专题15.2 线段的垂直平分线（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦线段垂直平分线核心知识点，系统梳理定义、性质定理（垂直平分线上点到两端距离相等）、逆定理（到两端距离相等的点在垂直平分线上）、尺规作图方法及原理、三角形外心性质，形成从概念到应用的递进式学习支架。 该资料亮点在于注重定理的猜想验证过程，通过操作与证明培养推理能力，尺规作图结合全等解释原理发展几何直观，实际应用题（如充电桩位置）渗透模型意识。课中即学即练与题型分类助力高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题15.2 线段的垂直平分线 教学目标 1.理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线兼具垂直、平分线段的双重核心特征，能准确识别线段的垂直平分线，了解线段是轴对称图形且有两条对称轴。 2.经历线段垂直平分线性质定理的猜想、操作、验证与证明过程，掌握性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，能熟练运用文字语言与几何符号语言规范表述定理。 3.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，理解定理与逆定理的双向逻辑关系，明确二者的推导条件与适用场景。 4.掌握尺规作已知线段垂直平分线的作图方法，熟练规范作图步骤，准确保留作图痕迹，理解尺规作图的几何原理，能结合全等三角形解释作图依据。 5.理解线段垂直平分线的集合定义，明确线段垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合，初步体会几何集合思想。 6.掌握三角形三边垂直平分线的性质，知晓三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点距离相等，能运用该性质解决基础几何问题。 7.能灵活运用线段垂直平分线的定理与逆定理，进行线段相等证明、线段长度计算、角度推导，结合三角形、全等三角形知识解决简单几何综合问题，提升逻辑推理与数形结合能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握线段垂直平分线的性质定理与逆定理，能规范运用定理进行几何推理与计算； （2）掌握尺规作线段垂直平分线的标准步骤，理解作图原理并规范保留作图痕迹； （3）掌握三角形三边垂直平分线的交点性质，能运用外心特征解决基础几何题型。 2. 难点 （1）理清性质定理与逆定理的双向逻辑关系，区分“点在垂直平分线上”和“点到线段两端距离相等”的推导方向，避免定理混用； （2）理解尺规作线段垂直平分线的深层几何原理，结合全等三角形知识佐证作图合理性，摆脱机械记忆作图步骤； （3）在复杂图形、折叠题型中挖掘线段垂直平分线的隐含条件，串联几何知识完成多步递进推理； （4）灵活运用线段垂直平分线性质解决线段最值、动点类问题，实现线段关系的转化与建模。 知识点01 线段垂直平分线的性质 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 。 【即学即练】 1．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接．若，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 2．如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 知识点02 线段垂直平分线的判定 1.线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离 的点在这条线段的垂直平分线上。 2.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离 。 【即学即练】 1．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 2．已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 知识点03 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线。 作法： ①如图（1），分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②如图（2），作直线PQ，PQ就是线段AB的垂直平分线。 （3） （2） （1） 证明：由步骤（1）作法可知：AP=BP，AQ=BQ. ∵ 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ∴ P，Q两点都在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理） ∴ 直线PQ就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） 【即学即练】 1．如图，在等腰中，．利用尺规作的垂直平分线l．（保留作图痕迹，不要求写作法） 2．如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 题型01 三角形中线段垂直平分线的交点问题 【典例1】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 （1）核心定义：三角形三边垂直平分线的交点叫做外心，是三角形外接圆的圆心； （2）核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，即外心到A、B、C三点距离全部相等； （3）位置规律：锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部。 【变式1】近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【变式2】如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是_____． 题型02 利用线段垂直平分线的性质求长度 【典例1】如图，在中，直线为线段的垂直平分线，连接，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 点在垂直平分线上 → 直接出两条线段相等，无需再证全等，一步等量代换。 【变式1】如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【变式2】如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，如果，那么的长是多少？ 【变式3】如图，已知比小，的垂直平分线交于点E，交于点F，的周长为，求的长． 题型03 利用线段垂直平分线的性质求周长 【典例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 含垂直平分线的三角形周长，通过等线段替换，消去动态线段，周长最终等于固定两边之和。 【变式1】如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E．若，的周长为28，则的周长等于_________ ． 【变式2】如图，已知．的垂直平分线交于点E交于点F．连结，若，的周长为18，求的周长． 【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 题型04 线段垂直平分线的证明 【典例1】如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 先证两组线段相等 → 得两点在垂直平分线上 → 两点确定一条直线，证得垂直平分线。 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【变式2】如图，在中，，平分，于点E，求证：直线是的垂直平分线． 题型05 线段垂直平分线的性质与判定综合 【典例1】如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式1】如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式3】“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 【变式4】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型06 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【典例1】尺规作图：作线段的中垂线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【变式1】如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列选项正确的是(     ) A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【变式3】如图，在中，． (1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长． 【变式4】如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，的周长是17，F为直线上一动点，求周长的最小值． 1．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 4．（2026·湖南郴州·一模）如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，，则的长是___． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，用尺规作图的方式得到点，若的周长为9，，则___________． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 8．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，点D是上一点，，连接，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 9．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 10．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 1．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 3．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为______． 5．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，则的周长为______． 6．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 7．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 8．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.2 线段的垂直平分线 教学目标 1.理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线兼具垂直、平分线段的双重核心特征，能准确识别线段的垂直平分线，了解线段是轴对称图形且有两条对称轴。 2.经历线段垂直平分线性质定理的猜想、操作、验证与证明过程，掌握性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，能熟练运用文字语言与几何符号语言规范表述定理。 3.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，理解定理与逆定理的双向逻辑关系，明确二者的推导条件与适用场景。 4.掌握尺规作已知线段垂直平分线的作图方法，熟练规范作图步骤，准确保留作图痕迹，理解尺规作图的几何原理，能结合全等三角形解释作图依据。 5.理解线段垂直平分线的集合定义，明确线段垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合，初步体会几何集合思想。 6.掌握三角形三边垂直平分线的性质，知晓三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点距离相等，能运用该性质解决基础几何问题。 7.能灵活运用线段垂直平分线的定理与逆定理，进行线段相等证明、线段长度计算、角度推导，结合三角形、全等三角形知识解决简单几何综合问题，提升逻辑推理与数形结合能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握线段垂直平分线的性质定理与逆定理，能规范运用定理进行几何推理与计算； （2）掌握尺规作线段垂直平分线的标准步骤，理解作图原理并规范保留作图痕迹； （3）掌握三角形三边垂直平分线的交点性质，能运用外心特征解决基础几何题型。 2. 难点 （1）理清性质定理与逆定理的双向逻辑关系，区分“点在垂直平分线上”和“点到线段两端距离相等”的推导方向，避免定理混用； （2）理解尺规作线段垂直平分线的深层几何原理，结合全等三角形知识佐证作图合理性，摆脱机械记忆作图步骤； （3）在复杂图形、折叠题型中挖掘线段垂直平分线的隐含条件，串联几何知识完成多步递进推理； （4）灵活运用线段垂直平分线性质解决线段最值、动点类问题，实现线段关系的转化与建模。 知识点01 线段垂直平分线的性质 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 。 【即学即练】 1．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接．若，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质，得到，结合，的周长为13，即可求出的长度． 【详解】解：根据题意， ∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为13， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 2．如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 【答案】20 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后将的周长转化为即可． 【详解】解：∵为边的中垂线 ∴ ∵， ∴的周长． 知识点02 线段垂直平分线的判定 1.线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 2.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。 【即学即练】 1．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 2．已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】见详解 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上． 知识点03 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线。 作法： ①如图（1），分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②如图（2），作直线PQ，PQ就是线段AB的垂直平分线。 （3） （2） （1） 证明：由步骤（1）作法可知：AP=BP，AQ=BQ. ∵ 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ∴ P，Q两点都在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理） ∴ 直线PQ就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） 【即学即练】 1．如图，在等腰中，．利用尺规作的垂直平分线l．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的作法，根据线段垂直平分线的作法完成作图即可． 【详解】解：如下图，直线l即为所求作． 2．如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了简单作图垂直平分线，线段垂直平分线的性质．熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作垂直平分线的方法进行操作即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后等量代换的周长等于的长． 【详解】（1）解：如图： （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 题型01 三角形中线段垂直平分线的交点问题 【典例1】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． （1）核心定义：三角形三边垂直平分线的交点叫做外心，是三角形外接圆的圆心； （2）核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，即外心到A、B、C三点距离全部相等； （3）位置规律：锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部。 【变式1】近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理即可解答． 【详解】解：要使高铁站到A，B两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 要使高铁站到B，C两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 要使高铁站到A，C两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 所以高铁站应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【变式2】如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】解：如图所示， 点在，的垂直平分线上， 故答案为：． 题型02 利用线段垂直平分线的性质求长度 【典例1】如图，在中，直线为线段的垂直平分线，连接，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵直线为线段的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 点在垂直平分线上 → 直接出两条线段相等，无需再证全等，一步等量代换。 【变式1】如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 【变式2】如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，如果，那么的长是多少？ 【答案】 【分析】利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，E是上的一点， ∴． 【变式3】如图，已知比小，的垂直平分线交于点E，交于点F，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵比小，即， ∴， ∴， ∴． 题型03 利用线段垂直平分线的性质求周长 【典例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意得，是边的垂直平分线，可得，，结合的周长为可得，最后通过等量代换即可得出结论． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， 即， 又 ， ， 的周长是． 故选：C． 含垂直平分线的三角形周长，通过等线段替换，消去动态线段，周长最终等于固定两边之和。 【变式1】如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E．若，的周长为28，则的周长等于_________ ． 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于D，E，， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴， 则的周长等于 ． 【变式2】如图，已知．的垂直平分线交于点E交于点F．连结，若，的周长为18，求的周长． 【答案】的周长为12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握此性质是关键； 由线段垂直平分线的性质得，，进而得；由的周长可得，即为的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 由题可知， ， ， 即的周长为12． 【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长． 题型04 线段垂直平分线的证明 【典例1】如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 先证两组线段相等 → 得两点在垂直平分线上 → 两点确定一条直线，证得垂直平分线。 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】 证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】略 【变式2】如图，在中，，平分，于点E，求证：直线是的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 由于，得，而平分，得，又因为，可证，那么，即得证． 【详解】证明：． 又平分， ． ， 在和中， ， ， ， 平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 题型05 线段垂直平分线的性质与判定综合 【典例1】如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）由全等三角形性质可得，在根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴ （2）∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式1】如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，延长到H，使得，连接，先求出，再证明得到，利用三角形三边的关系得到，再证明，得到垂直平分，则，即可得到． 【详解】解；如图所示，延长到H，使得，连接， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵、分别是、的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析. (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 【答案】(1)垂直平分， (2)见解析 (3)30 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据题意易得垂直平分，； （2）根据中垂涎的判定方法，全等三角形的判定方法进行判断即可； （3）分割法求出筝形的面积即可． 【详解】（1）解：观察可知：垂直平分，； 故答案为：垂直平分，； （2）性质1：∵，， ∴点均在线段的中垂线上， ∴垂直平分； 性质2：∵， ∴； （3）∵垂直平分， ∴． 【变式4】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为即可得到结论； （）连接，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； 本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由， 连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在边的垂直平分线上． 题型06 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【典例1】尺规作图：作线段的中垂线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图，应用与设计作图，要熟悉垂直平分线的作法．分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、，作直线即为的中垂线； 【详解】解：如图所示： 直线即为所求． 【变式1】如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列选项正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、此线作法为，得不到，故A错误； B、此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C、此线作法为，得不到，故C错误； D、此线作法为的垂直平分线，故，得不到，故D错误． 【变式2】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【答案】4 【分析】由尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，进而将的周长转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 即， ， ， ． 【变式3】如图，在中，． (1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）作出线段的垂直平分线交于点E，则点E即为所求； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长公式进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为所求； （2）垂直平分， ， 的周长． 【变式4】如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，的周长是17，F为直线上一动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的周长的最小值为11． 【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据垂直平分线的性质和三角形的三边关系可知，当点F与E重合时，的周长最小，最小值． 【详解】（1）解：图形如图所示； ； （2）解：∵垂直平分，F为直线上一动点， ∴， ∴， ∴当点F与E重合时，的周长最小， 最小值， ∵，的周长是17， ∴， ∴的周长的最小值为11． 1．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等， ∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选项D符合题意． 4．（2026·湖南郴州·一模）如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据作图，得到直线是线段的垂直平分线，得到，结合点P是的中点，，得到，求解即可． 【详解】解：根据作图，得到直线是线段的垂直平分线， ， 由点P是的中点，， ． 5．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，，则的长是___． 【答案】6 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，即垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．先根据是边的垂直平分线结合，得出的值，再根据求解即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，用尺规作图的方式得到点，若的周长为9，，则___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，由作图方法可知，点D在线段的垂直平分线上，则，根据三角形的周长公式可得，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：5． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，直线即为所求． 【分析】作边的垂直平分线即可； 【详解】略 8．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，点D是上一点，，连接，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点E即为所求． 【分析】作线段的垂直平分线交于点E，连接即可． 【详解】略 9．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，进而得，再根据周长，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴周长． 10．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质得又为中点，结合长度求出，即可得到的长． 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线是线段的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ． 点为的中点，， ， ． 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 3．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，周长，即当点、、在同一直线上时，周长最小． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为______． 【答案】6 【分析】利用线段垂直平分线的性质得到，再进行等量代换，最终求出答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ， ∴ ． 5．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，则的周长为______． 【答案】5 【分析】证明的周长即可解决问题． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 6．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 7．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 8．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $