专题08 相似三角形基本模型之X字型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题08 相似三角形基本模型之X字型 【基本模型】 X字型（平行） 反X字型（不平行） 例1．（基本模型1）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 例2．（基本模型2）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若记，，且，求的值． 例3．（构造X模型）如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 例4．（培优综合）四边形是正方形，、分别是，边上两点，且满足，连接和交于，连接． (1)【探究发现】如图，数学兴趣小组探究发现，无论点在何处，总有，且，请证明这个结论． (2)【类比应用】当是边中点，经过度量后发现，兴趣小组的同学经过自主探究后，小明和小雅各给出了一种方法． 小明思路：延长和交于，可证得，可得是中点，即是斜边中线，所以． 小雅思路：过作于，延长交于，可证得，可得是中点，得到是的垂直平分线，所以． 如图，若，是边上一点，且，连接，请类比上面的其中一种方法说明． (3)【拓展应用】如图，若，是延长线上一点，当______时用含的式子表示，． 例5．（与函数综合）如图，四边形为矩形，且点的坐标为，点为轴负半轴上一定点，点为轴负半轴上一点，且．点为边上一动点（点不与点重合），过点作直线，直线分别交轴，轴于点，连接交轴于点． (1)求点的坐标； (2)连接，若的最小值为10，求直线的解析式； (3)设，当点在边上运动时，S的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的最大值． 1．如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 2．如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若，则的长为 ． 3．在菱形中，，在上分别有一点，连接交于点，若，，则的值为 ． 4．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 5．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，、在轴上，，，的角平分线交边于点．        (1)求点坐标； (2)如图2，一动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 6．在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF． （1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H． ①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH． ②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长． （2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长． 7．综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动． 【实践操作】如图，在矩形纸片中，，． 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点F处，得到折痕，然后把纸片展平； 第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点A恰好落在上的点N处，分别与交于点，然后展平． 【问题解决】 （1）求的长； （2）判断、与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，延长，相交于点P，请直接写出线段的长． 8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，在轴上，，，的角平分线交边于点． (1)求点坐标； (2)如图，一动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 相似三角形基本模型之X字型 【基本模型】 X字型（平行） 反X字型（不平行） 例1．（基本模型1）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 例2．（基本模型2）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若记，，且，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由正方形得到，， ，即可证明，得到，再根据得到； （2）先求出，再根据得到，再证明，得到，则，代入求值即可； （3）设，，则，，由，得到，，解得，则，由（2）得，然后分别表示出，再根据，得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，和， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，，则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， 由（2）得，， ∴， ，， ∵， ∴， 整理得， 由图形可得， ∴， ∴． 例3．（构造X模型）如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）根据矩形的性质得到，设，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）延长交于点M，连接根据折叠的性质得到直线，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，，即，解得， ， ， ， ， ，解得， ， ； （3）解：如图：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， （）， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 例4．（培优综合）四边形是正方形，、分别是，边上两点，且满足，连接和交于，连接． (1)【探究发现】如图，数学兴趣小组探究发现，无论点在何处，总有，且，请证明这个结论． (2)【类比应用】当是边中点，经过度量后发现，兴趣小组的同学经过自主探究后，小明和小雅各给出了一种方法． 小明思路：延长和交于，可证得，可得是中点，即是斜边中线，所以． 小雅思路：过作于，延长交于，可证得，可得是中点，得到是的垂直平分线，所以． 如图，若，是边上一点，且，连接，请类比上面的其中一种方法说明． (3)【拓展应用】如图，若，是延长线上一点，当______时用含的式子表示，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等的结论即可证明，； （2）类比小明思路：延长、交于点，证明，得到，设，，则，得，，，故，得为的中点，进而得为的中线，从而证明结论； 类比小明思路：作于点，交于点，反向延长交的延长线于点，易知四边形为平行四边形．根据，设，，由平行证明，得，设，则，又，根据列方程，解得，故，，即证明，进而可得为的中点，从而知为线段的中垂线，证明结论． （3）作于点，交于点，交于点，由，可得，即由平行关系证明∽，设，则，再说明为的中点，可得故，而，易知四边形为平行四边形，则，从而得方程，整理可得，解得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， 故，， ， ， 即， 即无论点在何处，总有，且． （2）证明：类比小明思路： 如图所示，延长、交于点， ， ， ， 设，，则， ， ，，， 故，即为的中点， 又， 为的中线， ． 类比小明思路： 作于点，交于点，反向延长交的延长线于点，如图所示， 则，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ， 设，，． ． ， ， ，设， 故，． ， ， 解得， 故，， 即， ∵， ∴， 即， ∴点为的中点， ∴为线段的中垂线， ． （3）解：如图所示，作于点，交于点，交于点， ， ，即． ， ，设， ，． ， 为的中点，从而为的中点， ． 故， 则 ， ∵，， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， 即， 整理可得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并能类比推理是解题关键． 例5．（与函数综合）如图，四边形为矩形，且点的坐标为，点为轴负半轴上一定点，点为轴负半轴上一点，且．点为边上一动点（点不与点重合），过点作直线，直线分别交轴，轴于点，连接交轴于点． (1)求点的坐标； (2)连接，若的最小值为10，求直线的解析式； (3)设，当点在边上运动时，S的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)点在运动过程中，S的值始终不变，值为 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． （1）先求出C点坐标，再由求出E点坐标即可； （2）如图：作点A关于的对称点，连接，，当共线时取等号，的最小值为10，即，进而求出D点坐标，然后运用待定系数法求解即可； （3）设，由，求出，由，求出，然后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：为矩形，点， 点， 又∵， ， 点的坐标为． （2）解：如图：作点A关于的对称点，连接，， ， ， 当共线时取等号， 又∵的最小值为10， ， 又∵点， 点，即， 在中，， ∴，解得：， ∴， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 又由（1）知 ，解得∶， 的解析式为． （3）解：定值为， 设， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴,,即, ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 1．如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，取中点H，连接，过F作于点M，由中位线定理可得，，，则有，，所以，，则，，从而得到，又，，得出，，，代入得到，然后通过直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：中，为的中点，， 如图，取中点H，连接，过F作于点M， ∴为的中位线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在菱形中，，在上分别有一点，连接交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接交于点K，过点K作于点H，设，则，，结合菱形的性质可得均为等边三角形，从而得到，根据，可得，设，从而得到，，再由直角三角形的性质，可得，，从而得到，然后在中，利用勾股定理可得，根据，可得，再证明，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点K，过点K作于点H， ∵， ∴可设，则， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，理解菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 4．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 5．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，、在轴上，，，的角平分线交边于点．        (1)求点坐标； (2)如图2，一动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，，当时，，当时，， (3) 【分析】（1）根据角平分线+平行模型证明，由勾股定理求出，即可得点； （2）由点，点求出，根据运动速度即可得出的表达式； （3）设点P横坐标为，则点P，得，，，根据相似和角平分线+平行模型得，在中，由求出，继而得出各点坐标值，求出直线、解析式，进而求出交点坐标. 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴点, ∴点, （2）∵，点， ∴， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， （3）解：延长、交于点，    ∵点、，设的解析式为 ∴ ∴直线的解析式为， 设点P横坐标为，则点P， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴, ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故，点， 故，点， 同理：直线的解析式为， ∵，点， 同理：直线的解析式为， 联立直线、解析式得： ， 解得：， ∴点坐标为 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，角平分线定义，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线，转换线段比是解题的关键． 6．在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF． （1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H． ①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH． ②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长． （2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）． 【分析】（1）利用三角形中位线定理，得到平行线，得到∠GEH=∠BDH，∠EGH=∠DBH，得证△EGH∽△DBH； （2）连接BD，根据EG是中位线，∠EDF＝2∠GED，可证明∠ADE=∠CDF，根据菱形的性质，可得△ADE≌△CDF，得AE=CF=2,得BE=BF，再根据∠B=60°证明△BEF是等边三角形，即可得EF=BE=2； （3）延长线段DE交BC延长线于N，过E点作EK⊥BC，垂足为K，根据△EFM∽△AFE，设相似比，继而得出，再由列方程求出k和BF即可． 【详解】解：（1）∵点E是AB的中点，AD中点G， ∴EG//BD， ∴∠GEH=∠BDH，∠EGH=∠DBH， ∴△EGH∽△DBH； （2）如解（2）图，连接BD， 由（1）EG//BD， ∴∠GED=∠EDB， ∵∠EDF=2∠GED， ∴∠EDF=2∠EDB=∠EDB+∠FDB， ∴∠EDB=∠FDB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADB=∠CDB，∠DAE=∠DCF，AD=DC， ∴∠ADB-∠EDB =∠CDB-∠FDB，即∠ADE=∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF=2, ∴BE=BF=2， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°， ∴∠B＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴EF=BE=2； （3）如解（3）图，延长线段DE交BC延长线于N，过E点作EK⊥BC，垂足为K， ∵在四边形ABCD是菱形中，， ∴△ADE∽△BNE， ∴， ∴，， ∵,, ∴在中，， ∵∠DEF＝∠BAF，∠AFE＝∠EFM,∴△EFM∽△AFE， 设相似比，，则 ，，， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴，整理得， ∴，（舍去）， 将代入并整理得：， 解得． 【点睛】本题综合考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、三角形中位线等知识，解题关键是利用全等三角形或相似三角形求出线段之间的关系，本题设参数解方程是难点，要求有较强的计算能力． 7．综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动． 【实践操作】如图，在矩形纸片中，，． 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点F处，得到折痕，然后把纸片展平； 第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点A恰好落在上的点N处，分别与交于点，然后展平． 【问题解决】 （1）求的长； （2）判断、与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，延长，相交于点P，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由四边形为矩形，可得，，，由折叠可得，，设，则，在中，，可得，最后由勾股定理求解即可； （2）由第一步折叠，可得垂直平分，，，由第二步折叠，可得，，再证明，最后由全等三角形的性质可得结论； （3）连接，由四边形为矩形，可得，，再证明，可得，求得，由线段垂直平分线的性质可得，，再求得，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ，，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ， 在中，， 即, 解得：， ； （2），理由如下： 由第一步折叠，可得垂直平分，， ， 由第二步折叠，可得，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）∵四边形为矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 如图，连接， 垂直平分， ，， ∴四边形是菱形， ，， ， ，， ， 在中． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作出正确的辅助线． 8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，在轴上，，，的角平分线交边于点． (1)求点坐标； (2)如图，一动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，由勾股定理求出，即可求解； （）利用两点间距离公式可得，再根据求出的表达式即可； （）设点横坐标为，则点，得，，，根据相似相似三角形的性质和角平分线的定义可得，在中，由勾股定理可求得，继而得出各点坐标，求出直线解析式，进而联立函数解析式求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； （3）解：延长交于点， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点横坐标为，则点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 同理可得直线的解析式为， ∵，， 同理可得直线的解析式为， 联立直线解析式得， ， 解得， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形，一次函数与几何图形，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$