第三周 第1天 不等关系与不等式 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 暑假自学同步练习，采用青铜局、黄金局、王者局三级分层，题量5:2:1，梯度从基础概念到综合应用，强化数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|不等关系表示、不等式性质基础|多选+填空巩固概念（如不等关系符号表示）| |黄金局|实际问题建模、代数几何综合|情境题提升应用（如出租车队车辆数问题）| |王者局|经济优化、方案比较|开放题培养创新（如两次降价方案比较）|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第三周 第 1天 不等关系与不等式 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y” C.某变量x至少为a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≤a” 2.一个工厂原来每天加工x件商品，经过工艺改进后该工厂每天加工的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75 000件，这一关系可用不等式表示为(　　) A.30x+560>75 000 B.30(x+560)>75 000 C.30x+560≥75 000 D.30(x+560)≥75 000 3.若a≠3，则M=a2-6a的值与-9的大小关系是(　　) A.M=-9 B.M<-9 C.M>-9 D.不能确定 4.若x∈R，y∈R，则(　　) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 5.已知0<a1<1，0<a2<1，记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是(　　) A.M<N B.M>N C.M=N D.M≥N 6.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(　　) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 7.已知正有理数p满足p2<2，q=p-则p与q的大小关系为(　　) A.p<q B.p>q C.p=q D.无法判断 8.(5分)某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为　　　　. 9.(5分)已知a>0，b>0，若x=a2+3b2，y=2b(a+b)，则x与y的大小关系为　　　　. 10.(10分)若a>0，b>0，求证：≥a+b. 黄金局 提能力·融会贯通 11.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满.则A队有出租车(　　) A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 12.某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为(　　) A.9 B.12 C.15 D.18 13.矩形ABCD的一组邻边长为a，b-c，矩形EFGH的一组邻边长为b，a-c(a>b>c>0).按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系为(　　) A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.不能确定 14.(12分)(1)设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，比较x与y的大小；(6分) (2)已知m∈R，a>b>1，函数y=当x=a时，y1=当x=b时，y2=试比较y1与y2的大小.(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.甲、乙两人两次购买同一种文娱用品时，甲不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；乙不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.假设所购物品的价格发生波动，则(　　) A.两位中省钱小能手是甲 B.两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C.两位中省钱小能手是乙 D.两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 16.(12分)某网店的最新商品计划分两次降价促销，有三种方案： A：第一次降价的百分率为m，第二次降价的百分率为n. B：第一次降价的百分率为n，第二次降价的百分率为m. C：第一次降价的百分率为第二次降价的百分率为. 其中0%<n<m<100%. 求出三种方案经过两次降价后的价格并将方案A，B，C按其最终价格从小到大排列. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第三周 第 1天 不等关系与不等式 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y” C.某变量x至少为a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≤a” 答案　BCD 解析　对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B，C，D正确. 2.一个工厂原来每天加工x件商品，经过工艺改进后该工厂每天加工的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75 000件，这一关系可用不等式表示为(　　) A.30x+560>75 000 B.30(x+560)>75 000 C.30x+560≥75 000 D.30(x+560)≥75 000 答案　B 解析　由题意得工艺改进后工厂每天加工的商品数为x+560，则该工厂30天加工的商品数为30(x+560)， 所以题中关系表示为30(x+560)>75 000. 3.若a≠3，则M=a2-6a的值与-9的大小关系是(　　) A.M=-9 B.M<-9 C.M>-9 D.不能确定 答案　C 解析　由M-(-9)=a2-6a+9=(a-3)2， 因为a≠3，故(a-3)2>0，即得M>-9. 4.若x∈R，y∈R，则(　　) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 答案　A 解析　因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1 =(x-y)2+1>0， 所以x2+y2>2xy-1. 5.已知0<a1<1，0<a2<1，记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是(　　) A.M<N B.M>N C.M=N D.M≥N 答案　B 解析　∵0<a1<1，0<a2<1， ∴-1<a1-1<0，-1<a2-1<0， ∴M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0， ∴M>N. 6.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(　　) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 答案　B 解析　a2+1≥2a，即a2+1-2a=(a-1)2≥0，∴当a=1时，等号成立. 7.已知正有理数p满足p2<2，q=p-则p与q的大小关系为(　　) A.p<q B.p>q C.p=q D.无法判断 答案　A 解析　因为p-q=p-p+ 而p2<2，p>0， 所以p2-2<0，p+2>0， 所以<0，即p<q. 8.(5分)某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为　　　　. 答案　499≤x≤501 解析　∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x表示商品的重量，则-1≤x-500≤1， ∴499≤x≤501. 9.(5分)已知a>0，b>0，若x=a2+3b2，y=2b(a+b)，则x与y的大小关系为　　　　. 答案　x≥y 解析　x-y=a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0， 当且仅当a=b时，等号成立. 所以x≥y. 10.(10分)若a>0，b>0，求证：≥a+b. 证明　-(a+b)= 因为a>0，b>0， 所以≥0， 当且仅当a=b时等号成立， 所以≥a+b. 黄金局 提能力·融会贯通 11.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满.则A队有出租车(　　) A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 答案　B 解析　设A队有出租车x辆， 则B队有出租车(x+3)辆，由题意得 解得 则<x<11.而x为正整数，故x=10. 12.某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为(　　) A.9 B.12 C.15 D.18 答案　C 解析　设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则又a，b，c∈N*，若c=1，则a+b≥3+2=5，不满足3c>a+b；若c=2，则a+b≥4+3=7，不满足3c>a+b；若c=3，则a+b≥5+4=9，不满足3c>a+b；若c=4，则a+b≥6+5=11，满足3c>a+b，则加入这三个协会的总人数至少为6+5+4=15. 13.矩形ABCD的一组邻边长为a，b-c，矩形EFGH的一组邻边长为b，a-c(a>b>c>0).按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系为(　　) A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.不能确定 答案　C 解析　设空白处面积为S， 则S1=a(b-c)-S，S2=b(a-c)-S， 又c>0，且b-a<0， 所以S1-S2=a(b-c)-S-b(a-c)+S =ab-ac-ab+bc=c(b-a)<0， 所以S1<S2. 14.(12分)(1)设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，比较x与y的大小；(6分) (2)已知m∈R，a>b>1，函数y=当x=a时，y1=当x=b时，y2=试比较y1与y2的大小.(6分) 解　(1)x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=(m-n)m3-(m-n)n3 =(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)， 因为m≠n，所以(m-n)2>0， 又因为m2+mn+n2=≥0， 当且仅当m+=n=0，即m=n=0时取等号， 又m≠n，所以m2+mn+n2=>0，所以x-y>0，所以x>y. (2)y1-y2= 因为a>b>1，所以(a-1)(b-1)>0，b-a<0， 当m>0时，y1-y2<0，即y1<y2； 当m=0时，y1-y2=0，即y1=y2； 当m<0时，y1-y2>0，即y1>y2. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.甲、乙两人两次购买同一种文娱用品时，甲不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；乙不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.假设所购物品的价格发生波动，则(　　) A.两位中省钱小能手是甲 B.两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C.两位中省钱小能手是乙 D.两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 答案　C 解析　设第一次购买一件物品的价格为p1，第二次购买一件物品的价格为p2，则p1≠p2， 设甲单次购买物品的数量为n，则甲两次所购物品的平均价格为. 设乙单次购买物品所花的钱数为m，则乙第一次购买物品的数量为第二次购买物品的数量为 则乙两次所购物品的平均价格为. 因为≥0， 但p1≠p2，故等号不能取到，所以甲两次所购物品的平均价格大于乙两次所购物品的平均价格，故乙是省钱小能手. 16.(12分)某网店的最新商品计划分两次降价促销，有三种方案： A：第一次降价的百分率为m，第二次降价的百分率为n. B：第一次降价的百分率为n，第二次降价的百分率为m. C：第一次降价的百分率为第二次降价的百分率为. 其中0%<n<m<100%. 求出三种方案经过两次降价后的价格并将方案A，B，C按其最终价格从小到大排列. 解　设一件该商品最初的价格为a(a>0)， 则方案A经过两次降价后，价格变为a(1-m)(1-n)； 方案B经过两次降价后，价格变为a(1-n)(1-m)； 方案C经过两次降价后，价格变为a 显然方案A，B的降价幅度相同， 因为a-a(1-n)(1-m) =a =a(m-n)2， 又n≠m，所以(m-n)2>0，又a>0，则(m-n)2>0， 即a>a(1-n)(1-m)， 所以A=B<C. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $