和中，，，点、、、在同一条直线上，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．证明，得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，证明是关键． （1）根据平行线的性质得到，再根据已知即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明，则，由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为上一点，与交于点，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由等角对等边证出，根据全等三角形的判定定理，证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而推出． 【详解】略 题型03 根据等腰三角形的判定求长度 【典例1】如图，，是的中点，平分，，，求的长． 【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等角对等边，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．延长、交于，可证明，得，根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于F， ， ，， ∵点E是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 平分， ∴， ∴， ∴． 倒角证两角相等→判定等腰→对应两腰相等→代入已知边长计算未知线段。 【变式1】如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点，连接，由角平分线的性质得，可证明，得，求得，再证明，得，由，得，则，所以，则． 【详解】解：如图，作交的延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】如图，D为内一点，平分，则_____（用a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 延长交于点，先证明，则，，而，则，再由即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式4】如图，在中，平分，过点作于点，交于点．已知，，．求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，找出全等三角形是解题关键．证明，得到，，进而得出，由等角对等边，得到，即可求出的长． 【详解】解： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 题型04 格点中的等腰三角形 【典例1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． （1）找点技巧：以已知线段为底，作垂直平分线，格点落在垂直平分线上即为顶点；以已知线段为腰，分别以两端点为圆心、线段长为半径画圆，找格点交点。 （2）验证原则：找到点后，必须再次验算边长，排除三点共线、无法构成三角形的情况。 【变式1】如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得是以为底的等腰三角形，则点C的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义和中垂线的性质是解题的关键．画出的垂直平分线即可确定点C的位置． 【详解】解：∵是以为底的等腰三角形， ∴点C在的中垂线上， 如图，点C的位置有2个，    故选：B． 【变式2】如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 【变式3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个等腰三角形，且三角形是钝角三角形； (2)在图②中，以为斜边画一个等腰直角三角形； (3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是轴对称图形． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求， (3)如图，四边形即为所求 【分析】本题主要考查了作图应用与设计，轴对称图形和等腰三角形的性质等知识，解题关键是： （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据等腰直角三角形的性质作图即可； （3）根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型05 等腰三角形的性质与判定综合 【典例1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下列结论错误的是（    ） A．平分 B．的周长等于 C． D．点是线段的中点 【答案】D 【分析】由在中，，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得与的度数，又由的垂直平分线是，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，继而求得的度数，则可知平分；可得的周长等于，又可求得的度数，求得，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵在中，， ， ∵的垂直平分线是， ， ， ， ∴平分，故A正确； ∴的周长为：，故B正确； ， ， ， ， ，故C正确； ∵， ， ， ∴点不是线段的中点，故D错误． 【典例2】（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，，．若平分交于D，于E，且交于O．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】结论①：利用等腰三角形的三线合一即可证明；结论②：证明即可判断；结论③：证明即可；结论④：缺少全等的条件，无法证明两三角形全等． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴，，即①正确； ∴， ∵， 而， ∴，即②错误； ∵，，，， ∴， ∴， ∴，即③正确； ∵，， ∴， ∴不一定等于， ∴和不全等，即④错误， 综上所述，正确的结论有①③，共2个． 【变式2】如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在 中， ，，D为中点， ，E为垂足． ，交 的延长线于点F．交 的延长线于点G． (1)求证： ； (2)求证：垂直平分 ； (3)若A到 的距离为，D到 的距离为，C到 的距离为 ，G到 的距离为 ，则四边形 的面积为______．（直接写答案，用含a，b，c，d的代数式表示） 【答案】(1)证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴； (2)证明：如图，连接 ，交 于点H， ∵ ∴ ， ∵D为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 即 垂直平分 ． (3) 【分析】（1）由 证明，即可得出结论； （2）连接，交 于点H，由（1）得，再由，得 ，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论． （3）根据题意得，，，，得到和，结合四边形的面积为 求解即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：连接，如图， ∵A到 的距离为，D到 的距离为，C到 的距离为 ，G到 的距离为 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∵四边形 的面积为 ， ∴四边形 的面积为． 题型06 等边三角形的性质 【典例1】如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．由题意可得：即，由等边三角形的性质可得，为中线，得到，即可求解． 【详解】解：等边中，， 则，， ∵， ∴，即 ∴为中线，则， 故选：C ． 【典例2】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三线合一，以及等角对等边即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形，是的边上的中线， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴． 任意内角、外角均可快速锁定60°，可直接用于倒角、证全等、证平行。 【变式1】如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 【变式2】如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若也为等边三角形，且，，求的长． 【答案】(1)30° (2)2 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由平行线的性质得，结合即可求解； （2）由等边三角形的性质得，，进而即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ， ． ， ， ； （2）解： ∵是等边三角形， ． 是等边三角形， ， ． 【变式3】如图，已知和都是等边三角形，且点D在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，，推导出，根据全等三角形的性质得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ∴， ， 在与中， ， ， ； （2）解：∵≌， ， ∵是等边三角形， ∴， 题型07 等边三角形的判定 【典例1】如图，是等边三角形，是边上的点，过点作交于点，求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用平行线的性质，证明三角形的三个内角都是即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 优先证等腰，再找60°角，两步快速判定等边，无需繁琐三边、三角证明。 【变式1】已知：如图，平分，，交的延长线于点，且．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解答此题的关键． 先由得，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质得，，进而得，据此可得出结论． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【变式2】如图，在中，是中线，使，若，．求证：是等边三角形．    【答案】证明见解析． 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，，可得，求出，根据线段垂直平分线的性质得到，从而求出，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 是中线， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质． 【变式3】如图，在中，，D是上的一点，，过点D作的垂线交于点E，连接、．    (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证，即可得出是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）证出，又根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分． （2）证明：∵，， ∴． ∵， ， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键． 题型08 等边三角形的性质与判定综合 【典例1】如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，通过已知条件和图形分析，逐步推导出各个角的度数是解题的关键． （1）通过，得到，再由，证明是等边三角形； （2）由（1）得到是等边三角形，，根据，得到，最后由得到是直角三角形； 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1】如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（   ）    A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】先根据等边三角形性质得，，再根据得，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接；以下四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是_____________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定．熟练掌握等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定是解题的关键．证明，得出即可判断①正确；证明，得出，根据，得出为等边三角形，得出，即可判断②正确；根据，，结合三角形内角和定理得出，即可判断③错误；根据可得：，根据，证明，即可判断④正确． 【详解】解：①等边和等边， ，，， ，即， ∴， ，故正确； ②∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ， 又， ∴为等边三角形， ， ，故正确； ③，且， ， ，故错误； ④由可得：， ， ，则， ，故④正确； 所以正确的结论有三个：． 故答案为：． 【变式3】已知，是等边三角形，过点C作，且，连接交于点O．      (1)如图1，试说明：垂直平分； (2)如图2，点M在的延长线上，点N在线段上，且，连接．试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，三线合一的性质判定即可求解； （2）由（1）知垂直平分，则，等量代换即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴垂直平分； （2）解：由（1）知垂直平分， ∴， ∵， ∴． 【变式4】如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合为等边三角形，以及平行线的性质得，，即可证明为等边三角形，进行作答． （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质得，再由等角对等边，得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：为等边三角形， 理由如下： 为等边三角形， ， ，， ，， 为等边三角形； （2）解：平分，， ，， ， ， 同理， 的周长． 题型09 含30°的直角三角形 【典例1】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据直角三角形中，30度角所对的直角边长度等于斜边长度的一半，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：D． 【典例2】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质和含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键． （1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明； （2）结合方程思想以及含角的直角三角形的性质，然后根据已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ∵， ∴， ，即是等腰三角形； （2）在中，， ， 设，则， ， ， ，即． 题干出现Rt△+30°角，直接锁定短直角边与斜边的二倍关系，快速求边长、周长。 【变式1】如图，中，，，，则的面积为__________． 【答案】75 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 过点作交延长线于点D，根据，可得，再由，可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：75 ． 【变式2】如图，李明同学想测量泸州白塔的高度，他在A处测得，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔的高度． 【答案】30m 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等角对等边，含直角三角形的性质， 先根据三角形外角的性质得出，进而得出，再根据直角三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， 即， ∴． 在中，． 所以泸州白塔的高度是． 【变式3】如图，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．利用上述结论解答下列问题：    (1)在直角中，，若，则　　　； (2)在直角中，，若D是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质： （1）直接利用结论进行求解即可； （2）根据结论得到，进而推出为等边三角形，得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：4． （2）∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴   故选：C. 2．（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 3．（2026·山西临汾·三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作，则，，由 是等边三角形得，故． 【详解】解：如图，过点A作，则， ， ， 是等边三角形， ， ． 4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 5．（2026·福建宁德·一模）用个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的度数是_____． 【答案】 【分析】根据中心角由五个等腰三角形的底角围成，可先求底角，然后求顶角即可. 【详解】解：∵等腰三角形的底角为： ∴顶角为：． 6．如图，在中，，，，．将三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、相交于点、，且使始终与垂直． (1)求证：是等边三角形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些性质． （1）由，，得到，再根据三角形的内角和求出和，即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，根据是等边三角形可得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， （2）解：是等边三角形， ， ， ． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由等角对等边得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：略； 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2）解：， ，是边上的中线， ． 10．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由等边三角形的性质可得的度数，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·山东济宁·期末）数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质求出，，再根据线段的和差求出，再次根据含角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 即支撑木条长度为． 2．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质求出的长，根据垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，最小值为 ． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 垂直平分， ， 的周长， 两点之间线段最短， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 周长的最小值． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，将一块直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．已知，，若，，则的长为_____________． 【答案】6 【分析】先根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再根据平移的性质得到，根据求得的长． 【详解】解：在中，，， ， ， 由平移的性质可知，， ． 5．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为________________． 【答案】 30 【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，紧接着利用线段垂直平分线性质得到，从而得出的度数，最后利用角度和差关系求得结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. 6．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，再根据定理即可得证； （2）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴ ． 8．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，． (1)若的周长为，的周长为，求线段，的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质求解即可； （2）求解，结合等腰三角形的性质进一步求解即可. 【详解】（1）解： 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， ； （2）解：， ， ，， ，， ． 9．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，，点为的中点，，两边分别交，于，两点． (1)如图1，当点，分别在边和上时，求证：； (2)如图2，当点，分别在和的延长线上时，连接，，求的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ，，点为的中点， ，，， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，可证，根据全等三角形的性质证明结论成立； （2）连接，可证，根据全等三角形的性质可知，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，连接， ，，点为的中点， ，，， ，， ， ， ， ． 10．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，．点、分别为、上的点，连接，，若，垂直平分，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵在中，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【详解】略 11．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由角平分线的判定定理可得平分，再由角平分线的定义和平行线的性质可 证明，得到，则可证明是等腰三角形； （2）证明，得到，求出的度数，可得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 12．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，，． (1)若“表”，，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：是等边三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， 是等边三角形． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再证明，可得，在中利用勾股定理可得，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解； （2）根据角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，从而得到，由（1）知：，即可解答． 【详解】（1）解：，平分， ， ； 在和中，， ， ， 在中，，， ， ，， 在中，根据勾股定理得：， ， ； （2）略 13．（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． (1)求证：点为的中点； (2)如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 【答案】(1)证明： 为等边三角形， ，． 为直角三角形， ， ， ，即， ， ， 即点为的中点． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质、直角三角形中两锐角互余、含角的直角三角形的性质，即可得证； （2）利用平移的性质、外角的性质、等角对等边，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由平移得，，，， ． 由（1）可知，，， ，， ， ， ． 答：的长为． 14．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $