高效同步练习15.4 等腰三角形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（沪科版2024）

+BG OD+AG OF-x2x(AB+BCAC)=12 13.(1)解：如图，DE即为所求 B EC (2)证明：.·DE⊥BC.,.∠DEB=∠DEC=90°，.∠B+∠BDE =90°.∠C+∠CFE=90",",∠B=∠C,∴.∠BDE=∠CFE. ∠CFE=∠AFD,.∠BDE=∠AFD. 高效同步练习15,4等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质定理」及推论 1.D 2.C【解析】设等腰三角形的麻角为x,顶角为30°+x,根据题 意，得2x+30°+x=180°，解得x=50°，故逃C 3.A4.C5.A6.70°或55 7.A 8.B【解析】延长ED交AG于，点F.△ABC是等腰三角形 ∠ABC=I20°，AB∥DE,∴.∠BAC=∠DF℃=30°.，∠CDE= ∠DFC+∠FCD,∠CDE=78°，.∠FCD=78°-30°=48°，. ∠ACD=48.故选B. 9,证明：，AD是BC的垂直平分线.∴，AB=AC,BD=CD,∴，∠ABC =∠ACB.∠DBC=∠DCB.∴.∠ABD=∠ACD. 第2课时等腰三角形的性质定理2 1.c 2.C【解析】：AC=BC,∠A=40°，.∠B=∠A=40°，∴.∠ACB= 180°-40°-40°=100°：AC=BC,点D是AB边上的中点 .∠ACD= 2∠ACB=50.DE∥AC,.LCDE=∠ACD=50, 故选C. 3.轴对称对称：轴4.等腰三角形的三线合一 5.解：BE=AE,∠BAD=∠ABE=259.,AB=AC,点D为BC 边的中点.÷AD平分∠BAC,,∠BAC=2∠BAD=50° 6.B7.558.4 9.解：(1)连接AE.EF重直平分AB,.AE=BE.,BE=AC. .AE=AC.:D是EC的中点，∴AD⊥BC (2)设∠B=x.,AE=BE,.∠BAE=∠B=x,∠AEC=2x ,AE=AC.∴.∠C=∠AEC=2x°，3x9+759=180°.解得x=35., ∠B=35°. 第3课时等腰三角形的判定 1.B2.C 3.B【解析】·等边三角形ABC的周长为6，：.BC=2*E,F是 边BC上的三等分点，.BC=3EF=2..ED∥AB,FD∥AC,. ∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60P.+,△DEF是等边三角 形，一Cawn=3EF=2故选B. 4.185.A 6.解：(1)25115小 (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE.理由如下：*∠ADC=∠B+ ∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CIDE,∠B=∠ADE=40°，·∠BAD= ∠CDE.且AB=GD=2,∠B=∠C=40°.∴.△ABD≌△DcE (A5A). (3)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA=I10°或80°. 【解析】若AD=DE时.，AD=DE,∠ADE=40°，∴.∠DEA= ∠DAE=70°，·∠DEA=∠C+∠EDC.:.∠EDC▣30°，.∠BDA =180°-∠ADE-∠EDC=180°-40°-30°=1I0:若AE=DE时. ,AE=DE,∠ADE=40°，∴.∠DAE=40°，∴.∠AED=I00°. ∠DEM=∠C+∠EDC.∠EDC=60°，.∠BDA=180°-∠ADE ∠EDC=180°-40°-60°=80°.若AD=AE时.·∠ADE=40° ∠AED=40°，此时点D与点B重合，不符合题意，金去.然上所 述：当∠BDA=80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三 角移， 第4课时含30角的直角三角形的性质定理 1.C2.C3.D4.2 5.:,AB=AC,∠BAC=120,.∠B=∠C=30°.：AE⊥AB.AE =3em,.BE=2E=6m,∠EAC=30°，.∠C=∠EAC=30°， AE=EC,BC=BE+EC=6+3=9(cm). 6.B【解析】由题意可知DE垂直平分BC,∴，BE=EC=2,∠B= ∠ECD=30P,∠BDE=∠CDE=90°.，·CE平分∠ACB,.∠ACB =2∠ECD=60°，∠A=90°，∠ACE=30,AE=2CE=1.故 78 同步练可，精练高效机考 远B. 7.B【解析】.：AB=AC.∠BAC=120°.∴，∠B=∠C=30°，，DE 1AB,DF⊥AC,毫是为E,F,DE=2BD,DF=2DC,DE+ 8.(1)证明：△ABC为等边三角形，∠C=∠CAB=∠ABC= 60°，AB=AC,在△ABE和△CAD中，AB=CA,∠BAE=∠C.AE= CD.∴.△ABEe△CAD(SAS),∴.BE=AD. (2)解：由(1)知△ABE≌△CMD,∴.AD=BE.∠ABP=∠DAE .∠BPQ=∠ABP+∠BAD=∠BAC=60°.：BQ⊥AD,∠BQ =90°，∴.∠PBQ=30,BP=2PQ=6.PE=1,AD=BE=6+ 1=7. 专题利用轴对称解决最值问题 1.C2.B 3.解：(I)CB'C'B'AB三角形中任意两边的和大于第三边 (2)6 专题等腰三角形中的数学思想 1.解：(I)由折叠的性质可知.DA=DB,.△ACD的周长为DA+ DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14cm: (2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.DA=DB..∠B=∠BAD= 2x,在R1△ABC中，∠B+∠BAC=90°，即2x+2x+x=90°，x= 18°，∠B=2x=36 2.解：设∠EBD=x°.，BE=DE,∴∠EDB=∠EBD=x°，，∠EBD +∠EDB+∠BED=180°，∠BED+∠AED=I80°，AD=DE,.∠A =∠AED=2x°.，：∠A+∠ABD+∠ADB=180P.∠BDC+∠ADB= 180°，.∠BDC=∠A+∠ABD=3x°.BD=BC,.∠BDC=∠C =3x”.“,AB=AC,∴.∠ABC=∠C=3x°.在△ABC中.2x+3x+3x =180,解得x=22.5,∴.∠A=2x°=45°. 3.D 4.D【解析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时.等腰 △4BC的周长为20，.它的底边长为20-8-8=4，∴.它的“优 美比”= 82:当等腰三角形的底边长为8时.：等腰△4BC 41 的网类为20它的降长为了×(20-8)=6六它的化关比 为8.4 名子：综上所运：它的~化关比为了故选D 5.B【解析】本题可分两种情况：①当70°为等腰三角移的底角 时，顶角为180°-2×70°=40°：270°为等腰三角形的顶角：固比 这个等腰三角形的项角为40或70°.故选B 【变式】B【解析】当∠A为顶角，六∠B=180°∠4 2 180°-80 -=50°：当∠B是项角，则∠A是底角，则∠B=180°- 2 80°-80°=20°：当∠C是项角，则∠B与∠A都是底角，则∠B= ∠A=80°.棕上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，故选B. 6.82 专题特殊三角形中常用辅助线的作法 1.A AB=AE. 2.证明：连接AC,AD,在△ABC和△AED中， ∠ABC=∠AED., (BC=DE. △ABC≌△AED(SAS),÷.AC=AD.点F是CD的中点，∴.AF ⊥CD. 3证明：作EF LAC于点FBA=EC,A=FC=2AC.AC= 2AB.:∴.AF=AB..AD平分∠BAC..∠BAD=∠C4D.在△BAE (AB=AF 和△FAE中， ∠BAD=∠CAD,△ABE≌△AFE(SAS), AE=AE ∠ABE=∠AFE=90°.∴.EB⊥AB 4.4cm3 5.解：延长BA、CD交于点M.,∠ADC=120°，∴.∠ADM=60°. ∠C=30°，∠B=90°，∠BMC=60°，∴.△ADM是等边三角形 设AD=AM=DM=x,,CM=8+x,BM=2+x,在Rt△BCW中 ∠C=30°，CM=2BM,.8+x=2(2+x),解得x=4,∴.AD=4 追梦第15章章末复习轴对称图形与等腰三角形 1.B2.D3.B4.C ZK人年级数学上册高效同步练习15 第1课时等腰三角于 知识点①等边对等角 1.(4分)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底 角度数为(） A.40° B.50° C.60 D.70° 2.(4分)已知等腰三角形中，顶角比底角大 30°，则底角的度数为() A.70° B.60° C.50° D.409 3.(4分)如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC, 垂足为D,若∠A=50°，求∠DBC的度数 为( ) A.25° B.30 C.40° D.50 知识点②等边三角形的性质 4.(4分)如图，△ABC是等边三角形，高BD与 CE交于点O,则∠BOC等于() A.60° B.90° C.120° D.150° 第4题图 第5题图 5.(4分)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂 足为D,点E在线段AD上，∠EBC=45°，则 ∠ACE等于() A.15 B.30 C.45o D.60° 易错点未进行分类讨论致错 6.(5分)如果等腰三角形的一个角是70°，那么 它的底角是 60 15分钟同步练习，精炼高效圳 4等腰三角形 的性质定理1及推论 7.(4分)如图所示，借助“三等分角仪”能将任 意角三等分.这个三等分角仪由两根有槽的 棒OA,OB组成，两根棒在点O处相连并可以 绕点O旋转，已知点C固定，OC=CD=DE,点 D,E可在槽中滑动，若∠BDE=102°，则∠O 的度数是( A.34° B.51° C.25.5 D.17° DE 0 B 第7题图 第8题图 8.跨学科试题·生物(4分)如图，螳螂亦称刀 螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意 图中，AB∥DE.△ABC是等腰三角形，∠ABC= 120°，∠CDE=78°，则∠ACD的度数为() A.32° B.48° C.44° D.30 9.(8分)如图，已知AD所在直线是BC的垂直 平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求 证：∠ABD=∠ACD 考点BK人年领数学上册 第2课时等腰 知识点三线合一 1.(4分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, 垂足为点D,且BC=6cm,则BD=(） A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm E 第1题图 第2题图 2.(4分)如图，在等腰△ABC中，AC=BC,点D 是AB边上的中点，DE∥AC,交BC于点E.若 ∠A=40°，则∠CDE的度数是() A.40° B.35° C.50° D.45° 3.(5分)等腰三角形是 图形，顶角平分 线（或底边上的高线或中线）所在的直线是它 的 4.生活情境·测平架(5分)如 图，在三角测平架中，AB=AC, 在BC的中点D处挂一重锤， 让它自然下垂.如果调整架身，使重垂线正好 经过点A,那么就能确认BC处于水平位置， 这种做法依据的数学原理是 5.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC 边的中点，连接AD,E为AD上一点，连接BE. 若∠ABE=25°，BE=AE,求∠BAC的度数. 15分钟同步练习，精炼高效胡 角形的性质定理2 6.(4分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, AD是边BC上的高，则下列结论不正确的 是() A.BD=CD B.∠BAC=∠ABC C.AD平分∠BAC D.SAABD=SAACD 7.(5分)如图，在△ABC中，AB=AC.分别以点B 和点C为圆心，大于，BC的长为半径画弧，两 弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若∠BAC =110°，则∠BAE的大小为 度 B B 第7题图 第8题图 8.(5分)如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,AD 平分∠BAC,AE=2EC,若△ABD的面积是12， 则△CDE的面积是 9.(10分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线 EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE 的中点，BE=AC. (1)求证：AD⊥BC (2)若∠BAC=75°，求∠B的度数. 第5章 考点BK八年级数学上册 61 第3课时 等月 知识点①等腰三角形的判定 1.(4分)如图，在直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC,点D为BC上一点，AB=BD,DE ⊥BC,交AC于点E,则图中的等腰三角形的 个数有( A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 第1题图 第2题图 2.(4分)（毫州期末）如图，在△ABC中，BD⊥ AC,∠A=50°，∠CBD=25°，若AC=5cm,则 AB=(） A.2.5 cm B.4 cm C.5 cm D.10 cm 知识点②等边三角形的判定 3.学习情境·动手操作(4分)如图，等边三角形 纸片ABC的周长为6，E,F是边BC上的三等 分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方 向各剪一刀，则剪下的△DEF的周 长是() A.1 B.2 C.3 D.4 图1 图2 第3题图 第4题图 4.生活情境·衣架(5分)（淮安期中）由于木质 衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便 操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易 收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架 杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时，∠AOB= 60°，如图2，则此时A,B两点之间的距 离是 cm 62 15分钟同步练习，精炼高效细 要三角形的判定 5.(4分)（蚌埠期末）如图，D为△ABC内一点， CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为点D,交AC 于点E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的 长为() A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 6.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B= ∠C=40°，点D在线段BC上运动(D不与B, C重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段 AC于点E. (1)当∠BDA=115°时，∠EDC= ∠DEC= °，点D从B向C运动时， ∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”)； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE,请说 明理由： (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以 是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数.若不可以，请说明理由。 B40240 D 考点BK人年领数学上 第4课时 含30°角的直角三角形的性质定理 知识点含30°角的直角三角形 6.(4分)如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂 1.(4分)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点 直平分线交AB于点E,垂足为点D,CE平分 D为AB边的中点，DE⊥BC于E,若BE=1,则 ∠ACB.若BE=2,则AE的长为(） AC的长为() B.1 C. D.2 A.2 B.3 C.4 D.5 .2 B方 第6题图 第7题图 第1题图 第2题图 2.生活情境·钢架(4分)如图，一辆货车，为了 7.生活情境·钢架(4分)如图所示是“人字形” 钢架，其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°，跨 方便装运货物，使用了三角形钢架，已知 度BC=8m,AD为支柱（即底边BC的中线） ∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=1.4m则AB的 两根支撑架DE⊥AB,DF⊥AC,则DE+DF等 长为( )m. 于() A.1.4 B.0.7 C.2.8 D.2.4 A.8m B.4 m 3.(4分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 15°，DE垂直平分AB,交BC于点E,若AE= C.2 m D.7.5m 6cm,则AC=( 8.(8分)如图，△ABC为等边三角形，AE=CD, AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3, A.6 cm B.5 cm C.4cm D.3 cm PE=1. (1)求证：BE=AD: (2)求AD的长 第3题图 第4题图 4.(5分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 30°，AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1, 则BD= 5.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,AE⊥AB交 BC于E,∠BAC=120°，AE=3cm,求BC的长. 第5章 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBK八年级数学上册 63