1.4绝对值 导学案 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“绝对值”核心内容，涵盖定义、几何意义、性质、非负性及应用等知识点。通过数轴回顾旧知，从距离概念切入绝对值定义，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以考点分类为特色，含求绝对值、几何意义等五类题型及例题变式，结合数轴直观与实际应用案例，培养学生抽象能力、推理意识和应用意识，助力高效掌握知识，提升数学思维与表达能力。

1.4 绝对值 · 教学目标 1.认识绝对值，会进行绝对值的简单运算，掌握求绝对值的方法 2.借助数轴理解绝对值的意义及性质； 3.掌握绝对值的代数意义和几何意义 · 知识点梳理 1.绝对值定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 注意点： ①绝对值是两点间的距离，因此绝对值一定是大于等于0的，也就是非负数 ②数轴上表示一个数的点离原点越远，则这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小. 2、几何意义：一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离. 【补充】：1）|a|=|a-0|，表示数轴上点a的到原点的距离； |a-b|=|b-a|，表示数轴上点a到点b的距离（或点b到点a的距离）； |a+b|=|a-（-b）|，表示数轴上点a到点-b的距离； ∣x-a∣+∣x-b∣，表示数轴上点x到点a，点b的距离之和. 3、绝对值的性质： （1） 正数的绝对值是它本身； （2） 0绝对值是0； （3） 负数的绝对值是它的相反数. 4、绝对值的非负性：||≥0 5、七上常见的非负性：绝对值、偶次方 · 考点分类 考点一：求一个数的绝对值 例1．的绝对值是（     ） A． B． C． D．2022 变式1-1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 变式1-2．在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-3．若，则_______． 变式1-4．若，则 __________． 变式1-5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二：绝对值的几何意义 例2． 实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 变式2-1．如图所示的四个点中，表示绝对值最大的数的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 变式2-2．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 变式2-3．如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式2-4．关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 考点三：绝对值非负性的应用 例3．如果，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 变式3-1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．若与互为相反数，则的值为（  ） A．2 B．6 C． D． 变式3-3．已知，求： (1)，，的值； (2)的值． 变式3-4．已知，求的值． 考点四：化简绝对值 例4．已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 变式4-1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 变式4-2．已知、 、 三个数在数轴上对应点的位置如图所示下列几个判断：  ； ； ； ；的值一定是正数．其中正确的个数有（）． A．个 B．个 C．个 D．个 变式4-3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 变式4-4．有理数在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简： ． 变式4-5．已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 考点五：绝对值的应用 例5．海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 变式5-1某樱桃园采摘了四筐樱桃，每筐以5为标准质量，超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 变式5-2．某中学为召开运动会计划采购一批足球，在对市场进行调研中发现4个品牌足球的质量如图所示，超过国家规定标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，你建议学校采购的足球品牌是（    ） A．   B．   C．   D．   变式5-3．如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 变式5-4．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． · 课后任务 一、单选题 1. 的绝对值是（   ） A．2025 B． C． D． 2．下列语句：①整数包括正整数、负整数和零；②任何一个有理数的绝对值都不会是负数；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤一定是负数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．数轴上表示的点与原点之间的距离是（   ） A．8 B． C． D． 4. 、是有理数，且，，，用数轴上的点来表示、，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 6．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 7．，则（　　） A．3 B． C． D．2 8．若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 9．某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（    ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．正负数 二、填空题 10．绝对值大于1.1，且不大于3的整数是______． 11．若，则_____；若，则_____． 12．填空： （1）若，且，则_______； （2）若，且，则_______． 13．若与互为相反数，则 等于______. 14．当____时，式子有最小值为_____． 15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，所示，化简：______． 三、解答题 16．已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 17．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 18．已知，求的值． 19．有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示， (1)判断： _______， _______， _______；（填“”、“”或“”） (2)化简式子：． 20．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 21．[核心素养]阅读材料：我们知道的几何意义是数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示数轴上数x与数0的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上的对应点之间的距离． 【例1】已知，求x的值． 解：因为数轴上与原点的距离为2的点对应的数为和2，所以x的值为或2． 【例2】已知，求x的值． 解：因为数轴上与表示1的点距离为2的点对应的数为3和，所以x的值为3或． 仿照上述解法，求下列各式中x的值． （1）；（2）． 【拓展】的最小值为_______． |𝑎| =𝑎 （𝑎>0） =-𝑎（𝑎<0） =0（𝑎=0） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 绝对值 · 教学目标 1.认识绝对值，会进行绝对值的简单运算，掌握求绝对值的方法 2.借助数轴理解绝对值的意义及性质； 3.掌握绝对值的代数意义和几何意义 · 知识点梳理 1.绝对值定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 注意点： ①绝对值是两点间的距离，因此绝对值一定是大于等于0的，也就是非负数 ②数轴上表示一个数的点离原点越远，则这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小. 2、几何意义：一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离. 【补充】：1）|a|=|a-0|，表示数轴上点a的到原点的距离； |a-b|=|b-a|，表示数轴上点a到点b的距离（或点b到点a的距离）； |a+b|=|a-（-b）|，表示数轴上点a到点-b的距离； ∣x-a∣+∣x-b∣，表示数轴上点x到点a，点b的距离之和. 3、绝对值的性质： （1） 正数的绝对值是它本身； （2） 0绝对值是0； （3） 负数的绝对值是它的相反数. 4、绝对值的非负性：||≥0 5、七上常见的非负性：绝对值、偶次方 · 考点分类 考点一：求一个数的绝对值 例1．的绝对值是（     ） A． B． C． D．2022 【答案】D 【详解】解：的绝对值是． 变式1-1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，则 ． 变式1-2．在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； 综上，负数共有个． 变式1-3．若，则_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 变式1-4．若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 变式1-5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点二：绝对值的几何意义 例2． 实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，在原点左侧，在原点右侧 ， ， ，故选项A、C错误，选项B正确； 由图可知，到原点的距离大于到原点的距离 ， ，故选项D错误． 变式2-1．如图所示的四个点中，表示绝对值最大的数的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【详解】解：观察数轴可知：点A到原点的距离最远， ∴图中所表示的数的绝对值最大的点是点A． 变式2-2．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 变式2-3．如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：由数轴可知：，所以绝对值最小的是点． 变式2-4．关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【答案】D 【详解】解：A、表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为，而当时，；当时，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 考点三：绝对值非负性的应用 例3．如果，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 变式3-1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴且， ∴，， ∴． 故选：． 变式3-2．若与互为相反数，则的值为（  ） A．2 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴且， ∴，， 解得，， ∴ 故选：B． 变式3-3．已知，求： (1)，，的值； (2)的值． 【答案】(1)，，； (2) 【详解】（1）， ，，， 解得，，； （2）当，，时， ． 变式3-4．已知，求的值． 【答案】，，． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 考点四：化简绝对值 例4．已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴ ． 变式4-1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴得到，， ∴． 变式4-2．已知、 、 三个数在数轴上对应点的位置如图所示下列几个判断：  ； ； ； ；的值一定是正数．其中正确的个数有（）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：由数轴可知 ， ∵ ， ∴ ， ∴结论错误， ∵ ， ∴、 异号， ∴， ∴结论正确， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴结论正确， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴结论错误， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴值一定是正数， ∴结论正确， 综上所述正确个数有个． 变式4-3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，， ， . 变式4-4．有理数在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简： ． 【答案】(1)；； (2) 【详解】（1）解：根据数轴得出，， ， 故答案为：；； ． （2）解：， ． 变式4-5．已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)＜，＝ ，＜ (2) (3) 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∵， ∴，，； （2）解：原式＝ ＝ （3）解：原式＝ ＝ ＝ 考点五：绝对值的应用 例5．海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，，且， ∴对应足球最接近标准质量． 变式5-1某樱桃园采摘了四筐樱桃，每筐以5为标准质量，超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵最接近标准质量等价于偏差的绝对值最小， 计算各选项偏差的绝对值得： ， ， ， ， 又∵ ， ∴ 的绝对值最小，对应樱桃最接近标准质量． 变式5-2．某中学为召开运动会计划采购一批足球，在对市场进行调研中发现4个品牌足球的质量如图所示，超过国家规定标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，你建议学校采购的足球品牌是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：依题意，， ∴A选项的足球最接近标准， 故选：A． 变式5-3．如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【答案】(1) 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． (2)记为的排球最接近标准质量． 【详解】（1）解：略； （2）解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 变式5-4．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． · 课后任务 一、单选题 1. 的绝对值是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2．下列语句：①整数包括正整数、负整数和零；②任何一个有理数的绝对值都不会是负数；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤一定是负数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①整数包括正整数、负整数和零，原语句说法正确； ②任何一个有理数的绝对值都不会是负数，原语句说法正确； ③互为相反数的两个数的绝对值相等，原语句说法正确； ④绝对值等于它本身的数是正数和0，原语句说法错误； ⑤当a是正数时，是负数；当a是0时，是0；当a是负数时，是正数，原语句说法错误． 综上，正确的是①②③，共3个． 故选：C 3．数轴上表示的点与原点之间的距离是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴上表示的点与原点之间的距离是． 故选：A． 4. 、是有理数，且，，，用数轴上的点来表示、，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ，，a到原点的距离大于b到原点的距离， 用数轴上的点来表示、为 故选：A． 5．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 【答案】D 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ 故选：D． 6．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 7．，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 8．若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 【答案】C 【详解】解：A．，因此的值是正数或0，该选项说法错误； B．，因此的值是负数或0，该选项说法错误； C．，因此的值是正数，该选项说法正确； D．，因此的值小于或等于1，该选项说法错误； 故选C． 9．某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（    ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．正负数 【答案】B 【详解】解：∵，，，，且， ∴标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准． 能解释这一判断的依据是绝对值． 故选：B． 二、填空题 10．绝对值大于1.1，且不大于3的整数是______． 【答案】， 【详解】解：根据绝对值的意义可知：绝对值大于1.1并且不大于3的整数有，． 故答案为，． 11．若，则_____；若，则_____． 【答案】 3或 3或 【详解】解：∵， ∴或； 若，则或； 故答案为：3或；3或． 12．填空： （1）若，且，则_______； （2）若，且，则_______． 【答案】 6 【详解】解：（1）若，则， ∵，则； 故答案为：6； （2）若，则， ∵，则． 故答案为：． 13．若与互为相反数，则 等于______. 【答案】 【解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 14．当____时，式子有最小值为_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，即， ∴的最小值为，此时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，所示，化简：______． 【答案】 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ，，， 则原式． 故答案为：． 三、解答题 16．已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 17．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 18．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：，，，且， ，，， ，，， ． 19．有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示， (1)判断： _______， _______， _______；（填“”、“”或“”） (2)化简式子：． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴，，． 故答案为：，，． （2）解：∵，，， ∴ ． 20．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 21．[核心素养]阅读材料：我们知道的几何意义是数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示数轴上数x与数0的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上的对应点之间的距离． 【例1】已知，求x的值． 解：因为数轴上与原点的距离为2的点对应的数为和2，所以x的值为或2． 【例2】已知，求x的值． 解：因为数轴上与表示1的点距离为2的点对应的数为3和，所以x的值为3或． 仿照上述解法，求下列各式中x的值． （1）；（2）． 【拓展】的最小值为_______． 【答案】（1）3或；（2）或6；[拓展]6 [拓展]表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数8的距离之和，因此当x在2与8之间时，这个距离之和最小，最小值为2与8之间的距离6． 【详解】解：（1）， 在数轴上与原点的距离为的点对应的数为或，故的值为或； （2）， 在数轴上与2的距离为的点对应的数为或，故的值为或6； [拓展]表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数8的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与8之间的距离，为6， 故答案为：6． |𝑎| =𝑎 （𝑎>0） =-𝑎（𝑎<0） =0（𝑎=0） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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