精品解析：辽宁省沈阳市第七中学2021-2022学年九年级下学期4月线上测试数学试题

4月4日数学线上测试 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分） 1. 下列实数中，最大的是（　　） A. ﹣0.5 B. ﹣ C. ﹣1 D. ﹣ 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. a2+a3＝a5 D. （2a2b3）3＝﹣6a6b3 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的左视图是（） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向上平移个单位 6. 下列四个图形：从中任取一个是中心对称图形的概率是（　　） A. B. 1 C. D. 7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段BD，过点A作AE⊥射线CD于点E，则∠CAE的度数是（　　） A. 90﹣α B. α C. D. 8. 如图，矩形中，，E是延长线上一点，G是上一点，且，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是( ) A. B. C. D. 10. 如图，函数（，，为常数，且）经过点、，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；．其中结论正确的有（ ）个 A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为______． 12. 因式分解：______． 13. 不等式组的解集为____________． 14. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 _________ . 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为10，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过C、D两点，则k的值为_____． 16. 如图，在菱形中，，，点M为边上一点，，点N为边上的一动点，沿将翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，的长度为_____． 三、解答题（第17题6分，第18，19小题各8分，共22分） 17. 计算：． 18. 为了进一步完善“课后延时服务”，某学校额外开设了A班电影鉴赏，B班漫画漫游，C班跑步健身三门兴趣课程，小智和小慧需选择一门课程学习． （1）用列表法或画树状图法，列出小智、小慧两人选课所有可能出现的情况． （2）求小智、小慧两人同班的概率． 19. 如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 四、解答题（每小题8分，共16分） 20. 我校九年级163班所有学生参加体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）九年级163班参加体育测试的学生共有多少人？ （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，求出等级C对应的圆心角的度数； （4）若规定达到A、B级为优秀，我校九年级共有学生850人，估计参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？ 21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出　 个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ 五、解答题（本题10分） 22. 如图∠AOC=90°，且OA=OC，点D在以OA为直径的半圆上，圆心为点P，连接CD并延长交OA的延长线于点B，且AB=4，∠BDA=∠BOD． （1）求证：为⊙P的切线； （2）求该半圆的面积． 六、解答题（本题10分） 23. 如图1，已知直线交x轴于点A、交y轴于点B，且． （1）请直接写出直线的解析式：__________________． （2）如图2，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，与直线交于点P． ①若点E在线段上且满足，求点E的坐标； ②若点M是位于点B上方的y轴上一点，点Q在直线上，点N为第一象限内直线上一动点，是否存在点N，使得以点B、M、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 七、解答题（24、25题12分） 24. 在中，，是平面内不与点重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接是的中点，是的中点． （1）问题发现： 如图1，当时，的值是_________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． （2）类比探究： 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，当时，若是的中点，点在直线上，且点在同一条直线上，请直接写出的值． 25. 已知二次函数与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，连接、，点的坐标为，点的坐标为． （1）求和的值； （2）如图，点是直线上方抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；在线段上取一点，，点、分别为、轴上的动点，连接，将沿翻折至，直接写出的最小值． （3）如图，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移得到新的抛物线，使得交轴于点、（在的左侧），将绕点顺时针旋转至，抛物线的对称轴上有一动点，坐标系内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4月4日数学线上测试 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分） 1. 下列实数中，最大的是（　　） A. ﹣0.5 B. ﹣ C. ﹣1 D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的比较大小即可求出答案． 【详解】解：∵﹣0.5＞﹣1＞＞﹣， ∴最大的数是：﹣0.5； 故选：A． 【点睛】本题考查实数，解题的关键是熟练运用实数比较的方法，本题属于基础题型． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. a2+a3＝a5 D. （2a2b3）3＝﹣6a6b3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则进而计算得出答案． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误； C、a2+a3，无法计算，故此选项错误； D、（2a2b3）3＝8a6b9，故此选项错误； 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算以及完全平方公式和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将A、B、C三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出的值比较其大小即可 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，， ∴ 故选B 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 4. 如图所示几何体的左视图是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图的定义，从物体的左面向右面投射所得的视图即为左视图；观察几何体可知，从左边看只能看到一个矩形面，但几何体右侧较低部分的顶面轮廓被挡住，应表现为虚线． 【详解】解：∵该几何体是一个L形的柱体，左侧较高，右侧较低 ∴从左向右观察（左视图）时，外轮廓为一个大矩形 又∵右侧较低部分的顶面高度低于左侧最高处，且被左侧面遮挡 ∴在左视图中，该高度分界线应画为不可见的虚线 ∴左视图是一个矩形，中间有一条横向的虚线，选项D符合题意． 5. 在平面直角坐标系中，点平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向上平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据平移前后对应点的坐标进行计算即可. 【详解】∵点平移后能与原来的位置关于轴对称， ∴平移后的坐标为 ∵横坐标增大 ∴点是向右平移得到，平移距离为 故选：B. 【点睛】此题主要考查坐标平移的性质，熟练掌握，即可解题. 6. 下列四个图形：从中任取一个是中心对称图形的概率是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据中心对称图形的定义判断其中的中心对称图形的个数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：在以上4个图形中，第2个和第3个是中心对称图形，∵任取一个是中心对称图形的有2种情况，共有4种等可能的结果， ∴任取一个是中心对称图形的概率是：． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义和求简单事件的概率，属于基础题型，熟练掌握中心对称图形的概念和求解的方法是解题的关键. 7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段BD，过点A作AE⊥射线CD于点E，则∠CAE的度数是（　　） A. 90﹣α B. α C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到然后利用互余表示出，从而利用互余可得到的度数. 【详解】线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ，， ， ， ， ， ， . 故选：. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等. 8. 如图，矩形中，，E是延长线上一点，G是上一点，且，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，解直角三角形，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴． 9. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE． 【详解】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD，∠BAE=92°， ∴∠CFE=∠BAE=92°， 又∵∠DCE=121°， ∴∠E=∠DCE-∠CFE=121°-92°=29°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的性质，解决问题的关键是添加恰当的辅助线. 10. 如图，函数（，，为常数，且）经过点、，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；．其中结论正确的有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号，从而判断；根据抛物线与轴的交点坐标求出对称轴，结合的范围判断；根据点、到对称轴的距离及抛物线性质判断；利用对称轴公式建立等式变形判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴，即， ∵抛物线与轴的交点在轴下方， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线经过点、， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，即，故正确； ∵抛物线开口向上， ∴抛物线离对称轴越远，函数值越大， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，故正确； 综上所述，结论正确的有，共个． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1<|a|<10，n为整数.确定n的值是易错点，由于25600000有8位，所以可以确定n=8-1=7. 【详解】解：由25600000有8位，所以可以确定n=8-1=7. 所以:;因此答案为： 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键. 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 13. 不等式组的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先别解不等式，求出解集即可. 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：. 【点睛】本题是对不等式组的考查，熟练掌握不等式组的解法是解决本题的关键. 14. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 _________ . 【答案】 【解析】 【分析】连接AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接FG交AC于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得EC和FG，AC的长度,从而求得AE,因为的中点，可得PE和AP,再由正方形的性质可得GM和EM ,FG，在Rt△PGM中，求解即可． 【详解】解，如下图，连接AC，连接FG与AC交于点M ∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，且点、G分别在边上 ∴A、E、C三点共线，，, 在中， 由勾股定理得： ∵AC＞0 ∴ 在中， 由勾股定理得： ∵EC＞0 ∴ ∴ 又∵P是AE的中点，M是EC的中点 ∴ 又∵ 在中，由勾股定理得： 即：= ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为10，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过C、D两点，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD＝a，则OC＝3a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可得出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解． 【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示． 设BD＝a，则OC＝3a． ∵△AOB为边长为10的等边三角形， ∴∠COE＝∠DBF＝60°，OB＝10． 在Rt△COE中，∠COE＝60°，∠CEO＝90°，OC＝3a， ∴∠OCE＝30°， ∴OE＝，CE＝， ∴点C（，）． 同理，可求出点D的坐标为（，）． ∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C和点D， ∴k＝＝， ∴a＝2，k＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，求出点C、D的坐标是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，，，点M为边上一点，，点N为边上的一动点，沿将翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，的长度为_____． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定及性质，折叠的性质，分情况讨论是解题的关键．（1）当点P在菱形对角线上时，由折叠的性质得，证出，得出 （2）当点P在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得，求出，从而证明，再由相似三角形的性质可得出，则可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点P在菱形对角线上时，如图 由折叠的性质得 ∵四边形是菱形， （2）当点P在菱形对角线上时，如图 设 由折叠的性质得 ，， ∵四边形是菱形， ， 即 解得或（不符合题意，舍去） ∴ 综上所述，AN的长为2或 故答案为2或． 三、解答题（第17题6分，第18，19小题各8分，共22分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据绝对值、二次根式的性质，零指数幂、锐角三角函数化简，再化简，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了绝对值、二次根式的性质，零指数幂、锐角三角函数，熟练掌握绝对值、二次根式的性质，零指数幂、锐角三角函数是解题的关键． 18. 为了进一步完善“课后延时服务”，某学校额外开设了A班电影鉴赏，B班漫画漫游，C班跑步健身三门兴趣课程，小智和小慧需选择一门课程学习． （1）用列表法或画树状图法，列出小智、小慧两人选课所有可能出现的情况． （2）求小智、小慧两人同班的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，即可得出所有等可能的情况数； （2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中小智、小慧两人同班的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意画树状图如下： 则小智、小慧两人选课所有可能出现的情况共有9种； 【小问2详解】 ∵共有9种等可能的情况数，其中小智、小慧两人同班的有3种， ∴小智、小慧两人同班的概率是． 【点睛】本题主要考查的是画树状图或列表法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件，注意：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形ABEO是平行四边形，再证明AB=AO即可； （2）求出的面积即可求得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴ 又 ∴四边形ABEO是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC，即AC=2AO 又 ∴AB=AO ∴四边形是菱形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC=， ∴ 过点A作AF⊥BO于点F， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴四边形的面积=． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解答此题的关键． 四、解答题（每小题8分，共16分） 20. 我校九年级163班所有学生参加体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）九年级163班参加体育测试的学生共有多少人？ （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，求出等级C对应的圆心角的度数； （4）若规定达到A、B级为优秀，我校九年级共有学生850人，估计参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？ 【答案】（1）50人；（2）见解析；（3）72°；（4）595人． 【解析】 【分析】（1）用等级A的人数除以其所占的百分比即可得出答案； （2）分别求出等级C，D的人数即可补全条形统计图； （3）先求出等级C所占的百分比，然后用360°乘以这个百分比即可； （4）先求出样本中优秀的学生所占的百分比，然后用850乘以这个百分比即可． 【详解】解：（1）九年级163班参加体育测试的学生共有15÷30%＝50（人）； （2）D等级的人数为：50×10%＝5（人），C等级人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（人）； 补全统计图如下： （3）等级C对应的圆心角的度数为：×360°＝72°； （4）估计达到A级和B级的学生共有：×850＝595（人）． 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，能够根据条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解题的关键． 21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出　 个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ 【答案】（1）（600﹣10x）；（2）这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个． 【解析】 【分析】（1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量； （2）根据总利润=单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯． 故答案为（600﹣10x）； （2）依题意，得：（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000， 整理，得：x2﹣50x+400＝0， 解得：x1＝10，x2＝40（不合题意，舍去）， ∴40+x＝50，600﹣10x＝500． 答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五、解答题（本题10分） 22. 如图∠AOC=90°，且OA=OC，点D在以OA为直径的半圆上，圆心为点P，连接CD并延长交OA的延长线于点B，且AB=4，∠BDA=∠BOD． （1）求证：为⊙P的切线； （2）求该半圆的面积． 【答案】（1）见解析；（2）18π 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定，连接PD，证出PD⊥BD即可； （2）利用勾股定理、切线长定理以及相似三角形的性质求出半圆的半径即可． 【详解】解：（1）连接PD， ∵OA是直径， ∴∠ODA=90°， 即∠ODP+∠PDA=90°， ∵OP=PD， ∴∠ODP=∠DOA， 又∵∠BDA=∠BOD， ∴∠PDA+∠ADB=90°， 即PD⊥BD， 又∵点D在圆上， ∴BC是⊙P的切线； （2）设⊙P的半径为r，则OP=PA=PD=r，OC=OA=2r， ∵∠BOC=∠BDP=90°，∠B=∠B， ∴△BOC∽△BDP， ∴，即， ∴BC=8+2r， ∴BD=BC-CD=8+2r-2r=8， 在Rt△BDP中，由由勾股定理得BD2=PB2-PD2， 即64=（4+r）2-r2， 解得，r=6， ∴半圆的面积为π×62=18π． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法以及直角三角形的边角关系是解决问题的前提． 六、解答题（本题10分） 23. 如图1，已知直线交x轴于点A、交y轴于点B，且． （1）请直接写出直线的解析式：__________________． （2）如图2，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，与直线交于点P． ①若点E在线段上且满足，求点E的坐标； ②若点M是位于点B上方的y轴上一点，点Q在直线上，点N为第一象限内直线上一动点，是否存在点N，使得以点B、M、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）求出点B的坐标，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意可得，则可得到直线的解析式，联立，解之即可得到答案；②可证明不能为对角线，分为对角线两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点A在x轴的坐标轴上， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵点E在线段上， ∴点O和点E在直线的同侧， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴点E的坐标为； ②∵点M在点B的上方，且点N在第一象限， ∴与一定没有交点， ∴不能为对角线； 设点， 当是以点B、M、N、Q为顶点的菱形的对角线时，则与互相垂直平分， ∴点Q与点N关于y轴对称， ∴， 解得， ∴， ∴此时点N的坐标为； 当是以点B、M、N、Q为顶点的菱形的对角线时，，且， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴此时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 七、解答题（24、25题12分） 24. 在中，，是平面内不与点重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接是的中点，是的中点． （1）问题发现： 如图1，当时，的值是_________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． （2）类比探究： 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，当时，若是的中点，点在直线上，且点在同一条直线上，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）的值是或 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接PC，BD，延长BD交PC于K，交AC于G．证明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题． （2）如图2，设MN交AC于F，延长MN交PC于E．证明△ACP∽△AMN，推出∠ACP=∠AMN，可得结论； （3）分两种情形分别画出图形，利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：（1）， 如图1，连接并延长交于点，交于点， ， 均是等边三角形， ， ， 在△PAC和△DAB中， ， ， ， 是的中点，是的中点，是的中位线， ， ， ， ， 与相交所成的较小角的度数是， ， 与相交所成的较小角的度数是； （2），直线与直线相交所成的较小角的度数是， 理由：如图2，设交于点，延长交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即直线与直线相交所成的较小角的度数是； （3）或 设，由（2）易知，， ， 是的中位线，， 是线段的中垂线， ， 是的中位线， ， 如图3-1，当点在线段上时，， ， 如3-2图，当点在直线上但不在线段上时， ； 综上，的值是或. 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 25. 已知二次函数与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，连接、，点的坐标为，点的坐标为． （1）求和的值； （2）如图，点是直线上方抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；在线段上取一点，，点、分别为、轴上的动点，连接，将沿翻折至，直接写出的最小值． （3）如图，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移得到新的抛物线，使得交轴于点、（在的左侧），将绕点顺时针旋转至，抛物线的对称轴上有一动点，坐标系内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）； （3）存在，点坐标为或或或)或 【解析】 【分析】（1）将点，代入，然后解关于、的二元一次方程组即可； （2）过点作轴交于点，设，则，则，当时，面积取得最大值，此时；作点关于轴的对称点，连接，，，当、、三点共线时，最小，由即可求解； （3）先求出平移后的函数解析式为，即可求，由旋转可得，设，，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等，建立方程组求点K的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数与轴交于点、，且，， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， 当时，面积最大值为， 此时， ∵， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，，， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，当、、三点共线时取“”， 此时取得最小值，最小值为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵，点关于轴的对称点为点， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线沿射线的方向平移， 设抛物线沿轴正方向平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度， 又∵， ∴平移后的函数解析式为， ∵平移后的函数经过点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴平移后的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得：或， ∴，， 如图，过点作轴于点， ∴， ∵绕点顺时针旋转至，，，， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设，， ①当是菱形的对角线时，， ∴， 解得：， ∴； ②当为菱形的对角线时，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； ③当为菱形的对角线时，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，两点间的距离，三角形三边的关系定理等知识点，掌握二次函数的图象及性质、图形的变换、菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $