专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型）（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：由作图知，垂直平分，， 的周长， ，，的周长，故选：C． （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 【答案】15 【详解】解：在中，，平分交于点，，， ，，即的面积为，故答案为：． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 【答案】(1)，见解析(2)(3)，见解析 【详解】（1），理由如下：如图1，延长交于点M．，， ，，，，平分，， ，即，，， ，，， 由得． （2）如图2，延长相交于点N， ，，，， ，，，， 又，，，，， 平分，， ，即，，， ，，， 又，．故答案为：6． （3），理由如下：如图3，延长与相交于点G， ，，，， 又，，，平分，， ，，，， ，，， 由得． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为（    ） A．16 B．24 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；由垂直平分线的性质可得，，的周长可转化为的长度. 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴的周长为24. 故选：B. 例2（25-26八年级上·上海·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵腰的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵的长为，的面积是， ∴此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 例3（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．若，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，可知，则，而，则的度数可求． 【详解】解： 是 的垂直平分线， 边的垂直平分线，   ∴， ∵， ∴ ．   故答案为：． 例4（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为10； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 例5（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质．熟练掌握以上知识并且恰当的运用等量代换是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，则，，根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，则，．在中根据三角形内角和定理即可求出的值．在中，又由，即可求出的值． （3）根据线段垂直平分线的性质可得．由的周长，可得．由的周长，可得，由此可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵中，， ∴． ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴． 又∵中，， ∴， 即， ∴． 在中，， ∵， ∴ ． 故答案为：． （3）解：如图，连接， ∵的周长， ∴． 又∵， ∴， 即； ∵的周长， ∴， ∴； ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； 故选：C． 例2（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，为边上一点，连接，且，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是含的直角三角形性质、三线合一，解题关键是作出正确的辅助线． 作交于点，由含的直角三角形性质求出，再根据三线合一得出，则． 【详解】解：作交于点， ，又， ， ， ， ，，， ， ． 故选：． 例3（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在等腰中，，，垂足为，动点、分别在底边、腰上（点不与点、重合），且．当是以为腰的等腰三角形，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解决问题的关键． 由等腰三角形性质，结合题意可分两种情况：①；②；先讨论①，结合等腰三角形性质、外角性质，判定此种情况不存在；再讨论②，由等腰三角形的性质、外角性质得到相关角度及线段相等，再由两个三角形全等的判定与性质求出，最后结合等腰三角形三线合一得到，最后数形结合表示出代值求解即可得到答案． 【详解】解：当是以为腰的等腰三角形，则分两种情况：①；②， 当①时，， ， ， 在等腰中，，则， ， 是的一个外角， ，与矛盾，即此种情况不存在； 当②时， 是的一个外角， ， ，， ， 在等腰中，，则， 在和中， ， ， 在等腰中，，，垂足为，则由等腰三角形三线合一性质可得是等腰底边上的中线， ， ； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形，则的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解决问题的关键． 例4（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是 cm． 【答案】 【分析】因为是的垂直平分线，所以，则，连接交于点，连接，此时值最小，即周长最小，最小值为，根据等腰三角形三线合一可知是的高，利用三角形面积可求出长，则题目可解． 【详解】解：∵，为边的中点， ∴， 若周长最小，只需最小， 是的垂直平分线， ， ， ∴连接交于点，连接，此时值最小等于， 为边的中点，， ， ，面积是， ， 周长最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解题的关键． 例5（25-26八年级上·广西防城港·期中）【探究与证明】在中，，． 【特例求解】（1）如图①，如果，是上的高，求的大小，完成以下填空． 解：，， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． （2）如图②，如果，是上的高，，则________ 【探究规律】（3）通过以上两题，你发现与之间有什么数量关系？用式子表示为：________________． 【拓展延伸】（4）如图③，如果不是上的高，请与是否还存在上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 【答案】（1）（2）20；（3）；（4）存在，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形的外角等知识， （1）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出； （3）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出， （4）根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理可以得到，故只需证明即可证得结论． 【详解】解：（1），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， 故答案为：； （2），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， 故答案为：20； （3），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， （4）仍成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【详解】解：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴．故选：A． 例2（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，于点于点，点是中点，若，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，如图， ，，， 点是中点，， ，，，， ，，，故答案为： ． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，，∴， 由折叠性质可得，∴，∴，∴是等腰三角形； （2），理由：如图，∵，∴． ∵平分，∴，∴，∴． ∵，∴．∵平分，∴， ∴，∴，∴； （3），理由：如图，延长、交于点F． ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴．故答案为：． 1．（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，在中，，直线是的对称轴，点到点的距离为，点到直线的距离是，的周长为，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，根据折叠的性质得到，再由，的周长，从而可得． 【详解】解：∵直线是的对称轴， ， ∵，的周长， ∴， 则点到直线的距离是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，D是的中点，，，交于F，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的定义与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合D是的中点，，得，根据，，故，证明，得，，即，再证明，则，，即可作答． 【详解】解：依题意，连接，如图所示： ∵D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 过作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，边的垂直平分线相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，等边对等角， 先根据线段垂直平分线的性质定理得，进而得出，再根据三角形内角和定理得，然后求出，最后根据求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称求最短距离，垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高，利用轴对称和垂线段最短将线段和的最小转化为线段是解题的关键． 延长至点，使得，利用轴对称和垂线段最短说明 当时，有最小值，为的长，再利用等面积法求的长． 【详解】延长至点，使得，连接，，，如下图所示： 又， 垂直平分， ， ， 当，D，E三点共线时，等号成立， 当时，有最小值，即有最小值，为的长． 当时，由得， ， 解得， 综上可知，的最小值为． 故选：D． 8．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 首先根据，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：如图所示，连接交于点G， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 9．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，，点E为边上的定点，，，，，点P，F分别为线段上的动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，得，则，所以，由垂线段最短可知，当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， 当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为， ， ， ， 故答案为： 10．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形面积公式可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长，即当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，， ∵等腰三角形的底边长为4，点D为底边的中点， ∴，， ∵等腰三角形的面积是14， ∴，即， ∴， ∵腰的垂直平分线分别交，于点E、F， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，为， 即的周长的最小值为， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解． 【详解】解：如图，过作交于， 是等边三角形， ， ， ，，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，是解题的关键． 过点A作于点D，证明，得，即得． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示． ∵等腰中，， ∴，． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，，点在边上且刚好落在垂直平分线上，点在边上，且，连接，已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过构造全等三角形和利用垂直平分线的性质来建立线段之间的关系． 延长交的延长线于，连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再证明，结合垂直平分的性质，进而求出的长度． 【详解】如图： 延长交的延长线于，连接， ∵点在的垂直平分线上， ， ， ， ∵点是中点， ， ， ， ， 垂直平分， ， ． 故答案为：3． 14．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 由线段垂直平分线的性质，可得线段长度相等，从而可得角相等，根据三角形外角的性质，进行角之间的运算即可． 【详解】解：如图，连接并延长，点为延长线上的一点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连结，设，根据线段垂直平分线的性质可逐步求得，，，再计算，即可求得答案． 【详解】解：连结， 设，则，， 垂直平分， ，， ，， ， ， 的周长为． 故答案为：32． 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定． 利用等腰三角形的三线合一求出，再求出即可解决问题． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·四川南充·一模）如图，是等边三角形中边延长线上一点，是边上一点，．若，则这个等边三角形的边长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三线合一，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，作于，三线合一得到，等边三角形的性质结合含30度角的直角三角形的性质求出，再根据，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：作于，则：， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴． ∴， ∵， ． ∴； ．即等边三角形的边长为； 故答案为：． 19．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，，点E在上，． (1)求证：； (2)若．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出，进而证明是解题的关键； （1）由，推导出，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，而，根据等腰三角形的“三线合一”得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ． （2）证明：由（1）问可知， ， 在等腰中， ． 20．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定定理，所对的直角边等于斜边的一半，正确理解题意并灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）先用证明，再用全等三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）利用全等三角形的性质以及直角三角形两锐角互余证明，再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：， ． 在和中， ， ， ． 又， ，， 垂直平分． （2）解：由（1）得， ． ， ． ，， ， ． ， ， ， ． 21．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·福建·阶段练习）已知在中，，点在边上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若于点． ①求证：； ②探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据等边对等角得，根据三角形内角和定理可得，即可得证； （2）根据（1）的结论及三角形内角和定理得，再根据直角三角形两锐角互余得，即可得证； ②如图，在上取点，使，证明得，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：． 理由：如图，在上取点，使， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点P．若，． (1)求证：平分； (2)如图，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形外角性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平分，则，由外角性质可得，，则有，从而求证； （）连接，过点作于，证明，则，，再证明，故有，通过即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接，过点作于， 由（）可知平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）【教材呈现】 (1)如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边上的中线．写出图1中的一个等量关系 ． 【尝试感悟】 (2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在中，是的中点，求上的中线的取值范围．于是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到E，使，请完成证明“”的推理过程． ①求证：． ②求的取值范围． 【问题解决】 (3)如图3，在中，是的中线，，且，求长． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)6 【分析】本题主要考查了中线的定义，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的性质和判定，构造全等三角形来解决中线的取值范围和求解线段长度的问题，构造辅助线是解本题的关键． （1）根据中线的定义求解即可． （2）①利用已知条件证明即可；②根据三角形三边关系可得，再用全等三角形的性质可得的取值范围． （3）延长交的延长线于F，求证，可得出，再利用垂直平分线的性质即可求得的长． 【详解】（1）解：是的边上的中线， ， 故答案为：； （2）①由（1）可得， 在和中， ， ， ②， ， 在中，， 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， 即， ， ， ； （3）延长交的延长线于F，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ． 25．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 26．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为（    ） A．16 B．24 C．28 D．30 例2（25-26八年级上·上海·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（    ）． A． B． C． D． 例3（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．若，，则的度数为 ． 例4（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 例5（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 例2（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，为边上一点，连接，且，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在等腰中，，，垂足为，动点、分别在底边、腰上（点不与点、重合），且．当是以为腰的等腰三角形，则的长度为 ． 例4（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是 cm． 例5（25-26八年级上·广西防城港·期中）【探究与证明】在中，，． 【特例求解】（1）如图①，如果，是上的高，求的大小，完成以下填空． 解：，， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． （2）如图②，如果，是上的高，，则________ 【探究规律】（3）通过以上两题，你发现与之间有什么数量关系？用式子表示为：________________． 【拓展延伸】（4）如图③，如果不是上的高，请与是否还存在上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 例2（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，于点于点，点是中点，若，则的长是 ． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 1．（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，在中，，直线是的对称轴，点到点的距离为，点到直线的距离是，的周长为，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，D是的中点，，，交于F，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，边的垂直平分线相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 6．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，，点E为边上的定点，，，，，点P，F分别为线段上的动点，则的最小值是 ． 10．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 13．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，，点在边上且刚好落在垂直平分线上，点在边上，且，连接，已知，则 ． 14．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ． 15．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 18．（2025·四川南充·一模）如图，是等边三角形中边延长线上一点，是边上一点，．若，则这个等边三角形的边长是 ． 19．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，，点E在上，． (1)求证：； (2)若．求证：． 20．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 21．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（25-26八年级上·福建·阶段练习）已知在中，，点在边上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若于点． ①求证：； ②探究线段之间的数量关系，并说明理由． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点P．若，． (1)求证：平分； (2)如图，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 24．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）【教材呈现】 (1)如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边上的中线．写出图1中的一个等量关系 ． 【尝试感悟】 (2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在中，是的中点，求上的中线的取值范围．于是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到E，使，请完成证明“”的推理过程． ①求证：． ②求的取值范围． 【问题解决】 (3)如图3，在中，是的中线，，且，求长． 25．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 26．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $