1.1 集合的概念（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的从属关系、元素确定性互异性无序性三大性质、列举法与描述法两种表示方法及常用数集符号，构建从基础概念到性质应用再到表示规范的递进式学习支架。 该资料以现实与数学实例抽象集合概念培养数学眼光，通过含参数问题强化互异性检验训练数学思维，规范符号与表示方法提升数学语言表达。随学随练与题型分类设计，课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性巩固，有效弥补知识盲点。

第一章： 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课标要点 1.依托现实实例、数学实例抽象集合概念，理解集合是具有确定性对象的总体 2.掌握元素与集合的从属关系，规范使用符号、 3.熟记集合元素三大核心性质：确定性、互异性、无序性 4.熟练运用列举法、描述法两种标准形式书写集合 5.识记标准数集符号：自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集 学习重难点 重点： 1.集合、元素的基础定义 2.集合元素的三大特征 3.列举法、描述法表示集合 4.五类常用数集记号 难点： 1.利用元素互异性求解含参数问题，完成解后检验 2.区分描述法中的数集与点集，找准代表元素 3.规范书写描述法内自变量满足的约束条件 知识点 元素与集合的概念 （1）元素：一般地，把___研究对象______统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的_总体____叫做集合（简称为_集_）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a__A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a__A a不属于集合A 特别提醒：1.集合是由确定的对象汇集而成的总体单个对象称为集合的元素 2.只有能明确判断“属于/不属于”的对象才能构成集合模糊描述无法形成集合 3.元素与集合是个体与整体的从属关系仅存在（属于）、（不属于）两种符号 易错提醒：1.混淆“集合”与“元素”层级错用集合间包含符号描述元素和集合 2.把模糊描述（好看的花、个子高的同学）判定为集合违背确定性要求 3.书写符号颠倒元素在前集合在后才可以使用、 教材延伸：1.元素可以是数字、点、图形、文字、方程等任意确定对象 2.集合整体可作为另一个集合的元素构成集合的集合 随学随练 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 3．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 知识点 集合元素的性质 集合元素的性质：____确定性____、____无序性____、___互异性_____． 特别提醒：1.三大性质为确定性、互异性、无序性是判断标准集合的核心依据 2.互异性是含参题型核心考点求解参数后必须回代检验剔除造成元素重复的解 3.无序性代表集合内元素无先后顺序与为完全相同的集合 易错提醒：1.解参数题目只解方程不检验互异性保留使集合出现重复元素的参数 2.认为集合元素书写顺序改变会生成新集合忽略无序性 3.忽略确定性主观认定模糊对象可以构成集合 教材延伸：1.三大性质中确定性是构成集合的前提互异性是解题高频考点 2.空集同样满足三大性质不存在元素重复、顺序、判定模糊问题 随学随练 1．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 3．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 知识点 集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素___一一列举_____出来，这种表示法叫作列举法．常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． （2）描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个___特征性质_____.此时，集合A可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为___描述法______. 特别提醒：1.两种基础表示方法：列举法、描述法适用场景区分明确 2.列举法适合元素有限且数量较少的集合全部元素一一列出并用大括号包裹 3.描述法标准格式竖线左侧代表元素决定集合类型 易错提醒：1.描述法遗漏竖线、代表元素点集错写为正确格式为 2.无限集合强行使用列举法无法完整写出全部元素 3.大括号与区间、数集符号混用书写格式不规范 教材延伸：1.拓展图示法（Venn图）用于直观展示集合关系 2.区间表示法后续不等式集合专用简写形式 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 2．用列举法表示集合. 3．（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 知识点 常用的数集及其记法 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 ____N____ ___N*或N_____ ____Z_____ ___Q____ ____R_____ 特别提醒：1.自然数集包含0或正整数集不包含0二者不可混淆 2.数集符号为专用黑体字母不能手写替换为普通字母 易错提醒：1.误将自然数集判定为不含0 2.书写时混用普通字母替代专用数集符号 3.混淆有理数集与实数集遗漏无理数属于实数 教材延伸：1.拓展复数集高中复数章节重点学习 2.可结合不等式、取值范围综合书写数集搭配描述法使用 随学随练 1.用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 2.下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3.（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 拓展 集合三大性质综合应用 1.利用元素互异性求解含参集合步骤 ①根据条件列出方程解出参数全部候选值 ②将候选参数代回原集合检验集合内元素是否重复 ③剔除造成元素重复的参数保留符合互异性的取值 2.区分描述法数集与点集的解题技巧 ①竖线左侧仅单个字母代表实数范围内数字为数集 ②竖线左侧为坐标形式代表平面内点坐标为点集 ③两类集合不能进行交、并相等判定代表元素不同集合无公共元素 活学活用 1．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若集合由方程和方程的所有实数根组成，则 B．若集合由“”中的字母构成，则中有个元素 C．一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等边三角形 D．若集合由不等式的所有整数解组成，则 拓展 集合判定的核心逻辑（区分数集与点集） 1.判定一组对象能否构成集合只验证确定性一条标准 2.模糊描述（身材高大、成绩优秀、好看的图形）无法构成集合 3.集合元素可以是数字、坐标、函数、图形、文字甚至其他集合 活学活用 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 题型 判断元素是否能构成集合 解题贴士 1.唯一判定依据为确定性只需检验对象能否清晰判定“属于/不属于” 2.带有模糊修饰词（较高、好看、优秀、接近1）的对象无法组成集合 3.确定、客观、可量化描述的对象（小于5的自然数、平面直角坐标系原点）可以构成集合 4.无需提前考虑互异性与无序性判定能否构成集合只看确定性 ▌例1 （2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 ▌对点练1-1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 ▌对点练1-2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 题型 判断元素与集合的关系 解题贴士 1.元素与集合只能使用符号（属于）、（不属于） 2.先区分集合代表元素数集检验数值匹配点集检验横纵坐标同时满足 3.常用数集区分：包含0不包含0代入数值核对再写符号 4.禁止混用包含符号该符号仅用于集合和集合之间 ▌例1（青海省海东市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·广西河池·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 题型 列举法与描述法表示集合 解题贴士 1.有限少量元素优先列举法全部元素写在大括号内元素用逗号分隔 2.无限集合、有统一约束条件的集合必须使用描述法标准格式 3.点集描述法必须写成不可简写为 4.列举法不可出现重复元素描述法竖线左侧代表元素不可省略 ▌例1用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． ▌对点练1-1用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． ▌对点练1-2（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 题型 元素的三大性质 解题贴士 1.确定性：判断集合成立与否的前提 2.无序性：集合元素顺序不改变集合本身 3.互异性：含参题目核心检验步骤求出参数后必须回代排查重复元素 4.解题顺序：先解方程求参数再代入原集合验证互异性最后舍去矛盾解 ▌例1（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 ▌对点练1-1（23-24高一上·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． ▌对点练1-2（23-24高一上·湖北孝感·阶段检测）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 题型 常见的数集 解题贴士 1.牢记数集包含层级 2.看到0优先区分与0属于自然数集不属于正整数集 3.有理数包含整数与分数实数包含有理数与无理数 4.数集运算时先锁定取值范围再结合列举/描述法书写集合 ▌例1用符号“”或“”填空． （1）________； （2）3.14________； （3）________； （4）________； （5）________； （6）0________． ▌对点练1-1用符号“”或“”填空： （1）______；（2）5______；（3）______；（4）______． ▌对点练1-2用符号“”和“”填空： （1）______N；    （2）1______；    （3）______R； （4）______；    （5）______N；    （6）0______． 题型 判断同一集合或由集合相等求参数 解题贴士 1.两个集合相等充要条件：元素完全相同与书写顺序无关 2.集合相等求参数分两步第一步建立元素对应方程组第二步检验互异性 3.含参集合相等需分类讨论元素配对的全部情况不漏解 4.解出参数后代入若出现重复元素直接舍去该组解 ▌例1（24-25高一上·江苏徐州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 ▌对点练1-1（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 ▌对点练1-2（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 题型7 求元素的个数或由元素个数求参数 解题贴士 1.列举法直接数括号内独立元素数量重复元素只计1个 2.含参集合给定元素个数时联立方程后用互异性限制参数取值 3.方程解出多组参数时逐一代入统计元素数量匹配题干要求 4.注意空集元素个数为0有限集合需严格排除造成元素重复的参数 ▌例1已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． ▌对点练1-1已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是_________. ▌对点练1-2（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）下列各组对象不能组成集合的是（   ） A．大于6的所有整数 B．安徽省的所有高个子 C．太阳系的所有行星 D．函数图象上所有的点 2．（25-26高一上·山西大同·期中）下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 3．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 6．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25高一上·山东滨州·阶段检测）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 素养提升 13．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 14．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 15．（24-25高一上·江苏镇江·阶段检测）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 16．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 迁移创新 17．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段检测）（多选）设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 19．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 20．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章： 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课标要点 1.依托现实实例、数学实例抽象集合概念，理解集合是具有确定性对象的总体 2.掌握元素与集合的从属关系，规范使用符号、 3.熟记集合元素三大核心性质：确定性、互异性、无序性 4.熟练运用列举法、描述法两种标准形式书写集合 5.识记标准数集符号：自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集 学习重难点 重点： 1.集合、元素的基础定义 2.集合元素的三大特征 3.列举法、描述法表示集合 4.五类常用数集记号 难点： 1.利用元素互异性求解含参数问题，完成解后检验 2.区分描述法中的数集与点集，找准代表元素 3.规范书写描述法内自变量满足的约束条件 知识点 元素与集合的概念 （1）元素：一般地，把___研究对象______统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的_总体____叫做集合（简称为_集_）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a__A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a__A a不属于集合A 特别提醒：1.集合是由确定的对象汇集而成的总体单个对象称为集合的元素 2.只有能明确判断“属于/不属于”的对象才能构成集合模糊描述无法形成集合 3.元素与集合是个体与整体的从属关系仅存在（属于）、（不属于）两种符号 易错提醒：1.混淆“集合”与“元素”层级错用集合间包含符号描述元素和集合 2.把模糊描述（好看的花、个子高的同学）判定为集合违背确定性要求 3.书写符号颠倒元素在前集合在后才可以使用、 教材延伸：1.元素可以是数字、点、图形、文字、方程等任意确定对象 2.集合整体可作为另一个集合的元素构成集合的集合 随学随练 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 3．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 知识点 集合元素的性质 集合元素的性质：____确定性____、____无序性____、___互异性_____． 特别提醒：1.三大性质为确定性、互异性、无序性是判断标准集合的核心依据 2.互异性是含参题型核心考点求解参数后必须回代检验剔除造成元素重复的解 3.无序性代表集合内元素无先后顺序与为完全相同的集合 易错提醒：1.解参数题目只解方程不检验互异性保留使集合出现重复元素的参数 2.认为集合元素书写顺序改变会生成新集合忽略无序性 3.忽略确定性主观认定模糊对象可以构成集合 教材延伸：1.三大性质中确定性是构成集合的前提互异性是解题高频考点 2.空集同样满足三大性质不存在元素重复、顺序、判定模糊问题 随学随练 1．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 3．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】已知，，， 因此，解得. 知识点 集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素___一一列举_____出来，这种表示法叫作列举法．常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． （2）描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个___特征性质_____.此时，集合A可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为___描述法______. 特别提醒：1.两种基础表示方法：列举法、描述法适用场景区分明确 2.列举法适合元素有限且数量较少的集合全部元素一一列出并用大括号包裹 3.描述法标准格式竖线左侧代表元素决定集合类型 易错提醒：1.描述法遗漏竖线、代表元素点集错写为正确格式为 2.无限集合强行使用列举法无法完整写出全部元素 3.大括号与区间、数集符号混用书写格式不规范 教材延伸：1.拓展图示法（Venn图）用于直观展示集合关系 2.区间表示法后续不等式集合专用简写形式 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法： ， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 2．用列举法表示集合. 【答案】 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有， 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是． 所以． 3．（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 知识点 常用的数集及其记法 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 ____N____ ___N*或N_____ ____Z_____ ___Q____ ____R_____ 特别提醒：1.自然数集包含0或正整数集不包含0二者不可混淆 2.数集符号为专用黑体字母不能手写替换为普通字母 易错提醒：1.误将自然数集判定为不含0 2.书写时混用普通字母替代专用数集符号 3.混淆有理数集与实数集遗漏无理数属于实数 教材延伸：1.拓展复数集高中复数章节重点学习 2.可结合不等式、取值范围综合书写数集搭配描述法使用 随学随练 1.用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数， ； 是无理数，不属于有理数集， ； -5是整数， ； 是实数， ； 3.14不是正整数， . 2.下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 3.（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 拓展 集合三大性质综合应用 1.利用元素互异性求解含参集合步骤 ①根据条件列出方程解出参数全部候选值 ②将候选参数代回原集合检验集合内元素是否重复 ③剔除造成元素重复的参数保留符合互异性的取值 2.区分描述法数集与点集的解题技巧 ①竖线左侧仅单个字母代表实数范围内数字为数集 ②竖线左侧为坐标形式代表平面内点坐标为点集 ③两类集合不能进行交、并相等判定代表元素不同集合无公共元素 活学活用 1．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 2．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若集合由方程和方程的所有实数根组成，则 B．若集合由“”中的字母构成，则中有个元素 C．一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等边三角形 D．若集合由不等式的所有整数解组成，则 【答案】AC 【分析】求出集合进而判断ABD；利用集合元素的互异性判断C. 【详解】对于A，解方程，得；解方程，得或， 因此，，A正确； 对于B，，中有个元素，B错误； 对于C，由集合中有三个元素，得互不相等，则不可能是等边三角形，C正确； 对于D，解不等式，得，则，，D错误. 故选：AC 拓展 集合判定的核心逻辑（区分数集与点集） 1.判定一组对象能否构成集合只验证确定性一条标准 2.模糊描述（身材高大、成绩优秀、好看的图形）无法构成集合 3.集合元素可以是数字、坐标、函数、图形、文字甚至其他集合 活学活用 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)无限集； (3)空集； (4)无限集； (5)有限集． 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）不等式的解集，是无限集； （3）的实数解集，是空集； （4）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （5）方程的解集，是有限集． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 题型 判断元素是否能构成集合 解题贴士 1.唯一判定依据为确定性只需检验对象能否清晰判定“属于/不属于” 2.带有模糊修饰词（较高、好看、优秀、接近1）的对象无法组成集合 3.确定、客观、可量化描述的对象（小于5的自然数、平面直角坐标系原点）可以构成集合 4.无需提前考虑互异性与无序性判定能否构成集合只看确定性 ▌例1 （2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． ▌对点练1-1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. ▌对点练1-2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 题型 判断元素与集合的关系 解题贴士 1.元素与集合只能使用符号（属于）、（不属于） 2.先区分集合代表元素数集检验数值匹配点集检验横纵坐标同时满足 3.常用数集区分：包含0不包含0代入数值核对再写符号 4.禁止混用包含符号该符号仅用于集合和集合之间 ▌例1（青海省海东市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. ▌对点练1-1已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. ▌对点练1-2（25-26高一上·广西河池·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断是否是方程的解，即可得解. 【详解】对于方程，显然，，均不是方程的解， 是方程的解， 所以是集合的元素，故C正确； ，，均不是集合的元素，故A、B、D错误. 故选：C 题型 列举法与描述法表示集合 解题贴士 1.有限少量元素优先列举法全部元素写在大括号内元素用逗号分隔 2.无限集合、有统一约束条件的集合必须使用描述法标准格式 3.点集描述法必须写成不可简写为 4.列举法不可出现重复元素描述法竖线左侧代表元素不可省略 ▌例1用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． ▌对点练1-1用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． ▌对点练1-2（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． 题型 元素的三大性质 解题贴士 1.确定性：判断集合成立与否的前提 2.无序性：集合元素顺序不改变集合本身 3.互异性：含参题目核心检验步骤求出参数后必须回代排查重复元素 4.解题顺序：先解方程求参数再代入原集合验证互异性最后舍去矛盾解 ▌例1（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. ▌对点练1-1（23-24高一上·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. ▌对点练1-2（23-24高一上·湖北孝感·阶段检测）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 题型 常见的数集 解题贴士 1.牢记数集包含层级 2.看到0优先区分与0属于自然数集不属于正整数集 3.有理数包含整数与分数实数包含有理数与无理数 4.数集运算时先锁定取值范围再结合列举/描述法书写集合 ▌例1用符号“”或“”填空． （1）________； （2）3.14________； （3）________； （4）________； （5）________； （6）0________． 【答案】 【分析】根据常用数集的表示符号及其含义进行判断，得到答案. 【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 故答案为：，，，，， ▌对点练1-1用符号“”或“”填空： （1）______；（2）5______；（3）______；（4）______． 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系，结合常用数集分析判断. 【详解】因为为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以；；；. 故答案为：；；；. ▌对点练1-2用符号“”和“”填空： （1）______N；    （2）1______；    （3）______R； （4）______；    （5）______N；    （6）0______． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系判断. 【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）（6）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 题型 判断同一集合或由集合相等求参数 解题贴士 1.两个集合相等充要条件：元素完全相同与书写顺序无关 2.集合相等求参数分两步第一步建立元素对应方程组第二步检验互异性 3.含参集合相等需分类讨论元素配对的全部情况不漏解 4.解出参数后代入若出现重复元素直接舍去该组解 ▌例1（24-25高一上·江苏徐州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. ▌对点练1-1（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. ▌对点练1-2（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 题型7 求元素的个数或由元素个数求参数 解题贴士 1.列举法直接数括号内独立元素数量重复元素只计1个 2.含参集合给定元素个数时联立方程后用互异性限制参数取值 3.方程解出多组参数时逐一代入统计元素数量匹配题干要求 4.注意空集元素个数为0有限集合需严格排除造成元素重复的参数 ▌例1已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． ▌对点练1-1已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. ▌对点练1-2（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为6或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 基础通关 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）下列各组对象不能组成集合的是（   ） A．大于6的所有整数 B．安徽省的所有高个子 C．太阳系的所有行星 D．函数图象上所有的点 【答案】B 【分析】集合中元素需满足互异性、确定性、无序性三种性质，才能构成集合，依据这三种性质进行判断，即可得到正确答案. 【详解】对于A，大于6的所有整数，满足确定性，故A能组成集合； 对于B，高个子的标准不确定，不满足确定性，所以B不能构成集合； 对于C，太阳系的所有行星，满足确定性，故C能组成集合； 对于D，函数图象上所有的点，满足确定性，故D能组成集合； 故选：B. 2．（25-26高一上·山西大同·期中）下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足互异性、确定性，可判断A、B错误；自然数包括0，故D错误；根据集合中的元素运算，可得C正确. 【详解】对于选项A，，解得或，故方程的解的集合为，故A错误； 对于选项B，“很小”不是一个确定的范围，与集合中元素满足确定性相矛盾，故不能构成一个集合，故B错误； 对于选项C，，故，故C正确； 对于选项D，不大于4的自然数包括0，1，2，3，4，故D错误. 故选：C 3．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域求得集合，即可得结论. 【详解】∵，即， ∴， ∴. 故选：A. 4．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【详解】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 6．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法求解. 【详解】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 8．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 9．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法写出集合的元素即可求解. 【详解】将满足的全部列举出来， 即，共有4个. 故选：C. 10．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①：是实数，是实数集，所以，①正确； 对于②：是整数，是整数集，所以，②正确； 对于③：是负整数，是正整数集，所以，③正确； 对于④：是无理数，是有理数集，所以，④错误. 故选：C. 11．（24-25高一上·山东滨州·阶段检测）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【分析】利用集合的性质及相关概念判断各个命题即可得解. 【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知集合的元素为点的坐标，结合选项分析判断. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合， 即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示. 故选：C. 素养提升 13．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 【答案】0或1或2 【分析】分类讨论求得集合，利用集合所有元素之和为3，可求得的值. 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 14．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·江苏镇江·阶段检测）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 16．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】若，，设，则 ，故A错误，B正确； 若，，设， 则 ，故C正确，D错误. 故选：BC. 迁移创新 17．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段检测）（多选）设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【答案】BCD 【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断B，C；由封闭集定义可推出所有整数都属于S，判断D. 【详解】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，故， 同理， , 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若S为封闭集，且，则, 则，依此类推可得所有整数都属于S， 则S一定为无限集，D正确， 故选：BCD 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）将代入方程，求解即可； （2）由为方程的根可求出a的值，再讨论是否为的根即可. （3）分类讨论，是的根时，确定a的值，再考虑另一个方程的判别式情况，验证是否符合题意，同理讨论-2是的根，综合即可求得答案. 【详解】（1）若，则方程为， 即，解得或，故； （2）由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或； （3）由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为. 19．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据集合中的元素具有互异性，分类讨论互不相等且不成比例和中存在比例关系，求的元素个数的取值范围. （3）根据可得，然后分中个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； 【详解】（1）根据题意可得. （2）若均为正数，，集合中的元素具有互异性， 不妨设，则，故中至少有5个元素， 而中共有对不同的元素，因此最多有6个不同的乘积. 取,此时，此时的元素个数， 取，则，此时的元素个数， 故的元素个数的取值范围为， （3）若，可得， 其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者 ①当时， 则，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到， 进而，从而. 所以或者. 20．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 【答案】(1)， (2) 当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. (3) 由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可. （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证. （3）根据给定条件可得，进而求出，再推理说明是奇数即可. 【详解】（1）由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $