第05讲 相似三角形的性质（4个知识点+4种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第05讲 相似三角形的性质（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点4．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 题型强化 题型一．相似三角形的性质 1．（2024•武进区校级模拟）如图，已知，，若的长度为12，则的长度为　　 A．9 B．12 C．16 D．20 2．（2023•丹阳市模拟）如图，已知△△，点是的中点，，，则　　． 3．（2023•广陵区二模）（1）如图1，中，若，，，，且，求的长； （2）如图2，已知，若边上存在一点，若边上存在一点，使，且，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． 题型二．相似三角形的判定与性质 4．（2024秋•宜兴市期中）如图，在菱形中，，点、是边、上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连结，则线段；④若，则，其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•宿迁期中）如图，矩形中，为上一动点与、不重合），将△沿翻折至△，与相交于点，与相交于点，连接交于，若，，，则折痕的长为　　． 6．（2024•雨花台区模拟）如图，中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 题型三．作图-相似变换 7．（2024•东海县一模）要在已知上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点，为圆心，同样长度为半径画弧，交，，于点，，；以点为圆心，以，间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点；作射线，交边与点．则即为所求； 乙：如图2，分别以点，，为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点、，，；分别作直线和，直线和分别交，于点，；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是　　 A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 8．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上． （Ⅰ）的面积等于 　　； （Ⅱ）若四边形是中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 　　． 9．（2024春•沭阳县月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似． （2）在图②中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． （3）在图③中的线段上画一个点，使． 题型四．射影定理 10．（2021•南通模拟）如图，在中，，于点，如果，，那么的值为　　 A． B． C． D． 11．（宜兴市期中）如图，在中，，点是边上的一点，于，，，则边的长为　　． 12．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， （1）试利用射影定理证明； （2）若，求的长． 分层练习 一、单选题 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，CE=2AE，则下列结论：①△ABC∽△ADE；②DE∥BC；③DE：BC=1：2；④S△ABC=9S△ADE中成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（　　） A．2 B． C． D．4 3．如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（    ）    A． B． C． D． 4．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3 5．如图，在矩形中，，，点E，F分别是，上的点，，垂足为点O，连接，，则的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．15 6．如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，为的中点，连接，交于点，则等于（    ）    A．1︰3 B．2︰3 C．2︰5 D．1︰2 8．如图，已知点D、E分别在的边、上，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 9．已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD,PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？   （   ） A．始终相似 B．始终不相似 C．只有AB=AD时相似 D．无法确定 10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为（ ）． A． B． C． D．1 二、填空题 11．如图，在平角坐标系中，直线分别与x轴、轴交于点A、B，点M在坐标轴上、点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ． 12．如图，在中，，于点D，且，矩形的边在边上，顶点P，Q分别在边上．若的面积为3，则的长为 ． 13．如图，在△ABC 中，∠C＝2∠B，BC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为E，若AD＝4，BD＝6，则DE的长为 ． 14．如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1） ； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积= ． 16．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 17．如图，边长为3的等边三角形ABC中，点M在直线BC上，点在直线上，且∠BAM＝∠CBN，当BM＝1时， ． 18．如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    三、解答题 19．下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度． 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m 20．国际会议中心作为首届金熊猫奖举办地，位于天府总部商务核心区，是全球首例公园城市发展综合体，同时是亚洲最大的单体木制结构建筑，可同时容纳9000人参会．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点在同一直线上（如图所示），另一条直角边与会议中心顶点在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 21．体验：如图，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明． 探究：如图，在四边形中，点在上，当时，求证：∽． 拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．    22．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区周边的景色都很美．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见下表． 主题 测量“飞虹塔”的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米 根据表格信息，求飞虹塔的高度． 23．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 24．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 25．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，顶点的坐标为，点在第一象限，且．动点从点出发，沿着以每秒2个单位的速度向点运动，同时动点从点出发，沿着方向以每秒1个单位的速度运动，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动的时间为秒． (1)当的面积为时，求的值． (2)当点在线段上运动时，若轴上存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，求的值． (3)如图2，当点在线段上运动时，作交于点，作点关于的对称点恰好落在轴上，则的值为___________．（直接写出答案） 26．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：    (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 相似三角形的性质（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点4．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 题型强化 题型一．相似三角形的性质 1．（2024•武进区校级模拟）如图，已知，，若的长度为12，则的长度为　　 A．9 B．12 C．16 D．20 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案． 【解答】解：， ， ， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键． 2．（2023•丹阳市模拟）如图，已知△△，点是的中点，，，则　　． 【分析】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出的长即可． 【解答】解：△△， ， 是的中点，，， ， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等． 3．（2023•广陵区二模）（1）如图1，中，若，，，，且，求的长； （2）如图2，已知，若边上存在一点，若边上存在一点，使，且，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． 【分析】（1）根据，得出，进而得到，据此可得的长． （2）作的平分线，交于，作的垂直平分线，交于，则，而，则． 【解答】解：（1）在中，，， ， ，， ， ， ， 即， 解得， 故的长为． （2） 如图2所示，作的平分线，交于，作的垂直平分线，交于，即为所求． 【点评】本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型二．相似三角形的判定与性质 4．（2024秋•宜兴市期中）如图，在菱形中，，点、是边、上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连结，则线段；④若，则，其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一线三等角基本模型可得可知，可知①正确；根据相似三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理可知②正确；作交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质得，再根据勾股定理可得的长，则③正确；设，，则，设，则，利用相似三角形的性质可得，，再根据可得答案． 【解答】解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 由折叠性质可知，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； 如图，作交的延长线于点 在中，， 由①得：， ，， 是的中点， ， ， ，故③正确； 设，，则，设，则， ， ， ，， ， ，解得：， ， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据相似三角形的性质是判断④的关键． 5．（2024秋•宿迁期中）如图，矩形中，为上一动点与、不重合），将△沿翻折至△，与相交于点，与相交于点，连接交于，若，，，则折痕的长为　　． 【分析】根据折叠及矩形的性质得到，即可得到，如图，过点作于点，得到△△，利用相似比得到，，从而得到及，根据等量代换得到，证明△△，据此求解即可． 【解答】解：由折叠可知，垂直平分， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ，， ， 如图，过点作于点， ， ， △△， ， 即， ，， ， ， 又，， ， △△， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 6．（2024•雨花台区模拟）如图，中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 【分析】（1）先根据证明，得，再根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）先根据（1）可得：，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得，证明，列比例式可得的长． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键． 题型三．作图-相似变换 7．（2024•东海县一模）要在已知上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点，为圆心，同样长度为半径画弧，交，，于点，，；以点为圆心，以，间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点；作射线，交边与点．则即为所求； 乙：如图2，分别以点，，为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点、，，；分别作直线和，直线和分别交，于点，；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是　　 A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【分析】根据甲的作法可知，，根据相似三角形的判定可得，即甲的作法正确；根据乙的作法可知，直线为线段的垂直平分线，直线为线段的垂直平分线，则点为的中点，点为的中点，即为的中位线，从而可证明，即乙的作法正确． 【解答】解：根据甲的作法可知，， ， ． 故甲的作法正确． 根据乙的作法可知，直线为线段的垂直平分线，直线为线段的垂直平分线， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ， ． 故乙的作法正确． 甲、乙两人的作法都正确． 故选：． 【点评】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本尺规作图的方法、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 8．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上． （Ⅰ）的面积等于 　6　； （Ⅱ）若四边形是中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 　　． 【分析】（Ⅰ）以为底，高为3个单位，求出面积即可； （Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点，连接，过点画的平行线，与交于点，连接与相交得点，过点画的平行线，与相交得点，分别过点、画的平行线，与相交得点，，则四边形即为所求 【解答】解：（Ⅰ）的面积为：； （Ⅱ）如图，取格点，连接，过点画的平行线，与交于点，连接与相交得点，过点画的平行线， 与相交得点，分别过点、画的平行线，与相交得点，， 则四边形即为所求． 证明：根据题意可得正方形各个顶点都在的边上时，其面积才可能取得最大值，则必有两点都在三角形边上，此时四边形内接于三角形， 根据三角形内接正方形的性质，锐角三角形的最大内接正方形是以三角形的最短边为底形成的正方形， 如图所示作出符合题意的正方形， 可知：，， 四边形为平行四边形， ，，， ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 矩形为正方形． 故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点，连接，过点画的平行线，与交于点，连接与相交得点，过点画的平行线，与相交得点，分别过点、画的平行线，与相交得点，，则四边形即为所求． 【点评】此题考查了作图位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键． 9．（2024春•沭阳县月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似． （2）在图②中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． （3）在图③中的线段上画一个点，使． 【分析】（1）取格点，连接，则，由相似三角形的判定方法可知． （2）取格点，，，连接，，，使，，即可． （3）取格点，，连接，交于点，此时，由，可得． 【解答】解：（1）如图①，即为所求． （2）如图②，即为所求． （3）如图③，点即为所求． 【点评】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 题型四．射影定理 10．（2021•南通模拟）如图，在中，，于点，如果，，那么的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据射影定理得到：，把相关线段的长度代入即可求得线段的长度． 【解答】解：如图，在中，，， ， 又，， ，则． 故选：． 【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 11．（宜兴市期中）如图，在中，，点是边上的一点，于，，，则边的长为　4　． 【分析】根据射影定理列式计算即可． 【解答】解：由射影定理得，， 解得，， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 12．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， （1）试利用射影定理证明； （2）若，求的长． 【分析】【问题情境】通过证明得到，然后利用比例性质即可得到； 【结论运用】（1）根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到； （2）先计算出，，，，再利用（1）中结论得到，即，然后利用比例性质求． 【解答】【问题情境】 证明：如图1， ， ， 而， ， ， ； 【结论运用】 （1）证明：如图2， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 即， 而， ； （2）方法一：， 而， ，， 在中，， 在中，， ， ，即， ． 方法二：将绕顺时针旋转90度得到，如图3， 由得到， ， ， 为等腰直角三角形， ， 点在上， ， ， ． 【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质． 分层练习 一、单选题 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，CE=2AE，则下列结论：①△ABC∽△ADE；②DE∥BC；③DE：BC=1：2；④S△ABC=9S△ADE中成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段、利用相似三角形的性质求解 【分析】由已知条件易证DE∥BC，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项 【详解】∵BD=2AD，CE=2AE， ∴== ∴DE∥BC，故②正确； ∴△ABC∽△ADE，故①正确； ∴DE：BC=AD：AB=1：3，故③错误； ∴S△ABC=9S△ADE故④正确， ∴其中成立的个数有3个， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，证明DE∥BC是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题． 【详解】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为A，B，C，E，F， 记BE＝m，AB＝b， 则利用托勒密定理有： ， 可得：， 即， ∴b＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了托勒密定理，根据托勒密定理列出方程组是解题的关键． 3．如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【详解】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵外径为， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解、公式法解一元二次方程 【分析】根据相似三角形的性质，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，用m、k表示出EH、FM、FK，由FK+MK=FM求出k2值，由面积比等于相似比得出S2+S3=S1，进而由矩形面积等于2（S1+S2+S3）求解即可． 【详解】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，并且A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3， ∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2， ∴EH=EF+FH=m(1+ k2)， ∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)， 由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk=， ∴k4+ k2－1=0， 解得：或（舍去）， ∴S2= k2S1=S1，S3= k2S2= k4S1=， ∴S2+S3=S1， ∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元二次方程，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键． 5．如图，在矩形中，，，点E，F分别是，上的点，，垂足为点O，连接，，则的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形、确定第三边的取值范围 【分析】分别以、为边作平行四边形，连接，过点F作交于点G，利用勾股定理求得，根据等角的余角相等可得，从而证明，可得，求得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，利用勾股定理求得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：分别以、为边作平行四边形，连接，过点F作交于点G， ∵，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为10． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系及余角的性质，添加辅助线构造直角三角形求得的值是解题的关键． 6．如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 【详解】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC， ∴∠GFP=∠FPC=45°， ∵∠C=90°， ∴∠PFC=∠FPC=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP=CF=x，则， ∵AC=3， ∴AF=3-x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 7．如图，在中，为的中点，连接，交于点，则等于（    ）    A．1︰3 B．2︰3 C．2︰5 D．1︰2 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，证出△AEF∽△CBF，然后利用其对应边成比例即可求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴AF：CF=AE：BC， ∵点E为AD的中点， ∴AE=AD=BC， ∴AF：CF=1：2； 故选D． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 8．如图，已知点D、E分别在的边、上，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据题意得，与是同高，故底之比等于，从而得出面积之比． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的高相同， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键． 9．已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD,PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？   （   ） A．始终相似 B．始终不相似 C．只有AB=AD时相似 D．无法确定 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先求出P点坐标，得到OP的长，再设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，再表示出OD，OF，PF，AF，然后根据△PEF∽△PDO，利用相似三角形的性质列式求出EF，再利用勾股定理表示出PA2，PE，PD，从而得到，再根据相似三角形的判定定理即可得证. 【详解】解：令x=0，则y=1， ∴OP=1， 设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1， ∵AB⊥y轴，AD⊥x轴， ∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=m2， 在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2， 在Rt△POD中，PD=， 由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO， ∴， 即， 解得PE=m2， ∴PA2=PD·PE= m4+m2， ∴， ∵∠APE=∠DPA， ∴△PAD∽△PEA， 则△PAD与△PEA始终相似. 故选A. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为（ ）． A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合 【详解】试题分析：作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连结EB，EC，设⊙E的半径为R，如图， ∵∠C=90°，AB=5，AC=3， ∴BC=，而AD为中线， ∴DC=2， ∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切， ∴EG=EF=R， ∴HC=R，AH=3-R， ∵EH∥BC， ∴△AEH∽△ADC，∴EH：CD=AH：AC， 即EH=， ∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC， ∴×5×R+×4×R+×3×=×3×4， ∴R=． 故选B． 考点：切线的性质． 二、填空题 11．如图，在平角坐标系中，直线分别与x轴、轴交于点A、B，点M在坐标轴上、点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ． 【答案】或或， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应线段之间的关系． 分类讨论：①点M在x轴上；②点M在原点；③点M在y轴上，利用相似及平移规律即可求解． 【详解】解：直线分别与轴、轴交于点A、， 当时，，时，， 点坐标，B点坐标， 分三种情况：点在原点上， 矩形中，如图， ， 点坐标为； 如图1，点在轴上，如图， 矩形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 点坐标为， 将点向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点， ∴N的坐标为； 如图2，点在轴上，如图， 矩形中，，由②同理可得： ， ∴ ∴， 点坐标为， 将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到点， 的坐标为， ∴点坐标为或或， 故答案为：或或． 12．如图，在中，，于点D，且，矩形的边在边上，顶点P，Q分别在边上．若的面积为3，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：如图， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得(负值已舍)， 故答案为：3． 13．如图，在△ABC 中，∠C＝2∠B，BC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为E，若AD＝4，BD＝6，则DE的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】连接CD，由线段的垂直平分线的性质可得CD=BD=6，进而可得∠DCB=∠B，可推出∠ADC=2∠B=∠ACB，易证△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可求得AC，继而可求得BC，然后根据线段的垂直平分线的性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】解∶如图，连接CD， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴CD=BD=6， ∴∠DCB=∠B， ∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B=∠ACB， 又∵∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， 即：， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据相似三角形的性质求出BC是解题的关键． 14．如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作，垂足为点延长线交于点，由矩形的性质得，由平行线分线段成比例定理可得，得出的值，折叠的性质得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性质得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值． 【详解】解：如解图，过点作，垂足为点延长线交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形AMNB为矩形， ∴ ． 由折叠性质可得， ． ， ， ，即 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1） ； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积= ． 【答案】 9 8 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】（1）设点 则 ，根据平行四边形面积列出 ，解得： 即可； （2）根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出 ，再根据三角形、平行四边形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：(1)设点 则 ， 的面积为8. 解得： ， 故答案为：9； (2)如图，过点 作 轴，垂足为 过 点 作 轴，垂足为， 交 于点 ， 由(1)可知两个反比例函数解析式为： 和 ， . 故答案为：8. 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形、平行四边形的面积的计算方法是正确解答的关键. 16．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 【答案】/1:3 【知识点】圆内接四边形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据切割线定理可求得∠D=∠PAC，即可求证△PAC∽△PDB，根据对应边比值相等的性质和CD的长求得PC与PB的比值，即可求解． 【详解】解：∵PAB、PCD为⊙O的两条割线， ∴∠BAC+∠BDC=180°，∠PAC+∠BAC=180°， ∴∠BDC=∠PAC， 又∵∠P=∠P， ∴△PAC∽△PDB， ∴=， 设PC=x，PD=y，且y﹣x=11， 解得：x=4，y=15， ∴===， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了切割线定理，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根据CD和对应边比值相等的性质求AC∶BD的值是解题的关键． 17．如图，边长为3的等边三角形ABC中，点M在直线BC上，点在直线上，且∠BAM＝∠CBN，当BM＝1时， ． 【答案】2或4或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质 【分析】先根据等边三角形的性质可得，再分①点在边上，点在边上，②点在边上，点在边延长线上，③点在边延长线上，点在边上，④点在边延长线上，点在边延长线上四种情况，然后根据三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：是边长为3的等边三角形， ， 由题意，分以下四种情况： ①如图，当点在边上，点在边上时， 在和中，， ， ， ； ②当点在边上，点在边延长线上时， 如图，过点作，交延长线于点， ， ， 是等边三角形， ， 在和中，， ， ，即， 解得， ， ； ③当点在边延长线上，点在边上时， 如图，过点作，交于点， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得， ， ； ④如图，当点在边延长线上，点在边延长线上时， ， ， 在和中，， ， ， ； 综上，的值为2或4或或， 故答案为：2或4或或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确分四种情况讨论是解题关键． 18．如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【详解】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明． 三、解答题 19．下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度． 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m 【答案】10m 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、两直线平行同位角相等 【分析】利用BC//DE，可得到△ABC∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长． 【详解】解：∵BC//DE， ∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED， ∴△ABC∽△ADE， ∴， 即， 解得：AB＝10， 答：小河的宽度为10m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 20．国际会议中心作为首届金熊猫奖举办地，位于天府总部商务核心区，是全球首例公园城市发展综合体，同时是亚洲最大的单体木制结构建筑，可同时容纳9000人参会．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点在同一直线上（如图所示），另一条直角边与会议中心顶点在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 【答案】国际会议中心的高为26米． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】 本题考查勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，根据勾股定理算出，证明，利用相似的性质得到，最后根据，即可解题． 【详解】 解：根据题意可知，米， 在中， ，米，米， 米， ，， ， ， 米， 米， （米）， 答：国际会议中心的高为26米． 21．体验：如图，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明． 探究：如图，在四边形中，点在上，当时，求证：∽． 拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．    【答案】体验：∽；探究：见解析；拓展： 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】体验：根据同角的余角相等得到，根据平行线的性质得到，根据两角相等的两个三角形相似证明结论； 探究：根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明； 拓展：根据相似三角形的性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：体验：， ， ， ， ， ，， ， ∽， 故答案为：∽； 探究：，， ． ， ， ， ； 拓展：同探究的方法得出，， ， 点是边的中点， ， ， ， 解得，， ， ， ， ，， 在中，． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出∽． 22．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区周边的景色都很美．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见下表． 主题 测量“飞虹塔”的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米 根据表格信息，求飞虹塔的高度． 【答案】飞虹塔的高度为47米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、分式方程的实际应用 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答．证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为47米． 23．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查格点图中画相似三角形． （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 24．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 【答案】任务一：（1）；（2）图见详解；任务二：与的关系式是：；任务三：（1）3；（2）图见详解 【知识点】实际问题与反比例函数、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）根据题意可直接进行作图； 任务二：由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与的关系式； 任务三：（1）根据任务二可代值进行求解即可； （2）根据（1）及表格，结合描点、连线可作出函数图象． 【详解】解：任务一：（1）∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由题意可得如图所示： 任务二：依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； 任务三：（1）由任务二可知：， 当时，， ； 故答案为：3． （2）由题意及（1）得：， 解得：， ∴， 将表格中的对应数据在直角坐标系中描点，再按照横坐标由小到大的顺序连线可得该函数的图象，如图所示： 25．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，顶点的坐标为，点在第一象限，且．动点从点出发，沿着以每秒2个单位的速度向点运动，同时动点从点出发，沿着方向以每秒1个单位的速度运动，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动的时间为秒． (1)当的面积为时，求的值． (2)当点在线段上运动时，若轴上存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，求的值． (3)如图2，当点在线段上运动时，作交于点，作点关于的对称点恰好落在轴上，则的值为___________．（直接写出答案） 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】（1）当点P在上时，过点P作于点M,根据题意，，，根据的面积为，得到列式计算即可；当点P在上时，过点C作于点N,根据题意，，，，根据的面积为，得到列式计算即可． （2）根据，得到,故点F是延长线与y轴的交点，且满足,才能使得以为顶点的四边形是平行四边形，计算即可． （3）设点D的对称点为F，连接，设的交点为H，证明四边形是菱形，，求得，过点P作于点T，得到， 解得．本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）当点P在上时，过点P作于点M, 根据题意，，，∵的面积为， ∴， 解得，（舍去）； 当点P在上时，过点C作于点N, 根据题意，，，∵的面积为， ∴， 解得 故或时，的面积为． （2）∵， ∴,故点F是延长线与y轴的交点，且满足,才能使得以为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意，， 根据题意，， 故， ， 解得． （3）设点D的对称点为F，连接，设的交点为H， 根据题意，;； ∵， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 根据题意，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点T， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 解得． 26．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：    (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)当时，平分； (2)； (3)存在，当时，与相切． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案； （2）过点作于点，利用相似三角形性质可得，再运用面积法求得，再根据三角形面积即可求得答案； （3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，，，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）解：如图，过点作于点，   ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）解：存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点，    由（1）（2）知：，，，，，， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 学科网（北京）股份有限公司 $$