专题15.3 角的平分线（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦角的平分线核心知识点，从定义出发，通过性质定理与逆定理构建双向逻辑关系，结合尺规作图原理（基于全等三角形）及三角形内心性质，形成从基础识别到综合应用的学习支架，衔接全等三角形与轴对称知识脉络。 该资料突出几何直观与推理能力培养，如用“见角平分线想双垂线”口诀强化垂线段识别（数学眼光），尺规作图原理推导培养严谨推理（数学思维），实际应用题型（如凉亭选址）提升应用意识（数学语言）。课中即学即练助教师高效授课，课后分层变式题帮学生查漏补缺。

专题15.3 角的平分线 教学目标 1.理解角平分线的定义，掌握角平分线的基本几何特征，明确角是轴对称图形且对称轴为角平分线所在直线，能准确识别图形中的角平分线。 2.经历角平分线性质定理的探究、猜想与证明过程，掌握角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，能熟练运用文字语言与几何符号语言规范表述定理内容。 3.掌握角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，理解定理与逆定理的双向逻辑关系，明晰两个定理的适用条件与推导逻辑。 4.熟练掌握尺规作已知角平分线的作图方法，规范作图步骤，准确保留作图痕迹，结合全等三角形理解尺规作图的原理，能独立完成标准作图。 5.掌握三角形三条角平分线的性质，知晓三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边距离相等，理解内心的几何意义与基本特征。 6.能结合三角形、全等三角形、轴对称等知识，综合运用角平分线性质解决折叠、几何推理等基础综合题型，培养数形结合与严谨的逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握角平分线的性质定理与逆定理，能规范运用定理进行几何计算与推理证明； （2）掌握尺规作图的标准步骤与作图原理，规范保留作图痕迹； （3）掌握三角形内心的性质，能运用内心特征解决基础几何问题。 2. 难点 （1）准确识别“点到角两边的距离”特指垂线段长度，区分垂线段与斜线段的本质差异； （2）理解尺规作图的几何原理，结合全等三角形完成原理推导，杜绝机械记忆作图步骤； （3）在复杂图形、折叠变换、多结论题型中挖掘角平分线隐含条件，综合串联几何知识完成多步严谨推理。 知识点01 尺规作图 1.已知∠AOB，作∠AOB的平分线。 作法：①如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N； ②如图（2），分别以点M，N为圆心，以大于长为半径在角的内部作弧，两弧交于点P； ③如图（3），作射线OP，则OP即为所求。 2.已知直线，且点在直线上，过点作直线的垂线。 作法：作平角的平分线，直线即为所求（如下图（1））。 3.已知直线，且点在直线外，过点作直线的垂线。 作法：①任意取一点，使点与点分别在直线两侧； ②以为圆心，长为半径画弧，交直线于两点； ③分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点； ④连接直线，就是所求垂线（如下图（2））。 4.已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如下图（1）），求作这个等腰三角形。 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形。 【即学即练】 1．如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 2．如图，已知，利用尺规作图作出的边上的高． 3．已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形．如图，已知线段a和h．求作：等腰三角形，使，高． 知识点02 角平分线的性质 1．角平分线的性质定理： 。 【即学即练】 1．如图，在四边形中，平分，．若，，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为__________． 3．已知于，于，、相交于点，平分．求证：． 知识点03 角平分线的判定 1．角平分线的判定定理： 。 2.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离 。 【即学即练】 1．如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 题型01 利用角平分线的性质求长度 【典例1】如图，是中的平分线，交于点，交于点，若， 则（       ） A．4 B．9.6 C．4.8 D．11.5 （1）解题固定套路：题干出现角平分线+点在平分线上+作垂线，直接得出两条垂线段长度相等，无需证全等； （2）辅助线口诀：见角平分线，想双垂线。遇求线段长度，优先向角的两边作垂直，构造等距线段； （3）适用场景：已知一条垂线段长度，求角平分线上点到另一边的垂线段长度，直接等量代换秒解。 【变式1】如图所示，在中，为的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，平分交于点，，，则点到的距离为_______． 【变式3】如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 题型02 利用角平分线的性质求面积 【典例1】如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【典例2】如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 拆分大图形为两个以角平分线为公共边的三角形，利用等高特征结合底边长求面积。 【变式1】如图，在中，是角平分线，，，．设和的面积分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，平分，，，若的面积等于6，则的面积为_____． 【变式3】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，平分，，，若的面积等于6，则的面积为_____． 【变式4】如图所示，点O是的角平分线和的交点，，，，求的面积是多少？ 题型03 角平分线性质的实际应用 【典例1】如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 将生活测距、选址问题转化为角平分线几何模型，利用角内到两边等距点在角平分线上解题。 【变式1】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．三条中线的交点位置 B．三条角平分线的交点位置 C．三条高的交点位置 D．三边的垂直平分线的交点位置 题型04 角平分线的证明 【典例1】如图，，交的延长线于点，，于点，且．求证：是的平分线． 过点向角两边作双垂线→证明两条垂线段长度相等→判定该点在角平分线上→证得角平分线。 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别是边，延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 【变式2】如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 题型06 角平分线的性质与判定综合 【典例1】如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【典例2】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，且平分，过点作于点． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式1】如图，的两个外角和的平分线，相交于点P，作射线，过点P作，，垂足分别是点C，D，则下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的有____________． 【变式2】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 【变式3】如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 题型07 尺规作图 【典例1】如图，已知和直线，请使用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示，已知及边上两点和，用直尺和圆规在的角平分线上求作点，使得是以为腰的等腰三角形，找到所有的点，不写作法，保留作图痕迹 【变式3】如图，在中，是它的高，点E是线段上一点，请用尺规作图法作直线，使得交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在直角三角形中，，，点是边上的点． (1)尺规作图：在边上求作点，使得点关于直线的对称点在射线上，并作出点（保留作图痕迹，不写作法）： (2)在（1）的条件下，若，则_____________． 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 3．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 7．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，平分，D是的中点，于点E，于点F．    (1)求证： (2)求证：． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，与交于点，点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（    ） A．、是的内角平分线 B．也是的一条内角平分线 C． D．点O到三边的距离相等 2．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）如图，已知，，平分，，则与的关系为__________． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，是中边上的高． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 4．（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 5．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 6．（25-26八年级下·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． (1)如图①，若于点，于点．求证：； (2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 7．如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.3 角的平分线 教学目标 1.理解角平分线的定义，掌握角平分线的基本几何特征，明确角是轴对称图形且对称轴为角平分线所在直线，能准确识别图形中的角平分线。 2.经历角平分线性质定理的探究、猜想与证明过程，掌握角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，能熟练运用文字语言与几何符号语言规范表述定理内容。 3.掌握角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，理解定理与逆定理的双向逻辑关系，明晰两个定理的适用条件与推导逻辑。 4.熟练掌握尺规作已知角平分线的作图方法，规范作图步骤，准确保留作图痕迹，结合全等三角形理解尺规作图的原理，能独立完成标准作图。 5.掌握三角形三条角平分线的性质，知晓三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边距离相等，理解内心的几何意义与基本特征。 6.能结合三角形、全等三角形、轴对称等知识，综合运用角平分线性质解决折叠、几何推理等基础综合题型，培养数形结合与严谨的逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握角平分线的性质定理与逆定理，能规范运用定理进行几何计算与推理证明； （2）掌握尺规作图的标准步骤与作图原理，规范保留作图痕迹； （3）掌握三角形内心的性质，能运用内心特征解决基础几何问题。 2. 难点 （1）准确识别“点到角两边的距离”特指垂线段长度，区分垂线段与斜线段的本质差异； （2）理解尺规作图的几何原理，结合全等三角形完成原理推导，杜绝机械记忆作图步骤； （3）在复杂图形、折叠变换、多结论题型中挖掘角平分线隐含条件，综合串联几何知识完成多步严谨推理。 知识点01 尺规作图 1.已知∠AOB，作∠AOB的平分线。 作法：①如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N； ②如图（2），分别以点M，N为圆心，以大于长为半径在角的内部作弧，两弧交于点P； ③如图（3），作射线OP，则OP即为所求。 2.已知直线，且点在直线上，过点作直线的垂线。 作法：作平角的平分线，直线即为所求（如下图（1））。 3.已知直线，且点在直线外，过点作直线的垂线。 作法：①任意取一点，使点与点分别在直线两侧； ②以为圆心，长为半径画弧，交直线于两点； ③分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点； ④连接直线，就是所求垂线（如下图（2））。 4.已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如下图（1）），求作这个等腰三角形。 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形。 【即学即练】 1．如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图，即为所求． 2．如图，已知，利用尺规作图作出的边上的高． 【答案】 解：即为所求 【分析】以点为圆心，适当的长度为半径画弧，确保与对边有两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于它们距离的一半为半径，在的另一侧画弧相交，最后连接点与两弧的交点，即可求解． 【详解】略 3．已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形．如图，已知线段a和h．求作：等腰三角形，使，高． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图－作线段的垂直平分线以及作线段，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的步骤． 先作射线，在射线上截取，作线段的垂直平分线，交于点，在上方的垂直平分线上截取，则等腰三角形即为所求． 【详解】解：如图，等腰三角形即为所求： 知识点02 角平分线的性质 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 【即学即练】 1．如图，在四边形中，平分，．若，，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点， 又 平分，， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积． 过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ， ，， ， ， ． 故答案为：3． 3．已知于，于，、相交于点，平分．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质应用．根据角平分线性质（角平分线上的点到角的两边的距离相等）求出，根据推出，即可证明． 【详解】证明：∵平分， ， 在和中， ， ， ． 知识点03 角平分线的判定 1．角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。 【即学即练】 1．如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质和判定，过P作于Q，由中点得，结合角平分线的性质得，则，即可判定平分． 【详解】证明：过P作于Q，如图， ∵P是的中点， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 题型01 利用角平分线的性质求长度 【典例1】如图，是中的平分线，交于点，交于点，若， 则（       ） A．4 B．9.6 C．4.8 D．11.5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：是的平分线，，， ， ， ， ． 故选：． （1）解题固定套路：题干出现角平分线+点在平分线上+作垂线，直接得出两条垂线段长度相等，无需证全等； （2）辅助线口诀：见角平分线，想双垂线。遇求线段长度，优先向角的两边作垂直，构造等距线段； （3）适用场景：已知一条垂线段长度，求角平分线上点到另一边的垂线段长度，直接等量代换秒解。 【变式1】如图所示，在中，为的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，利用相等的线段是解答本题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，从而求得的长． 【详解】解：，为的平分线，， ， 又， ． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，平分交于点，，，则点到的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于E，先根据题意求出，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作于E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 即D到的距离为， 故答案为：4． 【变式3】如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，求得，从而得到P到的距离． 【详解】解：在的平分线上，于点，于点， ， ， ， 点到射线的距离是线段的长，是1． 题型02 利用角平分线的性质求面积 【典例1】如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键；根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：过P作于E ， 平分，，， ， 的面积为， 故选：． 【典例2】如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 【答案】15 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解． 【详解】解：过点作于，如图所示： 平分交于，， ， ， ． 拆分大图形为两个以角平分线为公共边的三角形，利用等高特征结合底边长求面积。 【变式1】如图，在中，是角平分线，，，．设和的面积分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求出的值，即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，是角平分线， ， ，． ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，平分，，，若的面积等于6，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过D作于E，于F，由面积可求得，根据角平分线的性质可求得，即可求得的面积． 【详解】解：过D作于E，于F， ∵， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，平分，，，若的面积等于6，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过D作于E，于F，由面积可求得，根据角平分线的性质可求得，即可求得的面积． 【详解】解：过D作于E，于F， ∵， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式4】如图所示，点O是的角平分线和的交点，，，，求的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据题意得到点O到的距离均，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是的角平分线和的交点，，，， ∴点O到的距离均， ∴． ∴的面积是． 题型03 角平分线性质的实际应用 【典例1】如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 将生活测距、选址问题转化为角平分线几何模型，利用角内到两边等距点在角平分线上解题。 【变式1】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式2】如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．三条中线的交点位置 B．三条角平分线的交点位置 C．三条高的交点位置 D．三边的垂直平分线的交点位置 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 题型04 角平分线的证明 【典例1】如图，，交的延长线于点，，于点，且．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，首先利用证明，根据全等三角形的性质可证，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立． 【详解】证明：，， ， 在和中，， ， ， 是的平分线． 过点向角两边作双垂线→证明两条垂线段长度相等→判定该点在角平分线上→证得角平分线。 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别是边，延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键．过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点，根据角平分线的性质得到，则，再根据角平分线的判定进行证明即可． 【详解】解：过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵于点，于点 ∴平分． 【变式2】如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：，， 在和中 ， ∴ ， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明 ，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】略 【变式3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定、等角对等边等知识，证明是关键．证明，得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵，， ∴是的平分线， 即平分． 题型06 角平分线的性质与判定综合 【典例1】如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． 作可通过角平分线的性质判断①；根据角平分线的判定判断②；利用和推得，，再根据即可判断③，综上即可得解． 【详解】解：作于点， 、分别平分、， 且、、， ，， ， 正确； 且、， 在的平分线上， 正确； 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 错误； 综上，正确． 故答案为：2． 【典例2】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，且平分，过点作于点． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平分，，，则，又为的中点，所以，则，然后通过角平分线的判定即可求证； （）由（）可知：，然后证明，所以，同理，然后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）证明：由（）可知：， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， 即． 【变式1】如图，的两个外角和的平分线，相交于点P，作射线，过点P作，，垂足分别是点C，D，则下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的有____________． 【答案】①②④⑤ 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点E，由角平分线的性质得，，所以，则点P在的平分线上，所以平分，可判断①正确；再根据“”证明，得，可判断②正确；假设成立，可根据“”证明，得，则，与已知条件不符，可判断③错误；再根据“”证明，得，，同理可证明，，则，可判断④正确；由，，得，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点E，则， ∵平分，平分，且于点C，于点D， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，即平分，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 假设成立，则有， ∴， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ， ∴，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 【变式2】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出； （3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，即，根据三角形外角的性质得到，即，则，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ； （3）解：∵点在的角平分线上， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴ ∵是的外角， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上性质． （1）作于点L，交的延长线于点M，由的平分线交于点E，于点H，得，而，求得，由，求得，则，则，所以，即可证明平分． （2）由，且，得，因为，所以，求得，而，则． 【详解】（1）证明：作于点L，交的延长线于点M， ∵点D在边延长线上，的平分线交于点E，于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为15． 题型07 尺规作图 【典例1】如图，已知和直线，请使用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求， 【分析】作的角平分线交直线于点，连接即可． 【详解】略． 【变式1】如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示，已知及边上两点和，用直尺和圆规在的角平分线上求作点，使得是以为腰的等腰三角形，找到所有的点，不写作法，保留作图痕迹 【答案】图见解析． 【分析】本题考查的知识点是作图-复杂作图，解题关键是熟悉基本几何图形的性质． 先作的平分线，接着以点为圆心，为半径画弧交角平分线于点、，然后以点为圆心，为半径画弧交角平分线于点． 【详解】解：如下图，点、、即为所作： 【变式3】如图，在中，是它的高，点E是线段上一点，请用尺规作图法作直线，使得交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线的作法，以点E为圆心，为半径画弧交于点G，然后作出的垂直平分线，交于点F即为所求． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 由作图得， ∵在中，是它的高， ∴ ∴． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在直角三角形中，，，点是边上的点． (1)尺规作图：在边上求作点，使得点关于直线的对称点在射线上，并作出点（保留作图痕迹，不写作法）： (2)在（1）的条件下，若，则_____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，作的平分线交于点E，以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点F，连接，即可； （2）首先求出，然后由得到，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； 由作图得，， 又∵ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴点F和点B关于对称； （2）解：∵ ∴ ∴ 由（1）得， ∴ ∵ ∴． 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解 【详解】解：作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积， 故选：B 3．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 【答案】/25度 【详解】解：由尺规作图可知是的角平分线， ． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）如图，射线即为所求． . 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 【详解】（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 7．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，平分，D是的中点，于点E，于点F．    (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据角平分线的性质解答即可； （2）证明，即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴； （2）证明：∵D是的中点， ∴ 由（1）得， ∵，， ∴ 在和中 ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，与交于点，点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（    ） A．、是的内角平分线 B．也是的一条内角平分线 C． D．点O到三边的距离相等 【答案】C 【分析】利用尺规作图的痕迹可得、是的内角平分线，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可得、是的内角平分线， 点到三边的距离相等，也是的一条内角平分线， 故C选项不正确，符合题意． 2．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）如图，已知，，平分，，则与的关系为__________． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得到，从而，由平行线的性质得到，由平分，得到，即可推导出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，是中边上的高． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)如图，线段就是所要求作的的角平分线． (2) 【分析】（1）根据尺规作一个角的平分线的基本作图方法，作图即可； （2）先根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：是中边上的高， ， ， ， ， ， 是的角平分线，， ， ． 4．（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 5．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【答案】证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 【详解】略 6．（25-26八年级下·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． (1)如图①，若于点，于点．求证：； (2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)证明：∵平分， 又∵，， ∴． (2)成立，证明如下; 如图，过点作于点，于点， ∵平分， 又∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）由角平分线的性质定理即可证明； （2）过点作于点，于点，利用角平分线的性质定理可得，容易计算出，由“同角的余角相等”可得，进而证明，因此． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 【详解】（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $