专题27.7 相似三角形的判定与性质（专项练习）（基础练）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.7 相似三角形的判定与性质（专项练习）（基础练） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（内蒙古包头市昆区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题）如图，在中，点D、E分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（21-22九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 5．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（    ） A．21 B．28 C．36 D．42 8．（2024·河南南阳·三模）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，为对角线上的两点，连结并延长交于点E，连结并延长交于点F，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·广西·期中）如图，在中，是中线，，，则线段的长为 ． 12．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 13．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，，连接交于点C，若，，．则k的值为 ． 14．（24-25九年级上·广西·期中）如图，在中，，，P是的中点，过点P的直线交于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则的长为 ． 15．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，分别是的边、上的点，且．如果，，，那么的长等于 ． 16．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为 ． 17．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接、，若，求 ．    18．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，D是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)若，求的长． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·山西太原·期中）已知： 如图， 在四边形中， ，． 求证： (1)； (2)． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 24．（本小题满分12分）（19-20九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． (1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． (2)拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B A A C C B D 1．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，再证明，据此根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为16， 故选：C． 2．A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键． 3．C 【分析】利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出A、B、C、D中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】的三边长分别为：，三边的比为， A中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； B中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； C中三角形的三边长分别为，三边的比为相似； D中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； 故选择：C． 【点拨】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 4．B 【分析】由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设投影三角板的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板比为， ∴， 解得． 故选：A． 7．C 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，，则可证明，由相似三角形得性质可得出，进而可得出，，进而可求出，最后根据平行四边形的性质求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，找出相似三角形得出比例线段是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据平行线判定可得，，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】， 设， 在中，， ，， ，， ， ， ． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查了中线的性质，相似三角形有判定和性质，理解相似三角形的判定和性质是解答关键． 根据中线得到，由题意易得，最后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：是中线，， ． ，， ， ， ， ， （负值舍去）． 故答案为：． 12．70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 13．4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明出，根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， 故答案为：4． 14．或 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似分情况讨论，分别根据对应边比例相等列方程求的长即可． 【详解】解：∵，P是的中点， ∴， ∵以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，， ∴当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 故答案为：或． 15．4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解答本题的关键．先求出的长，然后再说明，最后运用相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，负值舍去， 经检验是原方程的解， ∴的长为4． 故答案为：4． 16．3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，根据题意可推出；由，证，得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 17． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 过P点作于点M，，交于点N，则有，，，,故，因而可得， 则，然后代入计算即可得出结论． 【详解】解：过P点作于点M，,交于点N，如下图：    则有，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解的， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键． 首先求出是三角形的中位线，得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， 为中点， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理， 故答案为∶ 19．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 20．(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解 【详解】（1）证明：，， ， （2）解：，， ， ， ． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解答关键． （1）根据题意证明，可得到三角形相似； （2）根据菱形的性质易得到，，由勾股定理求出，进而得到和的关系，然后用（1）的结论来求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴． ∵点为的中点， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． （1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可； （2）先根据相似三角形的性质，得出，，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可． 【详解】（1）， ， 即， 又， （2）， ， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 即 23．(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）由（1）可求出，代入设直线的解析式为，即可求解； （3）根据，点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 【详解】（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为； （3）证明：，点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 24．(1)，45； (2)和β的大小无变化； (3)△BCE的面积为 或． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断． （2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题． （3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵∠B＝90°，BA＝BC， ∴∠A＝45°，AC＝ =AB， ∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴BD＝AB，EC＝AC， ∴＝，β＝45°； 故答案为，45． （2）解：结论：和β的大小无变化．理由如下： 如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K． 由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC， ∴＝，∠DAB＝∠EAC， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴＝＝，∠OBK＝∠OCA， ∵∠BOK＝∠COA， ∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°， ∴和β的大小无变化． （3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴， ∵点E分别是边AC的中点， ∴， 当点E在线段AB上时，， ∴S△BCE＝ =， 当点E在线段BA的延长线上时，， ∴S△BCE＝ =． 综上所述，△BCE的面积为 或． 【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$